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现代通信原理（樊昌信）课后习题答案--人民邮电出版社--第二章.docx
第二章 信号分布
思考题
1. 什么是确知信号？它有哪些描述形式？
【答】（1）确知信号：是指在任何时间的取值都是确定的和可预知的信号，通常
它可以用数学公式表述。
（2）a.周期性信号和非周期性信号。
b.能量信号和功率信号。
2. 傅里叶级数存在的条件是什么？
【答】傅里叶级数存在需要满足狄利克雷条件，即：
a.在任一周期上， ( )s t 是绝对可积的： ( )
s t dt
。
T
b.在任何有限时间内， ( )s t 只有有限个极大值和极小值。
c.在任何有限时间内， ( )s t 只有有限个不连续点。
3. 什么是随机过程，它有哪些特征？
【答】（1）若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随
机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。
（2）随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
4. 什么是随机过程的期望、方差和自相关函数？它们之间的关系是什么？
【答】（1）a.期望：表示随机过程的 n 个样本函数曲线的摆动中心，它是时间的
确定函数。
b.方差：表示随机过程在时刻 t 对于均值的偏离程度。
c.自相关函数：衡量同一随机过程在任意两个时刻的随机变量之间的相关程度。
（2）都是随机过程的数字特征，用来描述随机过程的主要特征。
5. 什么是宽平稳随机过程？什么是严平稳随机过程？两者的关系是什么？
【答】（1）若一个随机过程的均值和方差与时间无关，且自相关函数和时间起点
无关，则称其为宽平稳随机过程。
（2）严平稳随机过程：随机过程的任意 n 维分布与时间起点无关，且满足条件：
a.一维分布与 t 无关： 1
(
,
f x t
1 1
)
(
f x
1
1
)
。
t
b.二维分布只与 2
有关： 2
t
1
;
t
f x x t
2 1 2
(
,
,
1
)
; )
f x x
2
(
,
1
2
。
（3）关系：严平稳随机过程一定也是宽平稳随机过程；反之，宽平稳随机过程
不一定是严平稳随机过程。
6. 平稳随机过程的自相关函数的性质有哪些？它与功率谱密度是什么关系？
【答】（1）a.平稳随机过程的自相关函数仅与两个取样时间的时间间隔有关，即
R
( )
[ ( ) (
E n t n t
)]
( ) (
n t n t
1
1
)
。
b.当 0 时， ( )R 就等于此随机信号的平均功率，即
（2）自相关函数与功率谱密度为一对 FT 变换对，即
P R
(0)
2
[
E n t
( )]
2
( )
n t
。
R
( )
-
)
G f e
(
j
df
FT
(
G f
)
-
( )
R e
-
j
d
。
7. 什么是高斯随机过程？它有哪些性质？
【答】（1）我们将概率密度服从正态分布的平稳随机过程称为高斯随机过程，它
又称为正态随机过程。
（2）a.对高斯过程而言，广义（宽）平稳和狭义（严）平稳是等价的。也就是
说，若高斯过程是广义平稳的，则它也一定是狭义平稳的。
b.对于高斯过程在不同时刻的值，互不相关和相互独立是等价的。也就是说，如
果高斯过程的随机变量之间互不相关，则它们是统计独立的。
c.高斯过程通过线性系统，其输出也是一个高斯过程。
d.均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关。
8. 窄带高斯噪声的同相分量和正交分量的统计特性如何？它的包络和相位分别
服从什么概率分布？
【答】（1）同相分量和正交分量也是零均值的平稳高斯过程，而且均值和 kec（t）
具有相同的方差。
（2）包络：瑞利分布；相位：均匀分布。
习 题
1. 均值为零的高斯随机变量，其方差 2
x ，则 2
x 的概率为
4
。
A．0.3137
B.0.1587
C.0.6827
D.0.3413
【分析】有概率论的知识，可以知道， (
P x
2) 1
(
P x
2)
(
P x
。所以，
2)
求出 (
P x 与 (
2)
P x 的概率，即可求得答案。
2)
【解答】均值 0 ，方差 2
x 的高斯随机变量 X， 将其标准化，令 X
Y
4
，
所以，随机变量 Y 服从标准高斯分布，即
Y N
(0,1)
。所以，
(
P x
2)
P
0
x
2
y
1
通过查表可得：
(
P x
2)
P y
1
0.6827
且，连续随机变量，在某点的概率为 0，即 (
P x
2)
。
0
所以， (
P x
2) 1 0.6827 0 0.3137
2. 设随机过程 ( )X t 可表示成
( )
X t
式中是一个离散随机变量，且
P
(
2cos(2
)
t
1
2
0)
、
P
(
)
2
1
2
，则 (1)
EX 及 (0,1)
RX
A 。
分别为
A． (1) 1
E
X
R
，
