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第二十八章存贮论存贮论（或称为库存论）是定量方法和技术最早研究的领域之一，是研究存贮系统的性质、运行规律以及如何寻找最优存贮策略的一门学科，是运筹学的重要分支。存贮论的数学模型一般分成两类：一类是确定性模型，它不包含任何随机因素，另一类是带有随机因素的随机存贮模型。 §1 存贮模型中的基本概念所谓存贮实质上是将供应与需求两个环节以存贮中心联结起来，起到协调与缓和供需之间矛盾的作用。存贮模型的基本形式如图 1 所示。图 1 存贮问题基本模型 1．存贮问题的基本要素（1）需求率：单位时间内对某种物品的需求量，用 D 表示。（2）订货批量：一次订货中，包含某种货物的数量，用Q 表示。（3）订货间隔期：两次订货之间的时间间隔，用T 表示。 2．存贮模型的基本费用（1）订货费：每组织一次生产、订货或采购的费用，通常认为与定购数量无关，（2）存贮费：所有用于存贮的全部费用，通常与存贮物品的多少和时间长短有关。记为 DC 。单位存贮费记为 PC 。（3）短缺损失费：由于物品短缺所产生的一切损失费用，通常与损失物品的多少和短缺时间的长短有关，记为 SC 。 3．存贮策略所谓一个存贮策略，是指决定什么情况下对存贮进行补充，以及补充数量的多少。下面是一些比较常见的存贮策略。一个固定的存贮量Q 。（1）t 循环策略：不论实际的存贮状态如何，总是每隔一个固定的时间t ，补充 ) （2） ,( St 策略：每隔一个固定的时间t 补充一次，补充数量以补足一个固定的最大存贮量 S 为准。因此，每次补充的数量是不固定的，要视实际存贮量而定。当存贮（余额）为 I 时，补充数量为 ISQ −= 。 SQ −= （3） ) ,( Ss 策略：当存贮（余额）为 I ，若 s I ≤ ， I > ，则不对存贮进行补充；若 s 。补充后达到最大存贮量 S 。s 称为订货点（或则对存贮进行补充，补充数量保险存贮量、安全存贮量、警戒点等）。在很多情况下，实际存贮量需要通过盘点才能得知。若每隔一个固定的时间t 盘点一次，得知当时存贮 I ，然后根据 I 是否超过订货点 s ，决定是否订货、订货多少，这样的策略称为 §2 无约束的确定型存贮模型策略。 Sst , ,( I ) 我们首先考察经济订购批量存贮模型。所谓经济订购批量存贮模型（economic ordering quantity, EOQ）是指不允许缺货、 -684-

货物生产（或补充）的时间很短（通常近似为 0）的模型。； ∞=SC 2.1 模型一：不允许缺货，补充时间极短—基本的经济订购批量存贮模型基本的经济订购批量存贮模型有以下假设：（1）短缺费为无穷，即（2）当存贮降到零后，可以立即得到补充；（3）需求是连续的、均匀的，即需求速度（单位时间的需求量） D 为常数；（4）每次的订货量不变，订购费不变；（5）单位存贮费为 pC 。由上述假设，存贮量的变化情况如图 2 所示。图 2 EOQ 模型的存贮量曲线在每一个周期（T ）内，最大的存贮量为Q ，最小的存贮量为 0，且需求是连续均匀的，因此在一个周期内，其平均存贮量为 Q ，存贮费用为 1 2 1 QCP2 。一次订货费为 DC ，那么在一个周期（T ）内的平均订货费为 TCD / 。由于在最初时刻，订货量为Q ，在T 时刻，存贮量为 0，而且单位时间的需求量为 D 且连续均匀变化，因此，得到订货量Q 、需求量 D 和订货周期T 之间的关系 QT = 。 D （1） 0 （2）由此计算出一个单位时间内的平均总费用 C = 1 2 DCQC D P + Q 对式（1）求导数，并令其为 0，即 DC D Q 2 = P = − C dC dQ 1 2 得到费用最小的订货量 DC 2 D C * = Q P （3）最佳订货周期 * T = 最小费用 C * = 1 2 Q * D = C D2 DC P （4） * DCQC D Q + P * = DCC 2 PD （5） -685-

