第1页 / 共32页
第2页 / 共32页
第3页 / 共32页
第4页 / 共32页
第5页 / 共32页
第6页 / 共32页
第7页 / 共32页
第8页 / 共32页
对功率谱估计常用方法的探讨及应用分析.doc
DSP课程设计
对功率谱估计常用方法的探讨及应用分析
2 经典谱估计
2.1 周期图法
3 经典谱估计方法编程与分析
3.1 直接法
3.3 改进的直接法：
3.3.1 Bartlett法
3.3.2 Welch法
在经典谱估计中,无论是周期 图法还是其改进的方法,都存在着频率分辨率低、方差性能不好的问题，原因是谱
4.现代谱估计
4. 1 AR模型
（4-1）
4.1.1 AR模型的稳定性及阶的确定
AR(p)模型稳定的充分必要条件是H(z)的极点(即A(z)的根)都在单位圆内。稳定的AR(p)模型
(1)H(z)的全部极点或A(z)的所有根都在单位圆内。
(2)自相关矩阵是正定的。
(3)激励信号的方差(能量)随阶次的增加而递。
(4)反射系数的模恒小于1。
但是在实际应用中，levinson算法的已知数据(自相关值)是由 来估计的，有限字长效应有可能造成
4.2 MA模型及功率谱估计
MA模型是一个全零点模型，其功率谱不易体现信号中的峰值，即分辨率较低。从谱估计的角度来看，M
ⅰ有N点数据x（n）建立一个p阶的AR模型，p>>q，可用AR模型参数的计算方法求出p阶的
ⅱ利用，k=1
进而通过两次求AR系数可得MA模型的系数。
4.3ARMA模型
理论上可以证明，在一定条件下，A R MA和 M A模型都可以用一个阶次足够大的A R模型来近似，所
5现代谱估计的应用—基于AR模型的噪声源识别
5.1.1研究背景
在噪声治理实践中，常常需要鉴别多源噪声中各声源对总体噪声的贡献情况，以便有针对性地进行治理。但是，在
噪声已被公认为是与水质污染，大气污染并列的三大污染之一。在我们生活的环境中每个人都会受到各种噪声的干
据全国统计，在反映环境污染的投诉中，关于噪声污染的人民来信和来访的件数逐年增加，已从1991年的2．
5.1.2 噪声源识别与控制方法现状
噪声控制的目的就是根据实际需要和可能性，用最经济的办法把噪声限制在某种合适的范围内。为了有效地控制噪
在目前对噪声源识别的研究中，主要有以下几种方法：
5.1.2.1 消去法
所谓消去法，就是首先把附带全部装备的试验对象(如汽车、发动机等)在一定条件下测定其总和的工作噪声，然
5.1.2.2 声强测量法
声强测量法是利用双点声压梯度的积分来近似空气质点的振动速度，并利用FFT来实现声强的实时测量。采用声
5.1.2.3 相干函数法
相干函数法是根据相关理论，用互相关函数描述被测部件的振动信号与外界噪声信号之间的关系．根据结果判断噪
5.1.2.4 频谱分析法
频谱分析法，由于声源噪声的形成机理不同。使每个声源的嗓声特点有差异，能量分布的频谱范围有的位于全频带
由于现代谱估计方法为信号建立了一个准确或近似的模型，从根本上摒弃了对数据序列加窗的隐含假设，因而能够
5.2研究内容
对功率谱估计常用方法的探讨及应用分析
DSP 课程设计
对功率谱估计常用方法的探讨及应用分析
进行傅里叶变换在频域中研究信号，是研究确定性信号最简单且有效的手段，
对功率谱估计常用方法的探讨及应用分析
但在现代信号分析中，对于常见的随机信号，不可能用清楚的数学关系式来描述，
其傅里叶变换更不存在，转而可以利用给定的 N 个样本数据估计一个平稳随机信号
的功率谱密度。功率谱估计是数字信号处理的重要研究内容之一。功率谱估计可以
分为经典功率谱估计和现代功率谱估计。本文介绍了各种经典功率谱估计方法，不
仅从理论上对各种方法的谱估计质量进行了分析比较 ，而且通过 Matlab 进行了仿
真。在对经典谱估计进行讨论之后，还分析了现代谱估计即参数谱估计方法，通过
观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱。现代谱
估计的内容极其丰富，设计的学科及应用的领域都相当广泛，至今每年都有大量的
科研成果出来。在本文的最后利用现代谱估计的方法讨论了功率谱方法在噪声源信
