1992年考研数学三真题及答案.doc-资料库

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1992 年考研数学三真题及答案一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.) (1) 设商品的需求函数为 Q  100 5  P ,其中 ,Q P 分别表示为需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于 1,则商品价格的取值范围是_________. (2) 级数  ( 2) x  n 4 n 1  n 2 n 的收敛域为_________. (3) 交换积分次序 1  0 dy  2 2  y y ( , f x y dx )  _________. (4) 设 A 为 m 阶方阵, B 为 n 阶方阵,且 A a B b C   , ,     0 B A 0    ,则 C  ________. (5) 将 , C C E E I N S 等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词 SCIENCE 的 , , , , , 概率为__________. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.) x 2 x   x a a (1) 设 ( ) F x  (A) 2a (C) 0 f ( ) t dt ,其中 ( ) f x 为连续函数,则 lim ( ) F x x  a 等于 ( ) (B) 2 ( ) a f a (D) 不存在 (2) 当 x  时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? 0 ( ) (A) 2x (C) 1 x 2  1 (B) 1 cos x  (D) x  tan x (3) 设 A 为 m n 矩阵,齐次线性方程组 Ax  仅有零解的充分条件是 0 ( ) ( ) (A) A 的列向量线性无关 (C) A 的行向量线性无关 (B) A 的列向量线性相关 (D) A 的行向量线性相关 (4) 设当事件 A 与 B 同时发生时,事件C 必发生,则 (A) ( P C )  ( ) P A  ( P B ) 1  (B) ( P C )  ( ) P A  ( P B ) 1  (C) ( P C )  ( P AB ) (D) ( P C )  ( P A B  ) (5) 设 n 个随机变量 1 X X , , 2 X 独立同分布, , n D X ( ) 1  2  , X n 1   n 1  i X , i

2 S  n n 1   1 1  i ( X i  X 2 ) ,则 ( ) (A) S 是的无偏估计量 (B) S 是的最大似然估计量 (C) S 是的相合估计量(即一致估计量) (D) S 与 X 相互独立问函数 ( ) f x 在 1x  处是否连续?若不连续,修三、(本题满分 5 分) 设函数 ( ) f x 1) , x ln cos( x      1 sin   2   1, x  1, x  1. 改函数在 1x  处的定义使之连续. 四、(本题满分 5 分) 计算 I   arccot x e x e dx . 五、(本题满分 5 分) 设 sin(  z xy )   ( , x )x y ,求 2z  x y   ,其中 ( , )u v 有二阶偏导数. 六、(本题满分 5 分) 求连续函数 ( ) f x ,使它满足 ( ) 2 f x  x  0 f ( ) t dt  2 x . 七、(本题满分 6 分) 求证:当 1x  时, arctan x  1 2 arccos 2  x x 2 1   4 . 八、(本题满分 9 分) 设曲线方程 y x ( x e  0) . (1) 把曲线 y x e , x 轴, y 轴和直线 ( 得一旋转体,求此旋转体体积 ( )V  ;求满足 0) x   所围成平面图形绕 x 轴旋转一周, 1 2 lim ( )    的 a . ( ) V a V  (2) 在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积. 九、(本题满分 7 分)

设矩阵 A 与 B 相似,其中 A       2 0 0  2 3 x 1 1   2 ,    B       1 0 0    0 2 0   0 0 y  . (1) 求 x 和 y 的值. (2) 求可逆矩阵 P ,使得 1P AP B  .  十、(本题满分 6 分) 已知三阶矩阵 0B  ,且 B 的每一个列向量都是以下方程组的解:      2 x x  1 2 2 x x  1 2 3 x x  1 2 2 x  3 x   3 x  3 0,  0,  0.  (1) 求的值; (2) 证明 0B  . 十一、(本题满分 6 分) 设 A B、分别为 m n、阶正定矩阵,试判定分块矩阵 C     A 0 0 B    是否是正定矩阵. 十二、(本题满分 7 分) 假设测量的随机误差 X N 2 (0,10 ) ,试求 100 次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率,并利用泊松分布求出的近似值(要求小数点后取两位有效数字). [附表]  e  1 2 3 4 5 6 7 … 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 … 十三、(本题满分 5 分) 一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 0.10,0.20 和 0.30.假设各部件的状态相互独立,以 X 表示同时需要调整的部件数,试求 X 的数学期望 EX 和方差 DX . 十四、(本题满分 4 分) 设二维随机变量 ( )X Y 的概率密度为 , ( , f x y )  ye   0,  , 0 , x y   其他, (1) 求随机变量 X 的密度 ( ) x ; Xf (2) 求概率 { P X Y  1} .

