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2011年湖北省随州市中考数学真题及答案.doc
2011 年湖北省随州市中考数学真题及答案
一、选择题（A，B，C，D 四个答案中，有且只有一个是正确的，每小题 4 分，共 40 分）
1、（2011•随州）cos30°=（
）
A、
B、
C、
D、
考点：特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：直接根据 cos30°= 进行解答即可．
解答：解：因为 cos30°= ，
所以 C 正确．
故选 C．
点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
2、（2011•随州）计算﹣22+（﹣2）2﹣（﹣ ）﹣1 的正确结果是（
）
A、2
B、﹣2
C、6
D、10
考点：负整数指数幂；有理数的乘方。
分析：根据负整数指数幂和有理数的乘方计算即可．
解答：解：原式=﹣4+4+2=2．
故选 A．
点评：本题考查了有理数的乘方以及负整数指数幂的知识，当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负
指数就可变为正指数．
3、（2011•随州）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（
）
A、14
C、20
B、16
D、28
考点：平移的性质；勾股定理。
分析：根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，即可得出答案．
解答：解：根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，故即可得出答案：
∵AC=10，BC=8，
∴AB=6，
图中五个小矩形的周长之和为：6+8+6+8=28．
故选 D．
点评：此题主要考查了勾股定理以及平移的性质，得出五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周
是解决问题的关键．
4、（2011•随州）一个几何体的三视图如下：其中主视图和左视图都是腰长为 4，底边为 2 的等腰三角形，
则这个几何体侧面展开图的面积为（
）
A、2π
B、
C、4π
D、8π
考点：圆锥的计算；由三视图判断几何体。
专题：计算题。
分析：由几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，可以判断这个几何体是圆锥．
解答：解：依题意知母线长 l=4，底面半径 r=1，
则由圆锥的侧面积公式得 S=πrl=π•1•4=4π．
故选 C．
点评：本题主要考查三视图的知识和圆锥侧面面积的计算；解决此类图的关键是由三视图得到立体图形；
学生由于空间想象能力不够，找不到圆锥的底面半径，或者对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，易造成错
误．
5、（2011•随州）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点 C，交 AB 的延长线于 D，且 CO=CD，则∠PCA=（
）
A、30°
B、45° C、60°
D、67.5°
考点：切线的性质。
专题：常规题型。
分 析 ： 根 据 图 形 利 用 切 线 的 性 质 ， 得 到 ∠COD=45° ， 连 接 AC ， ∠ACO=22.5° ， 所 以 ∠PCA=90° ﹣
22.5°=67.5°．
解答：解：如图：∵PD 切⊙O 于点 C，
∴OC⊥PD，
又∵OC=CD，
∴∠COD=45°，
连接 AC，∵AO=CO，
∴∠ACO=22.5°，
∴∠PCA=90°﹣22.5°=67.5°．
故选 D．
点评：本题考查的是切线的性质，利用切线的性质得到 OC⊥PD，然后进行计算求出∠PCA 的度数．
6、（2011•随州）如图，把 Rt△ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点 A、B 的坐标分别为（1，
0）、（4，0），将△ABC 沿 x 轴向右平移，当点 C 落在直线 y=2x﹣6 上时，线段 BC 扫过的面积为（
）
A、4
B、8
C、16
D、
考点：一次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质；平移的性质。
专题：计算题。
分析：根据题目提供的点的坐标求得点 C 的坐标，当向右平移时，点 C 的坐标不变，代入直线求得点平 C
的横坐标，进而求得其平移 的距离，计算平行四边形的面积即可．
解答：解：∵点 A、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），
∴AB=3，BC=5，
∵∠CAB=90°，
∴AC=4，
∴点 C 的坐标为（1，4），
当点 C 落在直线 y=2x﹣6 上时，
∴令 y=4，得到 4=2x﹣6，
解得 x=5，
∴平移的距离为 5﹣1=4，
∴线段 BC 扫过的面积为 4×4=16，
故选 C．
点评：本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出
线段的长是解题的关键．
7、（2011•随州）下列说法中
①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等
②数据 5，2，7，1，2，4 的中位数是 3，众数是 2
③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形
④Rt△ABC 中，∠C=90°，两直角边 a、b 分别是方程 x2﹣7x+7=0 的两个根，则 AB 边上的中线长为