号识别中的应用。文章还给出了常见谱估计方法的比较，便于深刻理解各种方法的
特点，从而在实际工作中做出合理的选择。
1.功率谱方法的发展
功率谱估计是随机信号处理的重要内容，其技术渊源很长，而且在过去的 40
余年中获得了飞速的发展。涉及到信号与系统、随机信号分析、概率统计、矩阵代
数等一系列的基础学科，广泛应用于人民的日常生活及军事、工业、农业活动中，
是一个具有强大生命力的研究领域。本文将简要回顾一下功率谱估计的发展历程，
对常用的一些方法进行总结。功率谱的估计方法有很多，主要有经典谱估计和现代
谱估计。经典谱估计又可以分成两种：一种是 BT 法，也叫间接法；另一种是直接
法又称周期图法。现代谱估计的方法又大致可分为参数模型谱估计和非参数模型谱
估计，前者有 AR 模型、MA 模型、ARMA 模型、PRONY 模型等，后者有最小方
差方法、多分量的 MUSIC 方法等。
1.1 功率谱研究的发展过程
功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特
征，目的是根据有限数据在频域内提取被淹没在噪声中的有用信号。下面对谱估计
的发展过程做简要回顾:
英国科学家牛顿最早给出了“谱”的概念。后来，1822 年，法国工程师傅立叶提
出了著名的傅立叶谐波分析理论。该理论至今依然是进行信号分析和信号处理的理
论基础。
傅立叶级数提出后，首先在人们观测自然界中的周期现象时得到应用。19 世纪
末，Schuster 提出用傅立叶级数的幅度平方作为函数中功率的度量，并将其命名为
“周期图”（periodogram）。这是经典谱估计的最早提法，这种提法至今仍然被沿用，
只不过现在是用快速傅立叶变换（FFT）来计算离散傅立叶变换（DFT），用 DFT
对功率谱估计常用方法的探讨及应用分析
的幅度平方作为信号中功率的度量。
1958 年， R,Blackman 和 J.Tukey 首先提出 BT 法，并命名为布莱克曼-杜基谱
估计器（简称 BT 谱估计器）。这种方法是先按照有限个观测数据估计自相关函数，
再对其求傅里叶变换得到功率谱。在 1965 年 FFT 未出现以前，BT 法一直是最常用
的方法。
周期图较差的方差性能促使人们研究另外的分析方法。1927 年，Yule 提出用线
性回归方程来模拟一个时间序列。Yule 的工作实际上成了现代谱估计中最重要的方
法——参数模型法谱估计的基础。
Walker 利用 Yule 的分析方法研究了衰减正弦时间序列，得出 Yule-Walker 方程，
可以说，Yule 和 Walker 都是开拓自回归模型的先锋。
1930 年，著名控制理论专家 Wiener 在他的著作中首次精确定义了一个随机过
程的自相关函数及功率谱密度，并把谱分析建立在随机过程统计特征的基础上，即，
“ 功 率 谱 密 度 是 随 机 过 程 二 阶 统 计 量 自 相 关 函 数 的 傅 立 叶 变 换 ” ， 这 就 是
Wiener—Khintchine 定理。该定理把功率谱密度定义为频率的连续函数，而不再像
以前定义为离散的谐波频率的函数。
1949 年，Tukey 根据 Wiener—Khintchine 定理提出了对有限长数据进行谱估计
的自相关法，即利用有限长数据估计自相关函数，再对该自相关函数球傅立叶变换，
从而得到谱的估计。1958 年， Blackman 和 Tukey 在出版的有关经典谱估计的专著
中讨论了自相关谱估计法，所以自相关法又叫 BT 法。 周期图法和自相关法都可用
快速傅立叶变换算法来实现，且物理概念明确，因而仍是目前较常用的谱估计方法。
1948 年，Bartlett 首次提出了用自回归模型系数计算功率谱。自回归模型和线
性预测都用到了 1911 年提出的 Toeplitz 矩阵结构，Levinson 曾根据该矩阵的特点于
1947 年提出了解 Yule-Walker 的快速计算方法。这些工作为现代谱估计的发展打下
了良好的理论基础。1965 年，Cooley 和 Tukey 提出的 FFT 算法，也促进了谱估计
的迅速发展。
现代谱估计的提出主要是针对经典谱估计（周期图和自相关法）的分辨率和方
