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2022-2023学年浙江省杭州市高三上学期开学检测数学试题及答案.doc
2022-2023 学年浙江省杭州市高三上学期开学检测数学试题
考生须知：
及答案
1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域
的作答无效!
3.考试结束，只需上交答题卡.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，有一项是
符合题目要求的.
A
x x
∣
2 1 0 ,
B
x
∣
lg
x
0
1. 已知集合
，则 A B （
）
A. { 0
x
x ∣
1}
B. { 0
x
x ∣
1}
C. {
x
∣
1
x
1}
D. {
x
∣
1
x
1}
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式解法以及对数函数性质可求得集合 ,A B ,根据集合的并集运算
即可求得答案.
【详解】由题意可得
A
x x
∣
2 1 0
{ | 1
x
x
1},
B
x
∣
lg
x
0
{ | 0
x
x
1}
，
{ | 1
x
，
1}
x
故
A B
故选：D.
2. 若复数
z
4i
1 i
（其中 i 为虚数单位），则|
|z （
）
B. 2
C. 2 2
D. 4
A.
2
【答案】C
【解析】
【分析】由除法运算化简复数，再根据定义求模即可.
【详解】因为
z
4i
1 i
4i 1 i
1 i 1 i
2 2i
，则
|
|
z
2
2
2
2
2 2
.
学科 网（北 京）股 份有限 公司
故选：C．
3. 已知
tan
，则
1
2
2cos2
sin2
4cos2
4sin2
（
）
B.
1
14
C.
5
2
D.
5
2
A.
1
14
【答案】A
【解析】
【分析】由三角恒等变换及齐次式弦化切，即可求值.
【
详
解
2sin cos
2
4sin
4cos
2cos
2
2
2
2sin
8sin cos
2cos2
sin2
4cos2
4sin2
.
故选：A．
tan
2 2tan
1 tan
2
4tan
2
】
1
14
1
4
7
2
4. 已知二次函数
f x 的图象如图所示，将其向右平移 2 个单位长度得到函数
g x 的图
象，则不等式
g x
log
2
x
的解集是（
）
B.
2,
C.
0,2
D.
0,1
A.
,2
【答案】C
【解析】
【分析】作出函数
g x 与
y
log
2
x
的图象，数形结合可得出不等式
g x
log
2
x
的解集.
【详解】根据图中信息作出函数
g x 、
y
log
x
2
的图象如下图所示：
学科 网（北 京）股 份有限 公司
因为 0
f
，则 2
1
g
1
，且 2
log 2 1 ，
由图可知，不等式
g x
log
2
x
的解集为
0,2 .
故选：C.
5. 已知非零向量 ,a b
的夹角的余弦值为
a
3 )
b
a b
)
(2
，且(
，则
1
5
|
a
（
|
b
|
|
）
B.
2
3
C.
3
2
D. 2
A. 1
【答案】A
【解析】
【分析】结合向量数量积运算及向量垂直的表示，可得关于|
、 的齐次方程，即可进一
|
a
|
|
b
步求得
|
|
【详解】
a
(
3 ) (2
b
|
a
b 的值.
|
,
a b
a b
cos
<
)
>=
2
1
5
2
a
由(
a
ab
5
3 )
b
3
b
(2
2
2
a b
a
2
)
得
a b
2
b
3
.
0
3 0
，令
t
a
b
0
，∴ 22
t
t ，解得
3 0
a
b
t
1
或
（舍去）.
3
2
∴
2
a
b
2
a
b
故选：A.
6. 冬末春初，人们容易感冒发热，某公司规定：若任意连续 7 天，每天不超过 5 人体温高
于37.3℃，则称没有发生群体性发热．根据下列连续 7 天体温高于37.3℃ 人数的统计量，
能判定该公司没有发生群体性发热的为（
）
①中位数是 3，众数为 2；②均值小于 1，中位数为 1；③均值为 3，众数为 4；④均值为 2，
学科 网（北 京）股 份有限 公司
标准差为 2 ．
A. ①③
【答案】D
【解析】
B. ③④
C. ②③
D. ②④
【分析】根据中位数、众数、平均数、标准差等知识确定正确答案.
