北京邮电大学 2016——2017 学年第 2 学期 4 学时《概率论与随机过程》期末考试（A）答案 考试注意事项：学生必须将答题内容做在试题答题纸上，做在试题纸上一律无效。 一． 填空题（45 分，每空 3 分） 1. 设 ， 为两个随机事件， ， ，则 .0.9 2. 设 ,则 的概率密度是 . 3. 设 的密度函数为 ，则 , ， . , 1, 0.5 4. 设 ,且 和 相互独立，则 . 0.5 5. 设 相互独立，均服从泊松分布，参数分别为 1，2，则 的分布律为 . 6. 设 , 服从期望为 的指数分布. 的相关系数为 ，则 的特征函数 为 , 7. 设 8. 设 . , 0.85 则 . 0.5 , 其 中 为 常 数 ， 是 相 互 独 立 的 正 态 随 机 变 量 ， 且 , ,则 的一维概率密度 ，该过程关于均值 ____(是，否)有均方遍历性. , 是 9. 设 是参数为 的维纳过程。定义 , 则自相关函数 . 12 10. 设 是参数为 1 的泊松过程，则 . 11. 设齐次马氏链 的状态空间 ,一步转移矩阵为 , 则 - 1 - AB()0.2PA=(|)(|)0.5PABPBA==()PAB=(,)XUab25YX=+11, 2525()20, axbfxba++=−其他X2(1)()()xfxaex−−=−+a=()EX=()DX=19(18,),2XN(2,2)YNXY11(5)32PXY−=,XYXY+33(),0,1,!kePXYkkk−+===(1,0.5)XbY13,XY0.4XY=X(3+2)DXY−=0.50.5jte+(,),1,2,,nXbnpn=lim(0)nnPXnp→−=00()sincos,0XtUtVtt=+0,UV()()0EUEV==222()()EUEV=={()}Xt(;)fxt=2221,2xex−−+{(),0}Wtt2()(3)XtWt=(2,7)XR={(),0}Ntt((1)1,(2)3)PNN===22e−}0,{nXn{12}E=，14551122

. 二．(5 分) 设离散型随机变量 的分布律满足 ，求 的分布律. 解. 如： 三．(15 分) 设 在区域 上服从均匀分布，求 (1) 边缘概率密度 ，并问 是否相互独立，并给出理由； (2) 是否不相关，并 给出理由； (3) 条件概率密度 . 解. 的概率密度为 . (1) , 类似地，可以得到 . 容易看到， 是 , , 的连续点，但 ，所以 不独立. (2) 由 可得 同理， 又因为 知 从而， 的相关系数 也即 不相关. (3) 当 时， . - 2 - lim(2)nnPX→==813X()(1)(1),1PXkPXkPXkk===−=+Xe(),01.XGpp(,)XY22(,)|1Dxyxy=+(),()XYfxfy,XY,XY|(|)YXfyx(,)XY221, +1(,)0, xyfxy=其他22211121, ||1, ||1()(,)0, 0, xxXxdyxxfxfxydy−+−−−−===其他其他()()YXfyfy=11()22，()Xfx()Yfy(,)fxy2111113(,)()()2222XYfff==,XY()(,)0,EXxfxydxdy++−−==221()(,),4EXxfxydxdy++−−==1()=0.4DX()0,EY=1()=0.4DY()(,)0,EXYxyfxydxdy++−−==cov(,)()()()0,XYEXYEXEY=−=,XY=0XY，,XY||1x22|1, ||1(,)(|)21()0, YXXyxfxyfyxyfx−==−其他

四．（10 分） 设齐次马氏链 的状态空间为 ，一步转移概率矩阵为 ， 初始分布为 ， , 求 (1) ; (2) ; (3) . 解. 两步转移概率矩阵 (1) (2) (3) 五．（13 分） ; . 设 平 稳 随 机 过 程 和 相 互 独 立 ， 且 . , 功 率 谱 密 度 分 别 为 和 . (1) 证明随机过程 是平稳过程，并求 与 的互谱密度 ； (2) 将 加到脉冲响应函数为 的线性滤波器，求输出 的自相关函数 ，输 出的平均功率，输入与输出的互相关函数 ． - 3 - }0,{nXn{,,,}Eabcd=1000110022111033311114444P=0001()()()=5PXaPXbPXc=====02()5PXd==2()PXa=2451 (,,|)PXaXbXbXd====245 (,,)PXaXbXb===(2)21000310044115101818925137148484816PP==(2)2,,,11123112549()((0))(,,,)(1,,,);55554184872TiiaiabcdPXaqp=====(1)(2)(1)2451 (,,|)0daabbbPXaXbXbXdppp======(2)(2)(1)245 (,,)0aabbbPXaXbXbqpp=====1()Xt2()Xt1(())0EXt=1()Xt2()Xt124()4S=+222()4S=+12()()+()XtXtXt=1()Xt()Xt1()XXS()Xt2()2()thteut−=()Yt()YR()XYR

(1) 证明： 常数； 与 无关, 可知 为平稳过程. 因为 与 的互相关函数为 ， 所以 . (2) 的谱密度为 ; 的傅里叶变换 ，而且 ； 则 的谱密度为 . 因而， 的自相关函数为 . 另外，输出的平均功率 . 由输入与输出的互谱密度 知， 输入与输出的互相关函数 . 六．（12 分） 设齐次马氏链的状态空间为 ,其一步转移概率矩阵为 . (1) 画出状态转移图; (2) 讨论状态分类，各状态的周期; (3) 求平稳分布. 解. (1) 略. (2) 显然任意两个状态, 此链不可分. 并且所有状态周期都相同. 考虑状态 1. - 4 - 12[()][()][()]EXtEXtEXt=+=12[()()]()()XXEXtXtRR+=+t()Xt1()Xt()Xt1111[()()]()[()][()]()XXEXtXtREXtEXtR+=++=1124()=()=4XXXSS+()Xt12()=()+()=1XXXSSS()ht2()2Hj=+224|()|4H=+()Yt224()=|()|()4YXSHS=+()Yt2||1()()2jYYRSede+−−==(0)1YR=()=()()=()XYXSHSH1()()()2jXYXYRSedht+−==}3,2,1{=E4100055410005541000554100055P=(1)(2)()111111141414,,,(),55555nnfff−===

首次返回概率 故状态 1 是常返的. 另外, 所以状态 1 又是正常返的. 由于转移概率 ,所以状态 1 是非周期的.则它又是遍历的. 因此从而所有状态都是遍历的. (3) 设平稳分布 . 由 和 可得 所以平稳分布为 . - 5 - ()11111=1.iiff==()11115,4iiif===+111p=12(,,,,,)n=P=11ii+==141(),155nnn−=