差性能不好的问题。1967 年，Burg 提出的最大嫡谱估计，即是朝着高分辨率谱估
计所作的最有意义的努力。虽然，Bartlett 在 1948 年，Parzem 于 1957 年都曾经
建议用自回归模型做谱估计，但在 Burg 的论文发表之前，都没有引起注意。
现代谱估计的内容极其丰富，涉及的学科及应用领域也相当广泛，至今，每年
都有大量的论文出现。目前尚难对现代谱估计的方法作出准确的分类。从现代谱估
计的方法上，大致可以分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计，前者有 AR 模型、
对功率谱估计常用方法的探讨及应用分析
MA 模型、ARMA 模型、PRONY 模型等；后者有最小方差方法、多分量的 MUSIC
方法等。非参数模型谱估计的特点是其模型不是用有限参数来描述，而直接由相关
函数序列得到，这种方法能提高低信噪比时的谱分辨率。参数模型谱估计是先根据
过程的先验信息或者一些假定，建立一个数学模型来表示所给定采样数据的过程，
或者选择一个较好的近似实际模型，而后利用采样数据序列或者自相关序列，估计
该模型的参数，最后把参数代入到该模型对应的理论功率谱表达式，得到所需要的
谱估计。目前大量的论文集中在模型参数的求解上，以求得到速度更快、更稳健、
统计性能更好的算法。
1.2 功率谱估计方法提出
在通信系统中，往往需要研究具有目中统计特性的随机信号。由于随机信号是
一类持续时间无限长，具有无限大能量的功率信号，它不满足傅里叶变换条件，而
且也不存在解析表达式，因此就不能够应用确定信号的频谱计算方法去分析随机信
号的频谱。然而，虽然随机信号的频谱不存在，但其相关函数是可以确定的。如果
随机信号是平稳的，那么其相关函数的傅里叶变换就是它的功率谱密度函数，简称
功率谱。功率谱反映了单位频带内随机信号的一个样本信号来对该随机过程的功率
谱密度函数做出估计。
1.3 功率谱估计应用及用途
功率谱估计有着极其广泛的应用，不仅在认识一个随机信号时，需要估计它的
功率谱。它还被广泛地应用于各种信号处理中。在信号处理的许多场所，要求预先
知道信号的功率谱密度(或自相关函数)。例如，在最佳线性过滤问题中，要设计一
个维纳滤波器就首先要求知道(或估计出)信号与噪声的功率谱密度(或自相关函数)。
根据信号与噪声的功率谱(或
)才能设计出能够尽量不失真的重现信号，而把
(mxx
)
噪声最大限度抑制的维纳滤波器。
常常利用功率谱估计来得到线性系统的参数估计。例如，当我们要了解某一系
(H 时，可用一白色噪声 n 通过该系统。再从该系统的输出样本
表示)为一常数即
。由于白色噪声的 PSD(用
(P
)
)
(yyP
)
统的幅频特性
y(n)估计功率谱密度
2
(
P
)
，于是有：
Pyy
(
)
H
(
)
2
2
(1-1)
故通过估计输出信号的 PSD，可以估计出系统的频率特性
(模特性)。从
宽带噪声中检测窄带信号。这是功率谱估计在信号处理中的一个重要用途。但是这
(H
)
要求功率谱估计有足够好的频率的分辨率，否则就不一定能够清楚地检测出来。所
谓谱估计的分辨率可以粗略地定义为能够分辨出的二个分立的谱分量间的最小频
对功率谱估计常用方法的探讨及应用分析
率间隙(距)。提高谱估计的分辨率已成为目前谱估计研究中的一个重要方向
功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关
系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率），信号分离，系统辨识等。
谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。
维纳滤波、卡尔曼滤波，可用于自适应滤波，信号波形预测等（火控系统中的飞机
航迹预判）。
2 经典谱估计
2.1 周期图法
周期图法又称直接法。它是从随机信号 x(n)中截取 N 长的一段，把它视为能量
有限 x(n)真实功率谱
( jw
x eS
)
的估计
( jw
x eS
)
的抽样.