【详解】任意连续 7 天，每天不超过 5 人体温高于37.3℃的人数为 2，2，2，3，3，4，6，
则满足中位数是 3，众数为 2，但第 7 天是 6 人高于 5 人，故①错误；
任意连续 7 天，每天不超过 5 人体温高于37.3℃的人数为 0，1，2，4，4，4，6，
则满足均值是 3，众数为 4，但第 7 天是 6 人高于 5 人，故③错误；
对于②，将 7 个数据从小到大排列为 1
x x x x x x x ，
,
,
,
,
,
,
2
3
4
5
6
7
x
x ， 1
4
1
x
2
x
3
1
7
x
5
x
6
x
7
x
1
，所以 1
x
2
x
3
x
5
x
6
x
7
，
6
由于 1
6
7
x x x x x x 是自然数，且
,
,
,
,
,
3
5
2
0
x
1
x
2
x
3
1
x
5
x
6
，
x
7
4
3
2
,
,
,
,
,
所以 1
,
x x x x x x x 都不超过5 ，②正确.
,
对于④，将 7 个数据从小到大排列为 1
5
6
7
2
3
4
x x x x x x x ，
,
,
,
,
,
5
6
7
x
1
x
2
x
3
x
4
7
x
5
x
6
x
7
x
， 1
2
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
7 14
x
，
x
1
2
2
x
2
2
2
x
3
2
2
x
4
2
2
x
5
2
2
x
6
2
2
x
7
2
2
，
2
7
x
1
2
2
x
2
2
2
x
3
2
2
x
4
2
2
x
5
2
2
x
6
2
2
x
7
2
2
，
14
由于 1
x x x x x x 是自然数，若自然数 x 大于5 ，则
,
,
,
,
,
2
3
5
6
7
x
22
，矛盾，
16
所以 1
,
x x x x x x 都不超过5 ，④正确.
,
,
,
,
2
3
5
6
7
综上所述，正确的为②④.
故选:D
7. 已知抛物线
C y
:
2
x 的焦点为 F，直线 l过焦点 F与 C交于 A，B两点，以 AB 为直径
4
的圆与 y轴交于 D，E两点，且
|
DE
|
4
5
|
AB
|
，则直线 l的方程为（
）
学科 网（北 京）股 份有限 公司
A.
x
3
y
1 0
C. 2
x
y
2
0
【答案】C
【解析】
B.
x
y
1 0
D.
x
2
y
1 0
【分析】设|
AB
| 2 (2
r
r
4),
AB
的中点为 M，根据
|
DE
|
4
5
|
AB
|
求出 r，进而得到 M点
横坐标；再设直线
:
l y
(
k x
1),
关系，进而求出 k．
,
A x y B x y
,
,
1
1
2
，由韦达定理得到 k与 M横坐标的
2
【详解】设|
AB
| 2 (2
r
r
4),
AB
的中点为 M，MN y 轴于点 N，过 A，B作准线 = 1
x 的
垂线，垂足分别为 1
,A B ，如下图：
1
由抛物线的定义知
2(|
MN
| 1)
AA
1
BB
1
|
AF
|
|
BF
|
|
AB
| 2
，
r
故|
MN r ，
1
|
所以
|
DE
| 2
2
r
(
r
2
1)
即 216
r
50
r
25 0
，
，
r
8
5
解得
r 或
5
2
r （舍去），
5
8
3
2
，
故 M的横坐标为
学科 网（北 京）股 份有限 公司
设直线
:
l y
(
k x
1),
,
A x y B x y
,
,
1
1
2
2
，
1)
代入 2
y
x ，
4
将
y
得
2
k x
(
k x
2
2
2
k
4
4
x
k
2
，
0
，
3
则
x
1
x
2
2
2
2
k
k
解得
k ，
2
故直线 l的方程为 2
x
故选：C．
y ．
2
0
【点睛】本题解题的关键是要抓住圆的两要素：圆心和半径，用圆心的横坐标得到斜率的等
量关系．
8. 若过点 (
,
a b 可以作曲线
)
y
x
1 (
x
x
A.
a
0
B.
a
b
a
0)
1
a
b
1
a
a
b
0
a
的两条切线，则（
）
C.
0
a
b
1
a
a
D.
【答案】B
【解析】
【分析】设切点为
,x y ，结合导数法有
0
0
k
y
|x
0
0
y
x
0
b
，则存在两条切线等价于方程
a
有两个不同正解，结合判别式法及韦达定理列不等式组即可化简判断选项.