(0,1) 2
X
B． (1) 0
E
R
，
X
(0,1) 2
X
C． (1) 0
E
R
，
X
(0,1) 1
X
D． (1) 1
E
R
，
X
(0,1) 1
X
【分析】此题，可直接求出 ( )X t 在 1t 时的数学期望；然后根据自相关函数的公
( ,
R t
式 1
t
2
)
[ ( ) (
E n t n t
1
2
)]
( ) (
n t n t
1
2
)
即可求得 (0,1)
RX
。
【解答】（1）在 1t 时， ( )X t 的均值为：
XE
(1)
[2cos(2
E
1
t
)]|
t
1
2
)]
2 [cos(2
E
t
1
2
2
cos
1
2 [cos ] 2
E
cos0
同理，可求 (0,1)
RX
为：
XR
(0,1)
[
E X
(0)
X
(1)]
4 [cos
E
2
] 4
[2cos
E
1
2
cos 0
2
2cos(2
1
2
cos
)]
2
2
2
3. 如题图 2-3 所示的 4 个周期相同的信号：
（1）用直接求傅里叶系数的方法求图（a）所示信号的傅里叶级数；
（2）将图（a）的函数 1( )
T ，就得图（b）的函数 2( )
2
t 左（或右）移
f
f
t ，利用（1）
的结论求 ( )
t2 的傅里叶级数。
f
（3）利用以上结论求图（c）的信号 3( )
f
t 的傅里叶级数。
（4）利用以上结论求图（d）的信号 4( )
f
t 的傅里叶级数。
（a）
（b）
（c）
（d）
【分析】（1）先根据图（a）写出的 1( )
傅里叶系数公式求解即可，（2）、（3）、（4）均可根据上一步的结论直接写出答案。
【解答】（1） 1( )
上的表达式，然后利用
上的表达式为：
t 在区间 (
t 在区间 (
)
)
f
f
,
T T
2 2
T T
2 2
,
0,
2 ,
t
T
利用三角傅里叶系数的公式，计算 an 得
( )
t
f
1
t
T
2
0
t
0
T
2
a
0
2
T
T
/2
-
T
/2
f
( )
t dt
2
T
T
/2
0
2
T
tdt
1
2
na
T
/2
-
T
/2
f
( )cos(
t
n t dt
)
2
T
1
n
T
/2
0
T
/2
0
2
T
t
cos(
n t dt
)
sin(
n t dt
)
2
T
4
2
T
t
1
n
4
1
2
T
n
cos(
) 1,
n
2
)
(
n
T
0
sin(
n t
)
/2
|
T
0
/2
sin(
n t dt
)
n
1,2,...
同理，可得系数bn
2
T
nb
T
/2
f
( )sin(
t
-
/2
T
cos(
) ,
n
n
n
n t dt
)
1,2,...
2
T
T
/2
0
2
T
t
sin(
n t dt
)
因此，信号 ( )
t1 的傅里叶级数为：
f
f
1
( )
t
1
4
n
1
) 1
cos(
n
2
(
)
n
cos(
n t
)
n
1
)
cos(
n
n
sin(
n t
)
（2）将函数 ( )
t1 左移
f
T ，就得图（b）的函数 ( )
2
f
t2 ，所以，
f
2
( )
t
f
1
(
t
T
2
)
可直接由 ( )
t1 的傅里叶级数写出 ( )
t2 的傅里叶级数，即，
f
f
f
2
( )
t
1
4
1
4
1
4
1
4
n
1
1
n
1
n
n
1
) 1
cos(
n
2
)
(
n
) 1
cos(
n
2
)
(
n
) 1
cos(
n
2
)
(
n
1 cos(
(
)
n
)
n
2
cos
n
t
T
2
cos(
n t n
)
sin
n
t
T
2
sin(
n t n
)
n
1
)
cos(
n
n
1
n
cos(
)
n
n
cos(
)
n
n
1
n
cos(
n
)cos(
)
n t
cos(
n
)sin(
n t
)
cos(
)
n t
n
1
1
n
sin(
n t
)
f
（3）同理，可知： 3
( )
t
f
2
(
，所以 ( )
t
t3 的傅里叶级数为：
)
f
f
3
( )
t
1
4
1
4
)
n
2
n
1
n
1
1 cos(
(
)
n
1 cos(
(
)
n
cos(
n t
)
sin(
n t
)
)
n
2
cos(
)
n t
sin(
n t
)
1
n
1
n
1
n
n
1
n
n
1
1
1
n
1
n
1
n
1
n
( )
t
f
f
（4）同理，可知： 4
1
4
1
4
( )
t
f
4
n
1
n
1
1
4
1
2
2
n
( )
t
，所以 ( )
t4 的傅里叶级数为：
f
( )
t
f
)
n
2
3
)
n
2
2
1 cos(
(
)
n
1 cos(
(
)
n
1 cos(
)
(
n
1
1 cos(
)
n
2
(
)
n
1
n
)
n
2
cos(
n t
)
sin(
n t
)
cos(
)
n t
sin(
n t
)
cos(
)
n t
sin(
n t
)
cos(
n t
)
4. 求题图 2-4 所示各信号的傅里叶变换。