周期图这一概念早在 1899 年就提出了，但由于点数Ｎ一般比较大，该方法的
计算量过大而在当时无法使用。只是 1965 年 FFT 出现后，此法才变成谱估计的一
个常用方法。周期图法包含了下列二条假设：
1．认为随机序列是广义平稳且各态遍历的，可以用其一个样本 x(n)中的一段
)(nxN 来估计该随机序列的功率谱。这当然必然带来误差。
2．由于对
)(nxN 采用 DFT，就默认
)(nxN 在时域是周期的，以及
是周期的。这种方法把随机序列样本 x(n)看成是截得一段
就是周期图法这个名字的来历。与相关法相比，相关法在求相关函数
)(nxN 以外是数据全都看成零，因此相关法认为除
理方法显然与周期图法不一样。
xN 在频域
)(nxN 的周期延拓，这也
(mRx 时将
)(nxN 外 x(n)是全零序列，这种处
)(k
)
但是，当相关法被引入基于 FFT 的快速相关后，相关法和周期图法开始融合。
比我们发现：如果相关法中 M=N，不加延迟窗，那么就和充（N-1）个零的周期图
法一样了。简单地可以这样说：周期图法是 M=N 时相关法的特例。因此相关法和
周期图法可结合使用。
2.2 相关法谱估计 （BT）
这种方法以相关函数为媒介来计算功率谱，所以又叫间接法。它是 1958 年由
Blackman 和 Tukey 提出。这种方法的具体步骤是：
第一步：从无限长随机序列 x(n)中截取长度 N 的有限长序列列
)(nxN
第二步：由 N 长序列
)(nxN 求（2M-1）点的自相关函数
(mR x
)
序列。即
对功率谱估计常用方法的探讨及应用分析
mnxnx
N
)(
(
N
)
(2-1)
mR
(
x
)
1
N
1
N
0
n
这里，m=-(M-1)…,-1,0,1…,M-1，M N，
(mR x 是双边序列，但是由自相关函
)
数的偶对称性式，只要求出 m=0,。。。,M-1 的傅里叶变换，另一半也就知道了。
第三步：由相关函数的傅式变换求功率谱。即
(
eS
x
jw
)
M
1
Mm
(
)
emR
X
)1
(
jwm
(2-2)
以上过程中经历了两次截断，一次是将 x(n)截成 N 长，称为加数据窗，一次是
将想 x(n)截成（2M-1）长，称为加延迟窗。因此所得的功率谱仅是近似值，也叫谱
代表估值。一般取 M<
对功率谱估计常用方法的探讨及应用分析
这里
由于
1
N
1
N
X
X
(
K
)
2
1
N
(
K
)
2
1
N
2
2
是实偶的，m=-(N-1)...0...N-1。本来 IFFT 求和范围是 0 至 2N-2，
的实偶性与周期性，求和范围改为-（N-1）至（N-1）不影响计
算结果。同理可将 m 的范围改为-（N-1）至（N-1）。
上述的快速相关中，充零的目的是为了能用圆周卷积代替线性卷积，以便进一
(mWM 窗
步采用快速卷积算法。快速相关输出是-（N-1）至（N-1）的 2N-1 点，加
后截取的是-（M-1）至（M-1）的频段，最后作（2M-1）点 FFT，得
。我们
注意到：如果数据点数与自相关序列点数相同即 M=N，则（2N-1）点的 IFFT 后紧
跟一个（2N-1）点的 FFT，利用
的对称性，FT 运算框的计算式变为
)(kS x
(mR x
)
)
(KSX
)
m
N
1
X mR
)1
(
N
(
)
mk
N XW
1
2
2
N
1
(2-6)
由于 N=M 并假设窗形状是矩形的，第二次
mWM 的截断就不需要了。比较式
（3-5）和式（3-6），
kS
）（
x
FFT[
R
x
(m)
]
,
变换可以抵消，直接得
）（kSx
1
N
X
2
1
N
2
(
K
)
mR
(
x
)
IFFT
1[
N
X
2
N
1
(
K
2
])
正反傅氏
(2-7)
为了实行基 2FFT，也可将（2N-1）点换成 2N 点，这样做不影响结果的正确性。
2.3 巴特利特(Bartlett)平均周期图的方法
时趋于零，达到一致估计的目的。如果
首先让我们来看一下为什么周期图经过某种平均(或平滑)后会使它的方差当
,
xx
1 是不相关的随机变量，
的
Lx
N
x
每一个具有期望值，方差 2 ，则可以证明它们的数学平均
期望值等于，数学平均的方差等于 L/2 ，即：
...
