《数字信号处理》学习指导及习题精解.pdf

发布时间：2022-06-09 发布人：admin 分类：说明书资料大小：1.76M 资料格式：pdf 举报版权申诉

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《数字信号处理》学习指导及习题精解目录 1 离散系统的性质和离散信号的变换.............................................................................................................. 1 1.1 重点和难点 ............................................................................................................................................... 1 1.1.1 时域抽样定理................................................................................................................................ 1 1.1.2 离散时间信号................................................................................................................................ 1 1.1.3 离散系统及其线性时不变性........................................................................................................ 3 1.1.4 线性卷积和圆周卷积之间的关系................................................................................................ 4 1.1.5 离散系统的因果和稳定性............................................................................................................ 5 1.1.6 离散系统的Z 变换....................................................................................................................... 5 1.1.7 Z反变换......................................................................................................................................... 7 2.1.8 Z变换的定理与性质..................................................................................................................... 8 1.1.9 时域离散系统的Z域分析............................................................................................................ 9 1.1.10 时域离散系统的输入输出描述法—线性常系数差分方程.................................................... 10 1.2 例题精选 ..................................................................................................................................................11 1.3 习题精解 ................................................................................................................................................. 29 2 离散傅里叶变换（DFT）及 FFT ................................................................................................................ 50 2.1 重点和难点 ............................................................................................................................................. 50 2.1.1 DFT的定义及其物理意义........................................................................................................... 50 2.1.2 DFT 的隐含周期性....................................................................................................................... 51 2.1.3 离散傅里叶变换的性质.................................................................................................................. 52 2.1.4 频域采样.......................................................................................................................................... 53 2.1.5 用离散傅里叶变换计算线性卷积.................................................................................................. 53 2.1.6 用离散傅里叶变换作频谱分析...................................................................................................... 55 2.1.7 变换域的关系................................................................................................................................... 55 2.2 例题及习题精选 ..................................................................................................................................... 56 3 DFT 的快速算法............................................................................................................................................ 66 3.1 重点与难点 ............................................................................................................................................. 66 3.1.1 基2FFT 算法................................................................................................................................... 66 3.2 例题及习题精选 ..................................................................................................................................... 67 4 数字滤波器的结构与状态变量分析法........................................................................................................ 72 4.1 重点与难点 ............................................................................................................................................. 72 4.1.1 离散LTI 系统输入与输出关系描述.............................................................................................. 72 4.1.2 用信号流图表示系统结构.............................................................................................................. 72 4.1.3 IIR 系统的基本结构......................................................................................................................... 73 4.1.4 FIR 系统的基本结构........................................................................................................................ 74 4.2 例题及习题精选 ..................................................................................................................................... 78 5 IIR 数字滤波器设计...................................................................................................................................... 80 5.1 重点和难点 ............................................................................................................................................. 80 - 324 -

5.1.1 滤波器设计指标描述....................................................................................................................... 80 6.1.2 IIR 数字滤波器设计方法................................................................................................................. 81 5.1.3模拟滤波器设计方法简介............................................................................................................. 81 5.1.4 脉冲响应不变法设计.................................................................................................................... 85 5.1.5 双线性变换法................................................................................................................................ 86 5.2 例题及习题精选 ..................................................................................................................................... 87 6. FIR 数字滤波器的设计................................................................................................................................ 95 6.1 重点与难点 ............................................................................................................................................. 95 6.1.1 线性相位FIR 数字滤波器的条件和特点...................................................................................... 95 6.1.2 FIR 数字滤波器的窗函数设计........................................................................................................ 97 6.1.3 FIR DF 的频率响应设计................................................................................................................. 98 6.2 例题及习题精选 ..................................................................................................................................... 99 - 325 -

1 离散系统的性质和离散信号的变换 1.1 重点和难点 1.1.1 时域抽样定理时域离散信号往往是从时域连续信号通过周期性取样得到的，搞清采样序列和原始信号之间的关系是必要的。 sx t 是原模拟信号 ( ) ax t 在等间隔 T 处的离散采样值。采样信号的频谱信号的采样 ( ) )jw sX e 是对原信号频谱 ( ( aX e 作了周期延拓，幅度是 ( aX e 的 )jw )jw 1 T = 倍。 sf 要从采样信号中恢复模拟信号，信号采样必须遵从采样定理（或称奈奎斯特定理）：如果采样频率大于或等于有限带宽信号的最高频率的两倍，可由采样信号恢复原信号。一般把临界的频率称为奈奎斯特采样频率。 1.1.2 离散时间信号信号可定义为一个承载信息的函数，通常表示为时间 t的函数。信号的幅度和时间 t 可以取连续值，也可以取离散值。对于幅度和时间都取连续值的信号称为模拟信号或时域连续信号。对于幅度取连续值而时间取离散值的称为时域离散信号；而对于幅度和时间均为离散值的信号称为数字信号。数字信号处理基本上是讨论离散信号的问题，对于信号幅度离散化的影响，只作初步的讨论。一个时域离散信号自变量是整数 n 的函数，称之为序列，其中 n=…,-2,-1,0,1,2…。通常表示为｛X(n)｝ −∞ < < ∞ n 在信号处理中，有一些基本序列起着非常重要的作用，它们是单位取样序列、单位阶跃序列、实指数序列、矩形序列和正弦序列，这些序列的解析表达式如下，图形见图 1-1。单位取样序列 nδ ( ) 单位阶跃序列 u n ( ) 0 ⎧ = ⎨ 1 ⎩ 0 ⎧ = ⎨ 1 ⎩ n n ≠ = 0 0 n n < ≥ 0 0 x n 实指数序列 ( ) n a= −∞ < < ∞ n 矩形序列 NR n ( ) 1 ⎧ = ⎨ 0 ⎩ ≤ ≤ n N 0 其它n − 1 正弦序列 ( ) nx = A sin(nw ) ∞<<∞− n - 1 -

