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1992年考研数学二真题及答案.doc
1992年考研数学二真题及答案
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
1992 年考研数学二真题及答案
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设
x
y
( )
,
f
t
3
t
(
1),
f e
其中 f 可导,且 (0)
f
,则
0
dy
dx
0t
＿＿＿＿＿＿.
(2) 函数
y
x
2cos
x
在[0,
]
2
上的最大值为＿＿＿＿＿＿.
(3)
(4)
lim
0
x
1
x
e
2
1
x
cos
x
＿＿＿＿＿＿.
1
dx
2
(
x x
1)
＿＿＿＿＿＿.
(5) 由曲线
y
x
xe 与直线 y
ex 所围成的图形的面积 S ＿＿＿＿＿＿.
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 当
x 时,
0
x
sin
x
是 2x 的
(A) 低阶无穷小
(C) 等价无穷小
2
x
( )
f x
x
2
(2) 设
(B) 高阶无穷小
(D) 同阶但非等价的无穷小
,
x
,
x x
0
0
,则
(A)
f
(
x
)
2
(
x
2
x
,
x
),
x x
0
0
(C)
f
(
x
)
2
x
2
x
,
x
,
x x
0
0
(3) 当
x 时,函数
1
1
1
x
e
2
x
x
1
1
的极限
(B)
f
(
x
)
(
x
2
2
x
),
x x
,
x
0
0
(D)
f
(
x
)
2
x
2
x
,
x x
,
x
0
0
(A) 等于 2
(C) 为
(4) 设 ( )
f x 连续,
( )
F x
(A)
4(
f x
)
(C)
2
(
xf x
4
)
2
x
0
(B) 等于 0
(D) 不存在但不为
f
2
(
t dt
)
,则 ( )F x 等于
(B)
2
4(
x f x
)
(D)
2
(
xf x
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(5) 若 ( )
f x 的导函数是sin x ,则 ( )
f x 有一个原函数为
(A) 1 sin x
(C) 1 cos x
(B) 1 sin x
(D) 1 cos x
三、(本题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.)
(1) 求
lim(
x
3
6
x
x
)
x
1
2
.
(2) 设函数
y
( )
y x
由方程
y
xe
y
所确定,求
1
2
d y
2
dx
0x
的值.
(3) 求
3
x
1
x
2
dx
.
(4) 求
0
1 sin xdx
.
(5) 求微分方程
(
y
3
x dx
)
2
xdy
的通解.
0
四、(本题满分 9 分)
设
( )
f x
2
1
,
x x
x
,
e
x
0
0
,求
3
1
(
f x
2)
dx
.
五、(本题满分 9 分)
求微分方程
y
3
y
2
y
的通解.
xe
x
六、(本题满分 9 分)
计算曲线
y
ln(1
七、(本题满分 9 分)
2
上相应于
x
)
0
x 的一段弧的长度.
1
2
求曲线 y
面积最小.
x 的一条切线 l ,使该曲线与切线 l 及直线 0,
x
八、(本题满分 9 分)
(
)
x
所围成的平面图形
2
已知 ( ) 0,
x
f
f
(0) 0
,试证：对任意的二正数 1x 和 2x ,恒有
(
f x
1
x
2
)
(
f x
1
)
(
f x
2
)
成立.
1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)
(1)【答案】3
(2)【答案】 3
(3)【答案】 0
6
(4)【答案】
1 ln 2
2
e
(5)【答案】 1
2
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)
(1)【答案】(B)
(2)【答案】(D)
(3)【答案】(D)
(4)【答案】(C)
(5)【答案】(B)
(3)【答案】
3
2
(1
2
x
)
1
2
x
C
其中C 为任意常数.
方法 1：积分的凑分法结合分项法,有
(4)【答案】 4( 2 1)
(5)【答案】
y C x
31
x
5
,其中C 为任意常数
四、(本题满分 9 分)
分段函数的积分应
六、(本题满分 9 分)
由于
y
ln(1
x
2
)
,
y
2
x
2
1
x
,1
2
y
(1
(1
x
x
2 2
)
2 2
)
,
ds
1
2
y dx
1
1
2
2
x
x
dx
,(0
x
1
2
)
,
所以
s
1/ 2
0
1
1
2
2
x
x
dx
1/ 2
0
2
)
2 (1
1
x
x
2
dx
1/ 2
0
2
x
2
1
1
dx
1/ 2
0
1
1
x
dx
1/ 2
0
1
1
x
dx
1
2
ln
1
x
1
x
1/ 2
0
1
2
ln 3
1
2
.
七、(本题满分 9 分)
过 曲 线 上 已 知 点 0
(
x y 的 切 线 方 程 为
)
,
0
y
y
0
(
k x
x
0
)
, 其 中 当
y x
0(
)
存 在
时,
k
y x
0(
)
.
如图所示,设曲线上一点 ( ,
t
)
t 处的切线方程为
y
t
1 (
t
2
)
x t
,
y
t
化简即得
y
x
2
面积
( )
S t
其一阶导数
( )
S t
1
2
t
3/ 2
.
t
2
x
t
2
0
2
t
t
2
x
x dx
1
t
t
O
4
3
2
,
t
2
t
1
t
.
t
2
1/ 2
1
2
t
令 ( ) 0
S t
解得唯一驻点 1t ,而且 S 在此由负变正,即 ( )S t 在 (
单调递减,在
,1]
[1,
) 单调递增,在此过程中 ( )S t 在 1t 时取极小值也是最小值,所以将 1t 代入先前所
设的切线方程中,得所求切线方程为
y .
x
2
1
2
八、(本题满分 9 分)
x
证法一：用拉格朗日中值定理证明.不妨设 2
x
1
,要证的不等式是
0
[0,
在 1
]x 上用中值定理,有
(
f x
1
x
2
)
(
f x
2
)
(
f x
1
)
f
(0)
.
(
f x
1
)
f
(0)
f
x
( )
1
,
0
x ,
1
在 2
,
x x
1
[
x 上用中值定理,又有
]
2
(
f x
1
x
2
)
(
f x
2
)
f
( )
,
x x
1
2
x
1
x
2
,
由 ( ) 0,
所以 ( )
f x 单调减,而
x
f
x
1
x
2
,有 ( )
f
f
( )
,所以
(
f x
1
x
2
)
(
f x
2
)
(
f x
1
)
f
(0)
(
f x
1
)
,
即
(
f x
1
x
2
)
(
f x
1
)
(
f x
2
)
.
证法二：用函数不等式来证明.
要证
(
f x
1
x
)
(
f x
1
)
( ),
f x x
.
0
令辅助函数
( )
x
(
f x
1
)
( )
f x
(
f x
1
x
)
,则
( )
x
( )
f x
(
f x
1
x
)
.
由 ( ) 0,
x
f
( )
f x
单调减,
( )
f x
(
f x
1
x
),
x
( ) 0
,由此,
( )
x
(0)
(
f x
1
)
f
(0)
(
f x
1
) 0(
x
0)
.
改 x 为 2x 即得证.
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