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2021-2022学年江苏省无锡市九年级上学期数学期末试题及答案.doc
2021-2022 学年江苏省无锡市九年级上学期数学期末试题及
答案
参考公式：一组数据 1x 、 2x 、…、 nx 的平均数为 x ，则方差
2
S
1
n
x
1
x
2
x
2
x
2
x
n
x
2
．
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题所给出的四个选项中，只
有一项是正确的，请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1. 下列方程是一元二次方程的是（
）
A. 2
x
y
2
B.
32
x
x
0
C.
x
1
y
7
D.
7
2
x
x
2
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【详解】解：A. 2
y ，是二元一次方程，故本选项不符合题意．
2
x
B.
32
x
C.
x
0
x ，是一元三次方程，故本选项不符合题意．
1
y
，是分式方程，故本选项不符合题意．
7
2
，该一元二次方程，故本选项符合题意．
7
x
2
D.
x
故选 D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义含有一个未知数，并且含未知
数的项的次数为 2，系数不为 0 的整式方程是解题关键．
5
OA ，则点 A 在（
B. ⊙O 上
）
C. ⊙O 外
D. 无法确
2. 已知⊙O 的半径为 4，
A. ⊙O 内
定
【答案】C
【解析】
【分析】根据⊙O 的半径 r=4，且点 A 到圆心 O 的距离 d=5 知 d>r，据此可得答案．
【详解】解：∵⊙O 的半径 r=4，且点 A 到圆心 O 的距离 d=5，
∴d>r，
∴点 A 在⊙O 外，
故选：C．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有 3 种．设⊙O 的半径为 r，
点 P 到圆心的距离 OP=d，则有：①点 P 在圆外⇔d＞r；②点 P 在圆上⇔d=r；③点 P 在圆内
⇔d＜r．
3. 若 a 是从“ 1 、0、1、2”这四个数中任取的一个数，则关于 x 的方程
a
21
x
为一元二次方程的概率是（
）
3 0
x
B.
3
4
C.
1
2
D.
1
3
A. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为 0，四个数中有一个 1 不能取，a 是从
“ 1 、0、1、2”这四个数中任取的一个数，有四种等可能的结果，其中满足条件的情况有
3 种，然后利用概率公式计算即可．
【详解】解：当 a=1 时于 x 的方程
a
21
x
是一元二次方程，
不是一元二次方程，其它三个数都
3 0
x
a 是从“ 1 、0、1、2”这四个数中任取的一个数，有四种等可能的结果，其中满足条件的
情况有 3 种，
关于 x 的方程
a
21
x
故选择 B．
为一元二次方程的概率是
3 0
x
3
4
，
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，列举法求概率，掌握一元二次方程的定义，列举法
求概率方法是解题关键．
4. 一组样本数据为 1、2、3、3、6，下列说法错误的是（
）
A. 平均数是 3
B. 中位数是 3
C. 方差是 3
D. 众数是
3
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的定义逐一求解可得．
【详解】A、平均数为
1 2 3 3+6 =3
5
，故此选项不符合题意；
B、样本数据为 1、2、3、3、6，则中位数为 3，故此选项不符合题意；
C、方差为
1 [(1 3)
5
2
(2 3)
2
(3 3)
2
(3 3)
2
D、众数为 3，故此选项不符合题意．
故选：C．
(6 3) ] 2.8
，故此选项符合题意；
2
【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数、方差．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中
位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数
的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
5. 一种药品经过两次降价，药价从每盒 60 元下调至 48.6 元，设平均每次降价的百分率为
x，根据题意所列方程正确的是（
60 1
48.6
A.
B.
）
2
x
48.6
C.
60 1
x
2
48.6
D.