对于正弦序列 ( ) nx A πω 2/ 为有理分数 p/q时有 )2/ 2 ππω = n ) ω sin( sin( = = n sin(nw ) ，只有当 sin( np 2 π / q ) 因此当 p ，q 均为整数时，该正弦序列的周期为 q ，即 qn ) sin(( ) + ω 反之当 πω 2/ 不是有理分数时，就没有周 qnqp 2 π n ) ω sin( sin( )) = + = n ( / 期性。习惯上，称ω为数字角频率。对周期序列来说，它反映了正弦序列周期变化的速率。如果正弦序列是从连续时间 t 的正弦信号 sin( ) tΩ 采样得到，即 sin( Ω Ω = sin( ) t nT ) = sin( nω ) 则有数字频率ω和模拟频率 Ω 之间的关系为 TΩ=ω 式中T 为采样周期，且有t nT= 单位取样序列 )(nδ 是最常用的基本序列，其作用类似于连续信号中的冲激序列，惟一不同之处是单位取样序列是可以实现。单位阶跃与单位取样的关系是图 1-1 常用序列的图形 u n ( ) = ∞ −∑ n kδ ( k = 0 ) 类似地，单位取样和单位阶跃的关系是 u n ( ) δ = n ( ) − u n ( 1) − 在时域离散信号处理中，经常要对序列进行运算，序列的基本运算有： + ⋅ z n y n x n y n x n ( ) ( ) ，即 ( ) ( )} 序列相加：{ ( ) + = x n y n z n x n y n ( ) ，即 ( ) ( ) ( )} 序列相乘：{ ( ) = ⋅ z n a x n a x n⋅ ，即 ( ) ( ) 序列的数乘：{ ( )} = ⋅ z n x n− ，即 ( x n ) ( ) ) 序列的反转：{ ( = − ∞ ∑ x n y n ，即 x k 序列的卷积和：{ ( )* ( )} ( ) ⋅ y n k ( − k =−∞ ) = z n ( ) 利用上述序列的基本运算和单位取样序列的筛选特性，任意序列 x(n)皆可表示为单位取样序列的移位加权和，即 - 2 -

x n ( ) = ∞ ∑ k =−∞ x k ( ) n kδ − ⋅ ( ) 1.1.3 离散系统及其线性时不变性几乎在每个科学和技术领域，为了容易提取信息，都必须对信号进行处理，这些处理通常将信号变换成另一种信号形式，这种新的信号形式在某种意义上比原始信号更合乎要求。信号处理系统可以按照信号分类的原则，同样进行分类。连续时间系统是指输入和输出都是时域连续信号的系统，而时域离散系统是指输入和输出都是时域离散信号的系统；数字系统是指输入和输出都是数字信号的系统。时域离散信号可通过对连续时间信号进行采样得到，或直接通过某种时域离散化处理得到，无论时域离散信号的来源如何，数字信号处理系统都具有许多引人注目的特征，它可以采用数字计算机灵活实现或者用数字硬件设备实现。 ny )( 时域离散系统在数学上定义为将输入序列映射成输出序列的惟一变换或运算，记为 = 一个时域离散系统若满足线性条件，即，如图 1-2 所示。 nxT ([ )] 1 y n ( ) = T x n [ ( )] 1 ， 2 y n ( ) = T x n [ ( )] 2 x n ( ) ⎯⎯⎯→ T [*] y n ( ) ⎯⎯⎯→ 图 1-2 时域离散系统表示法对于任意常数 a 和b 都满足 ⋅ T a x n ( ) [ b T x n ( )] + ⋅ + ⋅ [ 1 b x n ( ) = ⋅ 2 a y n ( ) = ⋅ a T x n [ ( )] b y n ( ) + ⋅ 1 1 2 2 则称该系统为线性系统。研究线性系统对某一叠加型复杂输入信号的响应时，可分解成几个简单信号的叠加来研究。一个时域离散系统 y(n)=T[x(n)]，对于任意整数 k都满足 kny ( − ) = knxT ([ − )] ，则称该系统为时不变系统（也称为移不变系统或非时变系统）。我们可以利用定义来判断一个系统是不是线性的或时不变的，也可以通过一特殊的输入序列来确定一个系统的线性和时不变性。若一个离散系统同时满足线性和时不变性则称为线性时不变离散系统（也称线性移不变系统或线性非时变系统）。以后若是未加特别说明，我们所讨论的系统一般都是线性时不变系统。线性时不变系统对单位取样序列 )(nδ 在零初始条件下的响应为 nh )( ([ δ= T n )] ，称为单位取样响应，有时也称为单位冲激响应。也就是说 )(nh 是系统对 )(nδ 的零状态响应。时域离散系统的线性和时不变性使得计算系统的响应变得很方便，即可以通过卷积计算得到系统的输出。线性时不变离散系统的输出序列是输入序列同单位取样响应的卷积，数学表达式为 - 3 -

