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2016年湖南普通高中会考数学真题及答案.doc
2016 年湖南普通高中会考数学真题及答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分。在每小题给出的四个选项中，
时量 120 分钟，满分 100 分
只有一项是符合题目要求的。
1. 图 1 是某圆柱的直观图，则其正视图是
A．三角形
C．矩形
B．梯形
D．圆
2. 函数 cos ,
x x R
的最小正周期是
y
A． 2
2
C．
3. 函数 ( )
f x
2
x
1
的零点为
A．2
B．
1
2
B．
4
D．
C．
1
2
D． 2
4. 执行如图 2 所示的程序框图，若输入 a, b 分别为 4, 3，
则输出的 S
A．7
C．10
B．8
D．12
5. 已知集合
M x
{ |1
x
3},
N
{ | 2
x
，
5}
x
则 M N
A．{ |1
C．{ | 2
x
x
x
x
2}
3}
x
5}
B．{ | 3
x
D．
6. 已知不等式组
4,
x
x
y
y
0,
0
表示的平面区域为 ，则下列坐标对应的点落在区域 内
的是
A．(1,1)
B．( 3, 1)
D． (5,1)
7. 已知向量 (1,
m
a
A． 3
)
， (3,1)
b
B． 1
C． (0,5)
， 若 a
b
，则 m
C．1
D．3
x x a
) 0
的解集为
8. 已知函数
)
(
y
x x a
A．{ | 0
x
x
B．{ | 0
x
x
x x 或 2}
C．{ |
D．{ |
x x 或 2}
的图象如图 3 所示，则不等式 (
2}
2}
x
x
0
0
9. 已知两直线 2
y
x
和
0
x
y 的交点为 M，
3 0
则以点 M 为圆心，半径长为 1 的圆的方程是
(
x
B．
A．
2)
1)
1
(
x
2
2
(
y
2
1)
(
y
2
2)
1
C．
(
x
2
2)
(
y
2
1)
1
D．
(
x
2
2)
(
y
2
1)
1
10. 某社区有 300 户居民，为了解该社区居民的用水情况，从中随机抽取一部分住户某年
每月的用水量(单位：t)进行分析，得到
这些住户月均用水量的频率分布直方图
（如图 4），由此可以估计该社区居民月均
用水量在[4, 6) 的住户数为
A．50
B．80
C．120
D．150
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 2，0 分.
11. 若sin
5cos
，则 tan ____________.
12. 已知直线 1 :3
l
x
y ， 2 :
2 0
l mx
y . 若 1
l
1 0
/ /
l ，则 m ________.
2
13. 已知幂函数 y
x （为常数）的图象经过点 (4,2)
A
，则 ________.
14. 在 ABC
中，角 ,
,A B C 的对边分别为 ,
,a b c . 若 2a ， 3b ，
cos
C ，则
1
4
c _______.
15. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此收集若干数据，并
对 数 据 进 行 分 析 ， 得 到 加 工 时 间 (min)
y
与 零 件 数 x （ 个 ） 的 回 归 方 程 为
y
0.67
x
51
. 由此可以预测，当零件数为 100 个时，加工时间为__________.
三、解答题：本大题共 5 小题，满分 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分 6 分)
从一个装有 3 个红球 1
,B B 的盒子中，随机取出 2 个球.
2
A A A 和 2 个白球 1
2
,
,
3
（1）用球的标号列出所有可能的取出结果；
（2）求取出的 2 个球都是红球的概率.
17. (本小题满分 8 分)
(sin
x
2
cos ) ,
x
x R
.
的值；
已知函数
( )
f x
f
)
（1）求 (
4
（2）求 ( )
f x 的最小值，并写出 ( )
f x 取最小值时自变量 x 的集合.
18. (本小题满分 8 分)
已知等差数列{ }na 的公差
d ，且 1
a
2
a
2
6
.
（1）求 1a 及 na ；
（2）若等比数列{ }nb 满足 1
b
a ， 2
b
1
a ， 求数列{
a
2
n
b 的前 n 项的和 nS .
}
n
19. (本小题满分 8 分)
如图 5，四棱锥 P ABCD
（1）求证： AC 平面 PBD ；
的底面是边长为 2 的菱形， PD 底面 ABCD .
PD ，直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45 ，求四棱锥 P ABCD
2
的
（2）若
体积.