公式（3）称为经济订购批量（economic ordering quantity，简写 EOQ）公式，也称为经济批量（economic lot size）公式。例 1 某商品单位成本为 5 元，每天保管费为成本的 0.1%，每次定购费为 10 元。已知对该商品的需求是 100 件/天，不允许缺货。假设该商品的进货可以随时实现。问应怎样组织进货，才能最经济。解根据题意， ×=pC 005.0%1.05 = （元/件·天）， 10=DC 元， =D 100 件/ 天。由式（3）～（5），有 * Q = * T = * C = DC 2 D C = P Q 632 * D 100 DCC 2 = PD = = 632 （件） 2 100 10 × × .0 005 32.6 （天） = 16.3 （元/天）所以，应该每隔 6.32 天进货一次，每次进货该商品 632 件，能使总费用（存贮费和定购费之和）为最少，平均约 3.16 元/天。时全年的费用。进一步研究，全年的订货次数为 =n = 75.57 （天） 365 32.6 与 58=n 但 n 必须为正整数，故还需要比较 57=n 编写如下LINGO程序： model: sets: times/1 2/:n,Q,C; endsets data: n=57 58; enddata C_D=10; D=100*365; C_P=0.005*365; @for(times:n=D/Q;C=0.5*C_P*Q+C_D*D/Q); end 求得全年组织 58 次订货费用少一点。利用 LINGO 软件，我们可以直接求出问题的整数解。 LINGO 程序如下： model: sets: times/1..100/:C,Q; !100不是必须的，通常取一个适当大的数就可以了; endsets C_D=10; D=100*365; C_P=0.005*365; @for(times(i):Q(i)=D/i;C(i)=0.5*C_P*Q+C_D*D/Q); -686-

C_min=@min(times:C); Q_best=@sum(times(i):Q(i)*(C(i) #eq# C_min)); !(C(i) #eq# C_min)返回的值为0或1; N_best=D/Q_best; end 求得一年组织 58 次订货，每次的订货量为 629.3 件，最优费用为 1154.25 元。 2.2 模型二：允许缺货，补充时间较长—经济生产批量存贮模型模型假设条件：（1）需求是连续的，即需求速度 D 为常数；（2）补充需要一定时间。即一旦需要，生产可立刻开始，但生产需要一定周期。设生产是连续均匀的，即生产速度 P 为常数。同时，设 DP > ；（3）单位存贮费为 PC ，单位缺货费为 SC ，订购费为 DC 。不考虑货物价值。存贮状态图见图 3。图 3 允许缺货且补充时间较长的存贮模型 ,0[ T 为一个存贮周期， 1t 时刻开始生产， 3t 时刻结束生产。 ,0[ ] 2t 时间内存贮为 0， 1t 时达到最大缺货量 B ， ] D 满足需求，另一方面以速度 DP − 补充时间内产量一方面以速度 1t 时间内的缺货，至 2t 时刻缺货补足。 ] 时间内产量一方面以速度 D 满足需求，另一方面以速度 DP − 增加存贮。 1 t t ,[ ,0[ t [ ] ] 2 2 t , 3 至 3t 时刻达到最大存贮量 A ，并停止生产。 [ 3 Tt , ] 时间内以存贮满足需求，存贮以速度 D 减少。至T 时刻存贮降为零，进入下一个存贮周期。下面，根据模型假设条件和存贮状态图，首先导出 ,0[ T 时间内的平均总费用（即 ] 1 t t ,[ 2 ] 看，最大缺货量 B = ( tDP )( − − t 1 ) 2 。 − 故有 B = ；从，从中解出：从 Dt 1 费用函数），然后确定最优存贮策略。 1Dt 1t 看，最大缺货量 ,0[ ] tDP )( ( = − DP t = 1 2 t , ] 3 3tTDA ) − − P A 看，最大存贮量 t − t [ 从 ( tDP )( 2 t t 1 = − ( ) 3 2 。故有 D P 2 =− t tT ( − t 3 （6） = ) tDP ( )( − tTD ( − = 3 3 2 2 ) ；从 t − ) ，从中解得 [ 3 Tt , ] 看，最大存贮量 ) 2 （7） -687-