正确命题有（
A、0 个
）
B、1 个 C、2 个
D、3 个
考点：根与系数的关系；垂线；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；等腰梯形的性质；中位数；众数。
专题：常规题型。
分析：①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，这两个角互补．
②在这组数据中，中位数是 2 和 4 的平均数，出现次数最多的数是 2，可以求出中位数和众数．
③等腰梯形是轴对称，而不是中心对称．
④利用根与系数的关系得到 a+b=7，ab=7，然后利用勾股定理求出斜边 AB，得到斜边中线的长．
解答：解：①一个角的两边垂直于另一个角的两边，这两个角互补，而不是相等，所以①错误．
②数据 1，2，2，4，5，7，中位数是 （2+4）=3，其中 2 出现的次数最多，众数是 2，所以②正确．
③等腰梯形只是轴对称图形，而不是中心对称图形，所以③错误．
④根据根与系数的关系有：a+b=7，ab=7，
∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=49﹣14=35，
即：AB2=35，
AB=
∴AB 边上的中线的长为
．所以④正确．
故选 C．
点评：本题考查的是根与系数的关系，利用基本概念对每个命题进行分析，作出正确的判断．
8、（2011•随州）若关于的二元一次方程组
的解满足 x+y＜2，则 a 的取值范围为（
）
A、x＜4
C、x＜﹣4
B、x＞4
D、x＞﹣4
考点：解一元一次不等式；解二元一次方程组。
专题：探究型。
分析：先把先把两式相加求出 x+y 的值，再代入 x+y＜2 中得到关于 a 的不等式，求出的取值范围即可．
解答：解：
，
①+②得，x+y=1+ ，
∵x+y＜2，
∴1+ ＜2，
解得 a＜4．
故选 A．
点评：本题考查的是解二元一次方程组及解二元一次不等式组，解答此题的关键是把 a 当作已知条件表示
出 x、y 的值，再得到关于 a 的不等式．
9、（2011•随州）如图，在△ABC 中 E 是 BC 上的一点，BC=2BE，点 D 是 AC 的中点，设△ABC，△ADF，△BEF
的面积分别为 S△ABC，S△ADF，S△BEF，且 S△ABC=12，则 S△ADF﹣S△BEF=（
）
A、1
C、3
B、2
考点：三角形的面积。
分析：本题需先分别求出 S△ABD，S△ABE 再根据 S△ADF﹣S△BEF=S△ABD﹣S△ABE 即可求出结果．
解答：解：∵S△ABC=12，
BC=2BE，点 D 是 AC 的中点，
D、4
∴S△ABE=
=4，
S△ABD=
=6，
∴S△ABD﹣S△ABE，
=S△ADF﹣S△BEF，
=6﹣4，
=2．
故选 B．
点评：本题主要考查了三角形的面积计算，在解题时要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个
三角形的面积之差进行变化是本题的关键．
10、（2011•随州）已知函数
，若使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则 k 的值为
（
）
A、0
B、1
C、2
D、3
考点：二次函数的图象。
专题：数形结合。
分析：首先在坐标系中画出已知函数
的图象，利用数形结合的方法即可找到
使 y=k 成立的 x 值恰好有三个的 k 值．
解答：解：函数
的图象如图：
，
根据图象知道当 y=3 时，对应成立的 x 有恰好有三个，
∴k=3．
故选 D．
点评：此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数
图象找交点的问题．
二、填空 ffi（共 5 道题，每小题 4 分，共 20 分）
11、（2011•随州）﹣ 的倒数是 ﹣2 ．
考点：倒数。
分析：根据倒数的定义直接解答即可．
解答：解：∵（﹣ ）×（﹣2）=1，
∴﹣ 的倒数是﹣2．
2（2a+1）（2a﹣1） ．
点评：本题考查倒数的基本概念，即若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数．属于基础题．
12、（2011•随州）分解因式：8a2﹣2=
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：先提取公因式 2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
解答：解：8a2﹣2，
=2（4a2﹣1），
=2（2a+1）（2a﹣1）．
故答案为：2（2a+1）（2a﹣1）．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意分解要彻底．
13、（2011•随州）要使式子
有意义，则 a 的取值范围为 a≥﹣2 且 a≠0 ．
考点：二次根式有意义的条件。
专题：计算题。
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可以求出 x 的范围．
解答：解：根据题意得：a+2≥0 且 a≠0，
解得：a≥﹣2 且 a≠0．
故答案为：a≥﹣2 且 a≠0．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数．
14、（2011•随州）如图：点 A 在双曲线
上，AB 丄 x 轴于 B，且△AOB 的面积 S△AOB=2，则 k= ﹣4 ．
考点：反比例函数系数 k 的几何意义。
专题：探究型。
分析：先根据反比例函数图象所在的象限判断出 k 的符号，再根据 S△AOB=2 求出 k 的值即可．
解答：解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＜0，