20. (本小题满分 10 分)
已知函数 ( )
f x
loga
x
(
a ，且 1a
0
) ，且 (3) 1
f
.
(1) 求 a 的值，并写出函数 ( )
f x 的定义域；
(2) 设 ( )
g x
f
(1
x
)
f
(1
，判断 ( )g x 的奇偶性，并说明理由；
x
)
x
(3) 若不等式 ( 4 )
f
t
f
x
(2
对任意 [1, 2]
x
)
t
恒成立，求实数的取值范围.
参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 4 分，满分 40 分)
1. C
2. A
3. B
4. D
5. C
6. A
7. A
8. B
9. D
10. C
二 、填空题(每小题 4 分，满分 20 分)
11.
5
12.
3
13.
1
2
14. 4
15.
118
三 、解答题(满分 40 分)
16. 【解析】(1) 所有可能的取出结果共有 10 个： 1
2A A ， 1
2A B ， 3
1A B ， 2
2
（2）取出的 2 个球都是红球的基本事件共有 3 个： 1
1A B ， 3
2A B ， 1
2B B .
3A A ， 1 1A B ， 1
…… 3 分
2A B ， 2
3A A ，
2A A ， 1
3A A ， 2
3A A .
所以，取出的 2 个球都是红球的概率为
17. 【解析】 ( ) 1 2sin cos
x
x
f x
) 1 sin
2
f
(
4
2
.
(1)
3
10
1 sin 2
.
x
.
…… 6 分
(2) 当sin 2
x 时， ( )
f x 的最小值为 0，此时 2
1
…… 4 分
x
k
2
2
，即
k
(
k Z
)
.
x
4
所以 ( )
f x 取最小值时 x 的集合为{ |
x x
，得 12
6
a
a
2
2
n
.
2
22,
4
q
b
(2 2
2 )
n
a
18. 【解析】(1) 由 1
1)
b
(2) 依题意，得 1
(2 4
2 2(
na
故
故
n
nS
4
6
d . 又
,
k
d ，所以 1
}
k Z
.
2
…… 8 分
a ，… 2 分
2
…… 4 分
2
a
……… 8 分
.
b
n
2n
. 于是
12
n
2.
n
n
2n
.
，即 2
2 )n
q ，所以
2
n
nb
n
2
19.【解析】(1) 因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AC BD
又因为 PD 底面 ABCD ， AC 平面 ABCD ，所以 PD AC
故 AC 平面 PBD .
.
…… 4 分
(2) 因为 PD 底面 ABCD ，所以 PBD
2
于是
S AB AD
PBD
45
，因此
sin 60
BD PD
2 3.
积为
是直线 PB 与平面 ABCD 所成的角.
，又
AB AD
，所以菱形 ABCD 的面
2
故四棱锥 P ABCD
20.【解析】(1) 由 (3) 1
V
的体积
4 3 .
3
1
S PD
3
a ，所以 3a
，得 log 3 1
的定义域为 (0,
) .
)
x
x
，定义域为 ( 1,1)
log (1
)
3
f
log
x
log (1
3
3
…… 8 分
.
…… 2 分
…… 4 分
.
函数
(2)
( )
f x
( )
g x
)
x
log
log (1
3
( )
f x
恒成立，等价于不等式组
log (1
x
3
在 (0,
3
( )
g x
)
x
) 上是增函数，所以. 不等式 ( 4 )
x
，所以 ( )g x 是奇函数. …… 7 分
(2
f
t
f
x
t
)
因为
g
(
x
)
(3) 因为函数
对任意 [1, 2]
x
x
4
0,
t
x
0,
2
t
x
x
4
2
t
( )
i
( )
ii
(
)
iii
t
.
对任意 [1, 2]
x
恒成立.
由 ( )i 得 0
t ；由 ( )ii 得 2x
t ，依题意得 2
t ；由 (
)iii 得
t
x
2
x
4
1
1
x
2
令 2x
u ，则 [2,4]
u
. 易知
区间[2,4] 上的最小值为
5
2
1
u
y
u
，故 1
在区间[2,4] 上是增函数，所以
2
t .
5
，依题意，得
的最大值为
2
5
y
综上所述，t 的取值范围为 2
5
x
2
1
x
2
2
t .
.
1
x
2
在
u
1
u
…… 10 分
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