电子科技大学研究生试卷 （考试时间：10:00-12:00 共：2 小时） 课程名称：矩阵理论 教师：刘福体 学时：60 学分：3 教学方式：堂上教学 考试日期：2014 年 12 月 31 日 成绩： （学生选填） 选择题（每题 4 分，共 20 分） 考核方式： 一、 1、若 A B、 为 n 阶方阵，下列结论错误的是····································································（ A. (A B)H ) det(A)det(B) B. det(A B    A B  H H   C． tr(A B) 2. A 是正规矩阵，则下列说法错误的是········································································（ D. (A B) ) tr A tr B    A  B ( ) (   A. A 的不同特征值对应的特征向量正交 B. A 是正规矩阵 C．A 的特征值为 A 的奇异值 D. 若 A 的特征值为 i，则 2 || A F || n   i 1  ） ） | 2  i | 3. 下列命题错误的是········································································································ （ ） A. AB AC    A AB A AC   B. rank(AB)  rank(A) ，则 (AB) R(A) R  。 C． A 正规，则 A 的特征向量也是 HA 的特征向量。 D. 2A A ，且 A BC ，则CB E （单位矩阵）。 4. 设 A  c c     0 1 2     ，若  收敛，则 c 为··································································（ A k  k  0 ） A. c  1 2 B.|c| 1 C. |c| 1 D.|c|<1 5.下列结论正确的是············································································································（ ） A. (AB)     B A B. ||A|| 2 F n   2  i i 1  C． rank (A)  rank(A )  D. (A )    A 

二、计算和证明（共 80 分） 1、（9 分）设 n n A B C 、 ，证明： ||AB|| m 2 || A ||  || B || m 2 m 2 2、（9 分）设 A  (a ) Cn n   ij 既是正规矩阵，又是上三角矩阵，证明： A 一定是对角矩阵。 3、（8 分）求矩阵 A     1 1   4 1  的谱分解。 4 、（ 8 分 ） 设 A  (a ) Cn n   ij ， 证 明 ： A 的 任 一 特 征 值 S i   {z C :| z a | R   ii i   j  i | a |} ij .    ， 其 中 S  S i n i 1  

5．（8 分）若 A     3 1 1 3    ，计算sin(A) . 6.（8 分）设 A 是秩为 1 的 n 阶矩阵， (A) tr 为 A 的迹。证明： n A  ( ) trA n 1 A . 7．（8 分）设 m n A C  ，证明：  || A A ||m m  2 2 . 8.（15 分）已知 A  0   1   1  0  1 0 1  1 1    1   0  1  ， b  1     1    0   1   。 （1）求矩阵 A 的最大秩分解； （2）求 A ； （3）判断方程组 Ax （4）求方程组 Ax 是哪种解） b 是否有解； b 的最小范数解及通解或最小二乘解通解及最佳范数解？（指出所求的 9. 若 m n A C  ， A 是 A 的 广 义 逆 矩 阵 ， 则 A 是 A 的 自 反 广 义 逆 矩 阵 的 充 要 条 件 是 rank (A)  rank(A )  。