答案一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】 (10,20] 根据 ( Q P ) 100 5   P  ,得价格 0 P  20 ,又由 Q  按照经济学需求弹性的定义,有 100 5 Q P  得 ( P ) 5   ,  P    ( ) Q P ( ) Q P   5 P 100 5  P , 令   5 P 100 5  P  5 P 100 5  P  1 ,解得 10 P  . 所以商品价格的取值范围是 (10,20] . (2)【答案】 (0,4) 因题设的幂级数是缺项幂级数,故可直接用比值判别法讨论其收敛性. 首先当 2 0 当 2 x  时级数收敛. x   即 2 x  时,后项比前项取绝对值求极限有 2)  4 2( ( 2) x  ( 1)4 n  n 4 n 2)  lim n   1)  x x 1  ( (  2 n n n 2 lim n  n  1 n ( x  2 2)  4 , 当 2 ( 2) x  4  ,即当 0 1       或 2 2 2 0 2 x x 4x  时级数绝对收敛. 又当 0 x  和 4 x  时得正项级数 1   ,由 p 级数： n n 1  1   当 1p  时收敛；当 1p  时发散. p n n 1  所以正项级数 1   是发散的. n n 1  综合可得级数的收敛域是 (0,4) . 注：本题也可作换元 ( x  2 2)  后,按如下通常求收敛半径的办法讨论幂级数 t 敛性. n t   的收 1 4 n  n n

R  1 , 0      ,   0,    ,   0,   .    (3)【答案】 1  0 dx 2 x  0 ( , f x y dy ) 2 2 x    1 2 dx  0 ( , f x y dy ) 这是一个二重积分的累次积分,改换积分次序时,先表成：原式 ( , . f x y dxdy ) 由累次   D 积分的内外层积分限确定积分区域 D ： D  {( , x y ) 0   y 1, y   x 2  y 2 } , 即 D 中最低点的纵坐标 0 y  ,最高点的纵坐标 y 1y  , D 的左边界的方程是 x y ,即 y 2 x 的右支, D 的右边界的方程是 x  2 2  即 2 x y 2 y  的右半圆, 2 D O 1 2 x 从而画出 D 的图形如图中的阴影部分,从图形可见 D D D 2   1 ,且 D 1 D 2   {( , x y {( , x y ) 0 ) 1   1,0 x x     x y   y 2 }, 2 2,0  x 2 }. 所以 1  0 dy  2 2  y y ( , f x y dx ) 1   0 dx 2 x  0 ( , f x y dy ) 2 2  x   1 2 dx  0 ( , f x y dy ) . (4)【答案】 ( 1)mn ab  由拉普拉斯展开式, C  0 B A 0   ( 1) mn A B   ( 1) mn ab . (5)【答案】 1 1260 按古典概型求出基本事件总数和有利的基本事件即可. 设所求概率为 ( )P A ,易见,这是一个古典型概率的计算问题,将给出的七个字母任意排成一行,其全部的等可能排法为 7!种,即基本事件总数为 7! ,而有利于事件 A 的样本点 ) ( 数为 2! 2! P A ,即有利事件的基本事件数为 4,根据古典概型公式 n  1   . 2! 2!  7! 1260 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(B) (2)【答案】(D)

(3)【答案】(A) (4)【答案】(B) (5)【答案】(C) 三、(本题满分 5 分) 函数 ( ) f x 在 x x 处连续,则要求 0 lim ( ) f x x  x 0  ( f x ) 0 . 方法 1:利用洛必达法则求极限 lim ( ) f x 1 x  ,因为 lim ( ) f x 1 x  为“ 母在点 0 处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有 1) sin( x  cos( 1) x  x   cos 2 2 lim ( ) f x 1 x  lim 1 x       lim 1 x  ln cos( 1) x  x  1 sin  2 1 2 cos ( 1) x  x  ( sin )   2 2 f x 在 1x  处不连续.  ,所以 ( ) 4 2    . 而 (1) 1  ,故 f  2  lim 1 x  f x lim ( ) 1 1 x  4 2  0 0 ”型的极限未定式,又分子分 2  lim 1 x  1) tan( x  x  cos 2 若令 f (1)   ,则函数 ( ) f x 在 1x  处连续. 方法 2:利用变量代换与等价无穷小代换, x  时, 0 cos x  1  21 x 2 ；ln(1  )x x  . 求极限 lim ( ) f x 1 x  ,令 1x   ,则有 t lim ( ) f x 1 x   lim 1 x  ln cos( 1) x  x  1 sin  2 cos t  2 1  2 4  1 2 t  lim 0 t   lim 0 t  以下同方法 1. 四、(本题满分 5 分) 用分部积分法:  lim 0 t  ln cos 1 cos  t t  2  lim 0 t  1)] ln[1 (cos  1 cos  t  t  2  1 2 2  8 2 t 2 t   4 2  . I    arccot x e de  x   e  x arccot e x   x e  x e e  1 dx x 2   e  x arccot e x  (1   e  1 2 x 2 x e ) dx