∵S△AOB=2，
∴|k|=4，
∴k=﹣4．
故答案为：﹣4．
点评：本题考查的是反比例系数 k 的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一
点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变．
15、（2011•随州）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 平分线 BP 交于点 P，若∠BPC=40°，
则∠CAP= 50° ．
考点：角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质。
分析：根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出
∠CAP=∠FAP，即可得出答案．
解答：解：延长 BA，做 PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP 平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP 平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=（x﹣40）°，
∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）=80°，
∴∠CAF=100°，
在 Rt△PFA 和 Rt△PMA 中，
PA=PA，PM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA，
∴∠FAP=∠PAC=50°．
故答案为：50°．
点评：此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分
线的性质得出 PM=PN=PF 是解决问题的关键．
三、解答题（共 9 进大题，共 90 分）
16、（2011•随州）解方程：
．
考点：解分式方程。
专题：计算题。
分析：观察可得最简公分母是 x（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答：解：方程两边同乘以 x（x+3），
得 2（x+3）+x2=x（x+3），
2x+6+x2=x2+3x，
∴x=6
检验：把 x=6 代入 x（x+3）=54≠0，
∴原方程的解为 x=6．
点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；
（2）解分式方程一定注意要验根．
17、（2011•随州）为了加强食品安全管理，有关部门对某大型超市的甲、乙两种品牌食用油共抽取 18 瓶进
行检测，检测结果分成“优秀“、“合格“和“不合格”三个等级，数据处理后制成以下折线统计图和扇
形统计图．
（1）甲、乙两种品牌食用油各被抽取了多少瓶用于检测？
（2）在该超购买一瓶乙品牌食用油，请估计能买到“优秀”等级的概率是多少？
考点：折线统计图；扇形统计图；概率公式。
专题：图表型；数形结合。
分析：（1）读折线统计图可知，不合格等级的有 1 瓶，读扇形统计图可知甲种品牌有不合格的，且只有 1
瓶，由此可求出甲种品牌的数量，据此解答即可．
（2）根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数；二者的比值
就是其发生的概率的大小．
解答：解：（1）1÷10%=10，18﹣10=8，
即甲种品牌有 10 瓶，乙种品牌有 8 瓶．
（2）优秀瓶数为 10﹣（10×60%）=4 瓶，乙种品牌共有 8 瓶，
能买到“优秀”等级的概率是 = ．
点评：本题考查的是扇形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信
息是解决问题的关键．
18、（2011•随州）如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ABC=90°，D 为 AC 边上中点，过 D 点 DE 丄 DF，交
AB 于 E，交 BC 于 F，若 AE=4，FC=3，求 EF 长．
考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质。
专题：几何综合题。
分析：首先连接 BD，由已知等腰直角三角形 ABC，可推出 BD⊥AC 且 BD=CD=AD，∠ABD=45°再由 DE 丄 DF，
可推出∠FDC=∠EDB，又等腰直角三角形 ABC 可得∠C=45°，所以△EDB≌△FDC，从而得出 BE=FC=3，那么
AB=7，则 BC=7，BF=4，再根据勾股定理求出 EF 的长．
解答：解：连接 BD，
∵等腰直角三角形 ABC 中，D 为 AC 边上中点，
∴BD⊥AC，BD=CD=AD，∠ABD=45°，
∴∠C=45°，
又 DE 丄 DF，
∴∠FDC=∠EDB，
∴△EDB≌△FDC，
∴BE=FC=3，
∴AB=7，则 BC=7，
∴BF=4，
在直角三角形 EBF 中，
EF2=BE2+BF2=32+42，
∴EF=5．
答：EF 的长为 5．
点评：此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全等，求得 BE 和 BF，
再由勾股定理求出 EF 的长．
19、（2011•随州）有 3 张扑克牌，分別是红桃 3、红桃 4 和黑桃 5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和
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