易知，在 ,0[ T 时间内：存贮费为 ] 1 2 tDtCS 21 ,0[ T 时间内平均总费用为；定购费为 DC 。 ] 故 1 2 tDPCP )( − ( − tTt − 2 )( 2 ) 3 ；缺货费为 tTC ,( ) = 2 11 ⎡ ⎢⎣ T 2 tDPC )( − ( P − tTt − 2 )( 2 3 1) + 2 CtDtC + 21 s ⎤ ⎥⎦ D 故将（6）和（7）代入，整理后得 ( tTC ,( ) = 2 DDP ) − 2 P ⎡ TC ⎢ p ⎣ − tC 2 P 2 + C ( P + tC 2 ) 2 T S ⎤ +⎥ ⎦ C D T （8）解方程组可得 ) 2 ) 2 tTC ,( ∂ T ∂ tTC ,( ∂ t ∂ 2 ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ = 0 = 0 * T = t * 2 = 容易证明，此时的费用 D CC ( 2 CDC S P C P C C + * tTC , P ( + P 1( − C ) S D ) P * T ) 是费用函数 S * 2 2tTC ,( ) 的最小值。因此，模型的最优存贮策略各参数值为：最优存贮周期 * T = D CC ( 2 CDC P S （9） + P 1( C ) S D ) − P 经济生产批量 * Q = * DT = （10） CDC 2 ( P D CC 1( − P S ) C + S D ) P CC 2 PD C + C ( P S 缺货补足时间 t * 2 = C P C + P S C * T = DC S 开始生产时间结束生产时间 t * 1 = t * 3 = DP − P t * 2 = D P * T 1( −+ CC 2 1( PD DC C ( D P t ) * 2 P S -688- 1)( （11） − D P ) D P C S ) ) （12） − + （13）

最大存贮量最大缺货量平均总费用 TDA ( * = * Dt B = * 1 C 2 C D T * = * * − t * 3 ) （14）（15）（16）例 2 有一个生产和销售图书设备的公司，经营一种图书专用设备，基于以往的销售记录和今后市场预测。估计今后一年的需求量为 4900 个，由于占用资金的利息以及存贮库房和其它人力物力的费用，存贮一个书架一年要花费 1000 元。这种书架是该公司自己生产的，每年的生产量 9800 个，而组织一次生产要花费设备调试等生产准备费 500 元。如果允许缺货，缺货费为每年每件 2000 元。该公司为了把成本降到最低，应如何组织生产？要求出其生产、存贮周期，每个周期的最优生产量，以及最少的年总费用。， 9800 =P ， =DC 500 ， =SC 2000 ，解根据题意知， 1000 利用式（9）～（13），（16）求相关的指标。 =PC 4900 =D ，编写的 LINGO 程序如下： model: D=4900; C_P=1000; P=9800; C_D=500; C_S=2000; T=(2*C_D*(C_P+C_S)/(D*C_P*C_S*(1-D/P)))^0.5; !单位为年; TT=T*365; !单位为天; Q=D*T; T_S=C_P*TT/(C_P+C_S); !求缺货时间; T_P=D*TT/P; ! 求生产周期; C=2*C_D/T; ! 求年总费用; end 求得每个周期为 9 天，其中 9 天中有 4.5 天在生产，每次的生产量为 121 件，而且缺货的时间有 3 天。总的费用（包括存贮费、订货费和缺货费）为 40414.52 元。可以把模型一看作模型二的特殊情况。在模型二中，取消允许缺货和补充需要一定和，则模型二就是模型一。事实上，如将 ∞→P ∞→SC ∞→SC 代入模型二的最优存贮策略各参数公式，就可得到模型一的最优存贮策略。只时间的条件，即 ∞→P 是必须注意，按照模型一的假设条件，应有， * 0 t * 2 t * 3 = = = ， * QA = ， t * 1 2.3 模型三：不允许缺货，补充时间较长—基本的经济生产批量存贮模型在模型二的假设条件中，取消允许缺货条件（即设 * =B ， 0 ∞→sC 2 =t 0 ），就成为模型三。因此，模型三的存贮状态图和最优存贮策略可以从模型二直接导出。模型三的存贮状态见图 4。下面我们用另外的方法导出模型三的最优存贮策略。 -689-