【分析】先根据图写出各自的表达式，然后利用常用信号傅里叶变换对和傅里叶
变换性质求解即可。
（a）
（b）
（c）
【解答】（1）图（a）中信号 ( )
f
t1 的表达式为： 1
f
（d）
( ) Re
t
ct
/ 2
t
门信号 Re
ct
t
的傅里叶变换为： Re
ct
t
sin (
c
f
)
再根据时移特性
(
f t
)
t
0
F f e
2
(
)
j
ft
0
，可得 ( )
t1 的傅里叶变换为：
f
f
1
( )
t
(
F f
1
)
sin (
c
f e
)
j
f
（2）图（b）中信号 ( )
f
t2 的表达式为：
f
2
( )
t
1
[ ( )
t u t
1 [
( )
tu t
(
u t
1)]
(
t
1) (
u t
1)
(
u t
1)]
常用信号变换对
( )
u t
)
(
，
1
j
( )
tu t
j
)
1
(
d
2
d
。
再根据时移特性
(
f t
)
t
0
F f e
2
(
)
j
ft
0
，可得 ( )
t2 的傅里叶变换为：
f
f
2
( )
t
F
2
(
)
1
j
(
1
)
d
2
d
(1
e
j
2
f
)
1
)
(
1
j
e
j
2
f
（3）图（c）中信号 ( )
f
t3 的表达式为：
f
3( )
t
cos
( 1
t
1)
cos
[ (
u t
1)
(
u t
1)]
t
2
2
t
其中， (
u t
1)
(
u t
1) Re
ct
t
2
。
常用信号变换对 Re
ct
t
sin (
c
f
)
，
cos(2
f t
0
)
1
2
[ (
f
f
0
)
(
f
。
)]
f
0
再根据时域相乘，频域相卷的特性，可得 ( )
f
t3 的傅里叶变换为：
f
3
( )
t
(
F f
3
)
2sin (2 )
f
c
[ (
sin [2(
c
f
1
2
1
)]
4
f
1
)
4
sin [2(
c
1
)]
4
(
f
f
1
4
)]
（4）图（d）中信号 ( )
f
t4 的表达式为：
4( )
f
t
sin
sin
/ 2
(
T
[ (
u t T
t
t
t T
/ 2)
/ 2)
(
u t T
/ 2)]
其中， (
u t T
/ 2)
(
u t T
/ 2) Re
ct
t
T
。
常用信号变换对 Re
ct
t
sin (
c
f
)
，
sin(2
f t
0
)
1
2
j
[ (
f
f
0
)
(
f
。
)]
f
0
再根据时域相乘，频域相卷的特性，可得 ( )
f
t4 的傅里叶变换为：
)
2
T
2
j
(
f
sin [ (
c T f
)]
2
)]
2
f
4
( )
t
(
F f
4
)
T
sin (
c Tf
)
1
2
j
T
2
j
sin [ (
c T f
[ (
f
)]
2
5. 求下列周期信号的基波角频率 和周期T 。
（1） 100
j
t
e
（2） cos
2
(
t
3)
（3） cos
t
2
sin
t
4
【分析】基波角频率 直接由定义写出，周期T 根据公式求出 2
T
；周期为 2
2
s
100
【解答】（1）基波角频率为： 100
/
rad s
T
。
。
（2）基波角频率为：
（3）基波角频率为：
2
4
/
rad s
/
rad s
T
；周期为 2
；周期为 2
T
4
s
。
8
s
。
6. 考虑无限次投掷一枚硬币，随机过程 ( )X t 的样本函数定义为
( )
X t
(
1
1)
n
T t
(
1
1)
T t
n
nT
nT
当第 次投掷为正面
当第 次投掷为反面
n
n
此处 n 取所有可能整数。请问这一过程时广义平稳随机过程吗？
【分析】略。
【解答】略。
7. 随机过程
( )
z t
x
1
cos
0
t
x
2
sin
0
t
，若 1x 和 2x 是彼此独立且均值为 0、方差
为 2 的正态随机变量，试求：
（1） [ ( )]
E z t 、 2[
E z t ；
( )]
（2） ( )z t 的一维概率密度函数 ( )
f z ；
( ,
B t
（3） 1
)
( ,
t 与 1
R t
2
t 。
2
)
【分析】（1）求均值，用数学知识求解；（2）根据正态分布的性质可知， 1x 和 2x
是服从高斯分布的，则其线性组合
( )
z t
x
1
cos
0
t
x
2
sin
0
t
也是服从高斯分布的，
则可写出其一维概率密度函数 ( )
f z ；（3）自相关函数用公式求解即可，这里注
( ,
B t
意一下 1
( ,
)
t 是求协方差，其公式为： 1 2
t
B t
2
)
( ,
R t
t
1 2
)
[ ( )] [ (
E z t E z t
1
)]
2
。
【解答】（1）均值 [ ( )]
E z t 为：
[ ( )]
[
E z t
E x
1
cos
]
[
tE x
0
1
cos
t
x
0
2
sin
[
tE x
0
2
sin
t
0
] 0
]
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