x
2
/)
x
1
x
l
L
,
(
,
2
xE
xE
1
1
L
x
2
x
L
1
L
L
Var
x
(
(
xExE
2
))
[
xE
2
]
2
)
xE
(
1
2
L
(
xE
1
x
2
2
Lx
)
2
对功率谱估计常用方法的探讨及应用分析
1
2
L
2
xE
1
x
2
2
x
2
L
L
L
j
1
i
i
1
j
xxE
i
j
2
L
j
1
i
i
1
j
xxE
i
j
xE
j
L
j
1
xE
i
L
i
i
1
j
(
LL
)1
2
2
L
L
2
所以
Var
x
1
2
L
L
i
1
xE
2
i
2
L
2
2
2
L
1
2
L
L
i
1
xE
2
i
2
L
2
xE
1
(
[
xE
1
])
2
xE
2
2
(
[
xE
2
])
2
xE
2
L
(
[
xE
])
L
2
1
2
L
1
2
L
2
L
2
L
(2-8)
xVar
由 (2-8) 可 见 ， L 个 平 均 的 方 差 比 每 个 随 机 变 量 的 单 独 方 差 小 L 倍 。 当
，可达到一致谱估计的目的。因而降低估计量的方差的一种有效
L
方法是将若干个独立估计值进行平均。把这种方法应用于谱估计通常归功于
Bartlett。
0
Bartlett 平均周期图的方法是将序列
0( )(
nx
设将 )(nx 分成 L 段，每段有 M 个样本，因而
)
(
iMnx
nxi
)(
N
0
Nn
LM
Mn
M
1
,1
Li
)1
分段求周期图再平均。
，第 i 段样本序列可写成
第 i 段的周期图为
I
i
M
)
(
1
M
2
j
)(
enx
nj
1
M
n
0
如果
Mm
,
xx
(
m
)
很小，则可假定各段的周期图
(i
)
MI
是互相独立的。对功率
谱密度的概念的讨论，谱估计可定义为 L 段周期图的平均，即
(ˆ
P
xx
)
1
L
L
i
1
I
i
M
)
(
(2-9)
于是它的期望值为
PE
xx
(ˆ
)
1
L
L
i
1
IE
i
M
)
(
IE
i
M
)
(
相关推荐
2023年江西萍乡中考道德与法治真题及答案.doc
2012年重庆南川中考生物真题及答案.doc
2013年江西师范大学地理学综合及文艺理论基础考研真题.doc
2020年四川甘孜小升初语文真题及答案I卷.doc
2020年注册岩土工程师专业基础考试真题及答案.doc
2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期数学月考试题及答案.doc
2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期语文期末试题及答案.doc
2022-2023学年北京东城区初三第一学期物理期末试卷及答案.doc
2018上半年江西教师资格初中地理学科知识与教学能力真题及答案.doc
2012年河北国家公务员申论考试真题及答案-省级.doc
2020-2021学年江苏省扬州市江都区邵樊片九年级上学期数学第一次质量检测试题及答案.doc
2022下半年黑龙江教师资格证中学综合素质真题及答案.doc