图 4 经济生产批量模型存贮量的变化情况经济生产批量存贮模型除满足基本假设外，其最主要的假设是：当存贮降到零后， DP > ，即生产的产品一部分满足需求，剩余部分才开始进行生产，生产率为 P ，且作为存贮。设生产批量为Q ，生产时间为t ，则生产时间与生产率之间的关系为 Qt = P 对于经济生产批量模型，有 tDP ) 最高存贮量 = ( ( − = QDP ) − P DCD 。这样，平均总费用为 1( −= D P Q ) （17）而平均存贮量是最高存贮量的一半，关于平均固定订货费与经济定购模型中的平均订货费相同，同样是 Q 1( − C = 1 2 D P QC ) P + DC D Q （18）类似于前面的推导，得到最优生产量、最优存贮周期、最大存贮量和最优存贮费用（19）（20） * Q = * T = C Q * D ) D − DC 2 D 1( P PC 2 ( − DPDC D P P = A * 1( −= D P * Q ) = 1(2 − DC ) D ) D P C P （21） * C = C 2 D T * = 1(2 − D P DCC ) DP （22）例 3 商店经销某商品，月需求量为 30 件，需求速度为常数。该商品每件进价 300 元，月存贮费为进价的 2％。向工厂订购该商品时订购费每次 20 元，定购后需 5 天才开始到货，到货速度为常数，即 2 件/天。求最优存贮策略。解本例特点是补充除需要入库时间（相当于生产时间）外，还需要考虑拖后时间。因此，订购时间应在存贮降为零之前的第 5 天。除此之外，本例和模型三的假设条件完全一致。本例的存贮状态见图 5。 -690-

图 5 拖后时间的存贮模型从图 5 可见，拖后时间为 ,0[ 0t ，存贮量 L 应恰好满足这段时间的需求，故 ] 1=D 件/天， 300 2.0 = =PC × 1%2 × 30 L = 。 0Dt 元/天·件，根据题意，有 20=DC 元/次， * =Q 20 2=P 件/天， 0 =t 5 天， * =T 件， =×=L 20 551 * =A 天，件。代入（19）～（22），求得 10 * =C 件， 2 元在本例中， L 称为订货点，其意义是每当发现存贮量降到 L 或更低时就定购。在存贮管理中，称这样的存贮策略为“定点订货”。类似地，称每隔一个固定时间就订货的存贮策略为“定时订货”，称每次订购量不变的存贮策略为“定量订货”。 2.4 模型四：允许缺货，补充时间极短的经济订购批量存贮模型在模型二的假设条件中，取消补充需要一定时间的条件（即设），就成为模型四。因此，和模型三一样，模型四的存贮状态图和最优存贮策略也可以从模型二直接导出。 ∞→P 模型四的存贮状态图见图 6。下面我们用另外的方法导出模型四的最优存贮策略。设 T 仍为时间周期，其中 1T 表示 T 中不缺货时间， 2T 表示 T 中缺货时间，即 sC 为缺货损失的单价， Q 仍为每次的最高订货量，则 T + 2 T 1 SQ − 为最高存贮量，因为每次得到订货量Q 后，立即支付给顾客最大缺货 S 。。 S 为最大缺货量, T = 图 6 允许缺货的经济订购批量存贮模型的存贮情况以一个周期为例，计算出平均存贮量、平均缺货量和平均总费用。 1 2 平均存贮量 = 其中 + T 0 2 − TSQ ) ( 1 T = TSQ ( ) 1 − T 2 （23） -691-

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