1992年考研数学一真题及答案.doc

发布时间：2022-09-22 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.50M 资料格式：doc 举报版权申诉

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1992 年考研数学一真题及答案一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.) (1) 设函数由方程确定,则 ____________. (2) 函数在点处的梯度 ____________. (3) 设 ____________. (4) 微分方程则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于的通解为 ____________. (5) 设 ,其中则矩阵的秩 ____________. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 当 (A) 等于 2 时,函数的极限 (B) 等于 0 (C) 为 ( (D) 不存在但不为 ) (2) 级数 (常数 ) ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关 (3) 在曲线的所有切线中,与平面平行的切线 ( ) (A) 只有 1 条 (B) 只有 2 条 (C) 至少有 3 条 (D) 不存在 (4) 设 (A) 0 ,则使存在的最高阶数为 ( ) (B) 1 (C) 2 (D) 3 (5) 要使都是线性方程组的解,只要系数矩阵为 ( )

(A) (C) (B) (D) 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.) . (1) 求 (2) 设 (3) 设 ,其中具有二阶连续偏导数,求 . 求 . 四、(本题满分 6 分.) 求微分方程的通解. 五、(本题满分 8 分) 计算曲面积分的上侧. 六、(本题满分 7 分) , 其中为上半球面设 , ,证明对任何 ,有 . 七、(本题满分 8 分) 在变力的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的点 ,问当取何值时,力所做的功最大? 并求出的最大值. 八、(本题满分 7 分)

设向量组线性相关,向量组线性无关,问： (1) 能否由线性表出？证明你的结论. (2) 能否由线性表出？证明你的结论. 九、(本题满分 7 分) 设 3 阶矩阵的特征值为 ,对应的特征向量依次为 ,又向量 , (1) 将用线性表出. (2) 求 ( 为自然数). 十、填空题(本题满分 6 分,每小题 3 分.) (1) 已知 , , ,则事件、、全不发生的概率为___________. (2) 设随机变量服从参数为 1 的指数分布,则数学期望 ___________. 十一、(本题满分 6 分) 设随机变量与独立, 服从正态分布 , 服从上的均匀分布,试求的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数表示,其中 ).

答案一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】【解析】函数是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式. 方程两边对求导,将看做的函数,得 .解出 ,即【相关知识点】1.复合函数求导法则： . 如果可导,且其导数为在点可导,而或 . 2.两函数乘积的求导公式：在点可导,则复合函数在点 . (2)【答案】【解析】对函数求各个分量的偏导数,有；； . 由函数的梯度(向量)的定义,有 , . 在点可导,则复合函数在点所以【相关知识点】复合函数求导法则：如果可导,且其导数为在点可导,而或 .

(3)【答案】【解析】是区间的端点,由收敛性定理—狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在处收敛于【相关知识点】收敛性定理—狄利克雷充分条件： . 函数在区间上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；(ⅱ) 只有有限个极值点.则在上的傅里叶级数收敛,而且 (4)【答案】为任意常数【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于 ,方程两边同乘 , 得故通解为 (5)【答案】1 . 为任意常数. 【解析】因为矩阵中任何两行都成比例(第行与第行的比为 ),所以中的二阶子式全为 0,又因 ,知道 , 中有一阶子式非零.故 . 【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在阶子式不为零,而所有的阶子式全为零时,则此矩阵的秩为 .

二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(D) 【解析】对于函数在给定点的极限是否存在需要判定左极限和右极限是否存在且相等,若相等,则函数在点的极限是存在的. , , ,故当时函数没有极限,也不是 .故应选(D). (2)【答案】(C) 【解析】对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小 , , 又因为级数：当时收敛；当时发散. 所以有收敛. 收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C). 注：对于正项级数 ,确定无穷小关于的阶(即与级数作比较)是判断它的敛散性的一个常用方法.该题用的就是这个方法. (3)【答案】B 【解析】先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为 0 得切点对应的值. 求曲线上的点,使该点处的切向量与平面让切线与平面平行. 的法向量垂直,即可以曲线在任意点处的切向量 , ,即 ,解得 .(对应于曲线上的点均不在给定的平面上) 因此,只有两条这种切线,应选(B).

(4)【答案】(C) 【解析】因处处任意阶可导,只需考查所以,写成分段函数的形式,有对分段函数在对应区间上求微分, ,它是分段函数, 是连接点. 再考查在连接点处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论. , , 即同理可得对于有所以在 (5)【答案】(A) ,即 . 不可导, 不存在,应选(C). 【解析】 , 向量对应的分量不成比例,所以 , 是两个线性无关的解, 故 .由知 . 再看(A)选项秩为 1；(B)和(C)选项秩为 2；而(D)选项秩为 3.故本题选(A). 【相关知识点】对齐次线性方程组 ,有定理如下: 对矩阵按列分块,有 ,则的向量形式为那么, 有非零解线性相关三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.)

(1)【解析】由等价无穷小有时, , 原式= , 上式为“ ”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有原式 . (2)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的. 由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求 ,再求 . 由复合函数求导法则得 , . 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数都在点具有对及对的偏导数,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在点的两个偏导数存在,且有； . (3)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.

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