【详解】设切点为
,x y ，则 0
0
0
x ，∴
0
y
1
1
2
x
(
x
，则
0)
k
1
1
2
x
0
y
0
x
0
b
a
1
x
0
x
0
x
0
b
，
a
①，则
a
0
4 4 (
)
a a b
，
化简得：
(
)
a b x
0
2
2
x
0
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∵过点 (
,
a b 可以作曲线的两条切线，∴方程①有两个不同正解，∴
)
0
，∴
2
a b
0
2
Δ 0
a
a b
a
a
.
b
1
a
故选：B．
二､多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ( )
f x
x
3
x
．下列命题中正确的是（
）
A.
( )
f x 的图象是轴对称图形，不是中心对称图形
B.
( )
f x 在
30,
2
上单调递增，在
3 ,3
2
上单调递减
C.
( )
f x 的最大值为 3 ，最小值为 0
D.
f x 的最大值为 6 ，最小值为 3
( )
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用函数对称的结论，即可验证选项 A,由 ( ) 0
f x ，知
y
( )
f x
和
y
f
2( )
x
在
定义域内的单调性相同，可验证选项 B,通过单调性，即可求得最大值和最小值.
【详解】对于选项 A，由 (3
f
x
)
( )
f x
，得 ( )
f x 的对称轴为直线
象是轴对称图形，不是中心对称图形．对于选项 BCD，因为
x ，因此 ( )
f x 的图
3
2
( ) 0,
f x
f
2
( ) 3
x
9 4
x
2
3
2
，函数
y
( )
f x
和
y
f
2( )
x
在定义域内的单调性相
同，而
y
f
2( )
x
在
30,
2
上单调递增，在
3 ,3
2
上单调递减，所以 ( )
f x 在
30,
2
上单调
x 时， ( )
f x 取到最大值 6 ；当 0x 或 3 时， ( )
f x 取
3
2
上单调递减；当
递增，在
3 ,3
2
到最小值 3 ．
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故选：ABD.
10. 甲箱中有5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙箱中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球．先
从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以 1
,A A 和 3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和
2
黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以 B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结
论正确的是（
）
A. 事件 B 与事件 (
iA i
1,2,3)
相互独立
2
5
C.
P B
【答案】BD
【解析】
B.
D.
1
P A B
5
22
8
P A B
45
|
2
【分析】由题设求出 (
)iP A 、 (
P B A (
)i
|
i
1,2,3)
，利用条件概率公式、全概率公式判断 B、
C、D，根据 (
P A P B P A B 是否相等判断事件的独立性.
),
)
(
(
)
i
i
【详解】由题意
(
P A ，
)
1
1
2
(
P A ， 3
(
P A ，
)
)
2
3
10
1
5
先 1A 发生，此时乙袋有 5 个红球，3 个白球和 3 个黑球，则
先 2A 发生，此时乙袋有 4 个红球，4 个白球和 3 个黑球，则
先 3A 发生，此时乙袋有 4 个红球，3 个白球和 4 个黑球，则
2
|
1
|
)
)
(
P B A ，
5
11
4
(
P B A ，
11
4
11
4
55
(
P B A ，
，
(
)
)
|
3
所以 1
(
P A B
)
(
P B A P A
1
)
(
|
1
)
(
P A B
，B 正确； 2
5
22
)
(
P A B
3
)
(
P B A P A
3
)
(
|
3
)
，
6
55
(
P B A P A
2
)
|
2
P
B
(
P B A P A
1
)
(
|
1
)
(
P B A P A
2
)
(
|
2
)
(
P B
|
A
3
)
P
(
A
3
)
9
22
，C 错误；
(
(
P A P B
则 1
)
)
(
P A B
1
)
，
(
(
P A P B
)
2
)
(
P A B
2
)
，
(
(
P A P B
)
3
)
(
P A B
3
)
，A 错误；
P A B
|
2
(
P A
2
)
(
P B
B
)
(
P B A P A
2
(
)
|
2
(
P B
)
)
，D 正确.
8
45
故选：BD
11. 若函数
f x
sin 2
x
π
6
1
2
(
0)
在区间 0,
24
上单调递增，则（
）
A. 存在，使得函数 ( )
f x 为奇函数
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