60
2
x
60 1 2
x
48.6
【答案】B
【解析】
【分析】根据等量关系：原价×（1－x）2=现价列方程即可．
【详解】解：根据题意，得：
60 1
48.6
x
2
，
故答案为：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列出方程是解答的关键．
6. 在圆内接四边形 ABCD 中，∠A、∠B、∠C 的度数之比为 2：4：7，则∠B 的度数为（
）
A. 140°
【答案】C
B. 100°
C. 80°
D. 40°
【解析】
【分析】
C
A
2: 4:7
，
A
40
，进而求解 BÐ 的值．
:
B C
180
， :
A
180
C
A
2: 4:7
2: 7
【详解】解：由题意知
∵ :
A
A
A
B C
∴
:
: 180
40
A
∴
∵ :
B
A
80
B
∴
故选 C．
2: 4
【点睛】本题考查了圆内接四边形中对角互补．解题的关键在于根据角度之间的数量关系求
解．
7. 如图，在平面直角坐标系中，
A
（
）
0, 3
，
B
2, 1
，
C
2,3
．则△ABC 的外心坐标为
B.
1,1
C.
2, 1
D.
2,1
A.
0,0
【答案】D
【解析】
【分析】由 BC 两点的坐标可以得到直线 BC∥y 轴，则直线 BC 的垂直平分线为直线 y=1，再
由外心的定义可知△ABC 外心的纵坐标为 1，则设△ABC 的外心为 P（a，-1），利用两点距离
公式和外心的性质得到
2
PA
2
a
1 3
2
2
a
16
2
PB
a
2
2
1 1
2
2
a
4
a
8
，由此求解即可．
【详解】解：∵B 点坐标为（2，-1），C 点坐标为（2， 3），
∴直线 BC∥y 轴，
∴直线 BC 的垂直平分线为直线 y=1，
∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，
∴△ABC 外心的纵坐标为 1，
设△ABC 的外心为 P（a，1），
∴
2
PA
2
a
1 3
2
2
a
16
2
PB
a
2
2
1 1
2
2
a
4
a
8
，
∴ 2
a
解得
a
a ，
16
2
2
4
a
8
，
∴△ABC 外心的坐标为（-2， 1），
故选 D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于
能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点．
8. 如图，AB 是 O 的直径，CD 是 O 的弦，且CD AB∥ ，
阴影部分的面积为（
）
AB ，
12
CD ，则图中
6
A. 18
【答案】C
B. 12
C. 6
D. 3
【解析】
【分析】如图，连接 OC，OD，可知 COD△
S
阴影
=
S
扇形
COD
=
2
n r
360
，计算求解即可．
【详解】解：如图连接 OC，OD
是等边三角形，
n
COD
60
， 6
r ，
∵
OC OD
1
2
AB CD
∴
∴ COD△
是等边三角形
60
COD
=ACD
S
S
由题意知
COD
△
△ ，
S
阴影
=
S
扇形
COD
=
2
n r
360
60
2
6
360
6
故选 C．
【点睛】本题考查了扇形的面积，等边三角形等知识．解题的关键在于用扇形表示阴影面积．
9. 定义一种新运算：
a
b
2
a b
，
a b
※
2
a b
，则方程
x
1
2
※
是（
）
3
x
2
的解
A.
x ， 2
1
x
1
2
2
B.
x ， 2
1
x
1
1
2
C.
1 1
x ， 2
x
1
2
【答案】A
【解析】
x ， 2 2x
1
1
2
D.