  e  x arccot e x   x 1 2 ln(1  e 2 x )  C , 其中C 为任意常数. 注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验. 五、(本题满分 5 分) 这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的. 由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求 z  x  )z   ,再求 ( x y   . 由复合函数求导法,首先求 xz ,由题设  xz  y cos( xy )  再对 y 求偏导数,即得    2   1 1 y , z  xy  cos( xy )  xy sin( xy )    ) (  1 y  1 y   ( )  2 y  1 2 y   2  cos( xy )  xy sin( xy )    12    x y     y  1 y   22    x y     y  1 2 y   2  cos( xy )  xy sin( xy )  x 2 y   12  x 3 y   22  1 2 y   2 . 六、(本题满分 5 分) 两端对 x 求导,得 ( ) 2 ( ) f x  f x   2 x .记 ( ) P x  2, ( ) Q x  2 x ,有通解 ( ) f x  e   P x dx ( ) P x dx ( )  (  ( ) Q x e dx C  )  e  2  x ( 2 2 x xe dx C  )  Ce  2 x   x 1 2 , 其中C 为任意常数. 由原方程易见 (0) 0 f  ,代入求得参数 C  .从而所求函数 1 2 ( ) f x  1 2  2 x e   . x 1 2 七、(本题满分 6 分) 方法 1：令 ( ) f x  arctan x  1 2 arccos 2  ,则 2 x  1 4 x  2 2 )(1 ) 2 (1 x x     2 2 2 2 ( ) 1)(1 x x    ( ) f x  1 x  2 1  0( x  1) . 因为 ( ) f x 在[1, ) 连续,所以 ( ) f x 在[1, ) 上为常数,因为常数的导数恒为 0. 故 ( ) f x f (1) 0  ,即 arctan x  1 2 arccos 2  x x 2 1   4 .

( ) f x 方法 2：令  4 由拉格朗日中值定理知,至少存在一点 (1, )x 2 1   arccos arctan x x 1 2    x 2 ,使得 ,则 ( ) f x 在[1, ]x 上连续,在 (1, )x 内可导, ( ) f x  f (1)  f x ( )(  1). 由复合函数求导法则,得  ( ) f x  1 x  2 1 所以 ( ) f x f (1) .由 (1) 0  可得,当 1x  时, f 2 2 ) 2 (1 )(1 x x     2 2 2 1)(1 2 ( ) x x   1 2 arccos arctan  x  0( x  1) , 2  x x 2 1   4 . 八、(本题满分 9 分) 对于问题(1),先利用定积分求旋转体的公式求 ( )V  ,并求出极限 lim ( )V    .问题(2)是导数在求最值中的应用,首先建立目标函数,即面积函数,然后求最大值. (1)将曲线表成 y 是 x 的函数,套用旋转体体积公式  V  ( )    0 V lim ( )     2 2 ae  (1 由题设知  )  (2) 过曲线上已知点 0 ( 0   x dx  2 2 y dx    2   e 2 )  e   1 ln 2 2 lim (1    4 , x y 的切线方程为 a   2 ,得 ) . 0  e 2  ),  ( ) V a   2 (1  e 2  a ),  2 (1 . y  y 0  ( k x  x 0 ) ,其中当 y x 存在时, 0( ) k y x 0( ) . 设切点为 ( , a e )a ,则切线方程为 y  e  a   e  a ( x a  ) . 令 0 x  ,得 y a  e (1  a ) ,令 0 y  ,得 1x a   . 由三角形面积计算公式,有切线与两个坐标轴夹的面积为 a a    1 2 2 ) a e 1 (1 2 S  ；当 1a  时, S  .故当 1a  时,面积 S 有极大值,此问题中即为最   (舍去). 2 ) a e 0 21, a (1 0 令 1   ,  a  2 ) a e  a . S  1 (1 2 S  得 1 a 0,  S 因    (1 ) a e 由于当 1a  时, 大值. 故所求切点是 (1, 1 )e ,最大面积为 S 1 2   2 1  2  e  2 e 1  . 九、(本题满分 7 分) 因为 A B ,故可用相似矩阵的性质建立方程组来求解参数 x 和 y 的值.若 1P AP   ,则  是 A 的特征向量.求可逆矩阵 P 就是求 A 的特征向量.

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