【分析】根据新定义列出关于 x 的方程，解方程即可．
【详解】解：由题意得，方程
2
※
1
3
2
x
x
，化为
2(
x
1)
2
，
6
x
2
整理得， 22
x
3,
c
a
2,
b
0
3
2
x
，
2
，
b
∴
x
ac
3 5
4
，
解得： 1
x ， 2
x ，
2
2 4
b
2
a
1
2
故选 A．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，正确理解新运算、掌握公式法解一元二次方程
的一般步骤是解题的关键．
10. 如图，在 Rt△ABC 中，
BAC
90
，
AB AC
，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点．将
6
△ADE 绕点 A 顺时针旋转 60°，射线 BD 与射线 CE 交于点 P，在这个旋转过程中有下列结论：
①△AEC≌△ADB；②CP 存在最大值为3 3 3
；③BP 存在最小值为3 2 3 ；④点 P 运动的
路径长为 2．其中，正确的（
）
A. ①②③
【答案】B
【解析】
【分析】根据
BAC
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
90
，
AB AC
，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点．得出∠DAE=90°，
6
AD=AE=
1
2
6=3
，可证∠DAB=∠EAC，再证△DAB≌△EAC（SAS），可判断①△AEC≌△ADB 正
确；作以点 A 为圆心，AE 为半径的圆，当 CP 为⊙A 的切线时，CP 最大，根据△AEC≌△ADB，
得出∠DBA=∠ECA，可证∠P=∠BAC=90°，CP 为⊙A 的切线，证明四边形 DAEP 为正方形，得
出 PE=AE=3，在 Rt△AEC 中，CE=
2
AC
2
AE
2
AC
2
AE
2
6
2
3
3 3
，可判断
②CP 存在最大值为3 3 3
=
2
BC
PC
2
最大
6 2
正确；△AEC≌△ADB，得出 BD=CE=3 3 ，在 Rt△BPC 中，BP 最小
可判断③BP 存在最小值为3 2 3
3 3 3
3 3 3
2
2
不正确；取 BC 中点为 O，连结 AO，OP，AB=AC=6，∠BAC=90°，
BP=CO=AO=
1
2
BC
1
2
2
AB
2
AC
AE 为半径的圆相切，此时 sin∠ACE=
1 6 2
2
AE
AC
3
6
3 2
，当 AE⊥CP 时,CP 与以点 A 为圆心，
，可求∠ACE=30°，根据圆周角定理得出
1
2
∠AOP=2∠ACE=60°，当 AD⊥BP′时，BP′与以点 A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时
sin∠ABD=
AD
AB
3
6
，可得∠ABD=30°根据圆周角定理得出∠AOP′=2∠ABD=60°，点 P
1
2
在以点 O 为圆心，OA 长为半径的圆上运动轨迹为 PA P A或 ，L PA =L P A
3
120
180
2
可判断④点 P 运动的路径长为 2正确即可．
6
【详解】解：∵
AB AC
BAC
，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点．
90
，
∴∠DAE=90°，AD=AE=
1
2
6=3
，
∴∠DAB+∠BAE=90°，∠BAE+∠EAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
在△DAB 和△EAC 中，
AD AE
DAB
AB AC
EAC
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
故①△AEC≌△ADB 正确；
作以点 A 为圆心，AE 为半径的圆，当 CP 为⊙A 的切线时，CP 最大，
∵△AEC≌△ADB，
∴∠DBA=∠ECA，
∴∠PBA+∠P=∠ECP+∠BAC，
∴∠P=∠BAC=90°，
∵CP 为⊙A 的切线，
∴AE⊥CP，
∴∠DPE=∠PEA=∠DAE=90°，
∴四边形 DAEP 为矩形，
∵AD=AE，
∴四边形 DAEP 为正方形，
∴PE=AE=3，
在 Rt△AEC 中，CE=
2
AC
2
AE
2
AC
2
AE
2
6
2
3
3 3
，
∴CP 最大=PE+EC=3+3 3 ，
故②CP 存在最大值为3 3 3
正确；
∵△AEC≌△ADB，
∴BD=CE=3 3 ，
在 Rt△BPC 中，BP 最小=
2
BC
PC
2
最大
6 2
2
3 3 3
2
3 3 3
，
BP 最短=BD-PD=3 3 -3，
故③BP 存在最小值为3 2 3 不正确；
取 BC 中点为 O，连结 AO，OP，
∵AB=AC=6，∠BAC=90°，
∴BP=CO=AO=
1
2
BC
1
2
2
AB
2
AC
1 6 2
2
3 2
，
当 AE⊥CP 时,CP 与以点 A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时 sin∠ACE=
AE
AC
3
6
，
1
2
∴∠ACE=30°，
∴∠AOP=2∠ACE=60°，
当 AD⊥BP′时，BP′与以点 A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时 sin∠ABD=
AD
AB
3
6
，
1
2
∴∠ABD=30°，
∴∠AOP′=2∠ABD=60°，
∴点 P 在以点 O 为圆心，OA 长为半径的圆上运动轨迹为 PA P A或 ，
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