y n ( ) = 该式常被简写为 ∞ ∑ k =−∞ x k h n k ( ) − ( ⋅ ) y n ( ) = x n h n ( )* ( ) = h n x n ( )* ( ) 在计算卷积时，经常要用到卷积一些基本的运算规律。若有三个序列分别为 v n ( ), ω 和，其卷积运算满足以下的基本运算规律。 x n ( ) n ( ) 交换律：结合律：分配律：与单位取样序列的卷积：与移位单位取样序列的卷积： = nwnv nv nw )(*)( )(*)( nv nwnx nx nv (*)([ (*)([*)( )] = nv nx nwnv nx )] )([*)( ( )(*)( = nx n )(*)( =δ nx (*)( + = nw nwnx nv )(*)] )(*)(*)( nwnx )(*)( + nx )( kn ) −δ knx ( − = ) 1.1.4 线性卷积和圆周卷积之间的关系线性卷积是线性非时变系统的重要处理工具，有明确的物理意义；圆周卷积仅是一种数学运算，由离散傅里叶变换的卷积特性得知，它在快速运算中起到了很大的作用。设 ( ) x n 为 M 点序列， ( ) y n 为 N 点序列，两个序列的线性卷积和圆周线性卷积分别记为： f n ( ) cf n ( ) = x n y n ( )* ( ) = y n x n ( ) ( ) ⊗ L M N + 长度： 1 L 长度： 2 max( = = 1 − M N ) , 圆周卷积 )(nf c 等于一个周期序列的主值序列，该周期序列是线性卷积 ( )nf 以 L 为周 L L< ， L L≥ 满足时， ( ) f n ，但是，如果 cf n 必然等于 ( ) 1 1 期进行周期延拓的结果，因此，当则 ( ) 当 f n 。即 1 − 时 cf n 不等于 ( ) L M N ≥ + cf n ( ) = f n ( ) L 当 1 2 ≥ ≥ ，存在部分混叠 L L 1 f n ( ) c ≠ ⎧ ⎪= ⎨ ⎪≠ ⎩ 当 L < 时，全部混叠。 L 1 2 − − n L f n ( ),0 ≤ ≤ 1 L L f n L ( ), − ≤ − 1 f n L n L ( ), < ≤ − 1 L 1 1 1 由上可知，在一定条件下，可以采用计算圆周卷积来代替线性卷积的计算，步骤如下。步骤 1：确定线性卷积长度 1L - 4 -

步骤 2：改变原序列的长度为 1L ，得到序列 1 y n和 ( ) 1 L M N 1 = + 1 − x n ( ) 1 1 ≤ ≤ x n ( ) 1 n M − 1 − n N − 1 − x n ( ),0 ≤ ≤ ⎧ = ⎨ M n L 0, ⎩ 1 y n ( ),0 ≤ ≤ ⎧ = ⎨ N n L 0, ⎩ 1 y n 的 1L 点的圆周卷积 nf c )( ∗ ny )( 1 nx )( 1 y n ( ) 1 ≤ ≤ nx )( ⊗ = x n 和 1( ) = 步骤 3：求序列 1( ) ny )( = nf )( 为此，建立起线性卷积和圆周卷积之间的关系，就能利用圆周卷积实现线性卷积的快速算法。 1.1.5 离散系统的因果和稳定性系统的稳定性和因果性是保证系统的物理实现的重要条件，下面分别对系统的稳定性和因果性进行讨论。稳定性：输入序列有界，能保证输出序列也是有界的系统称为稳定系统。线性时不变系 S 统稳定的充要条件是系统的单位取样响应和 ( )h n 绝对可知，即 n n= 时的值 0( 因果性：若一个时域离散系统的输出 ( ) h n ( ) y n 只依赖于 < ∞ n n≤ 的输入序 y n ，在 = ) ∑ 。 =−∞ ∞ 0 0 n 列，则称此系统是因果系统。因果性实际上要求系统的输出值只和以前的输入和输出值有关。这样的系统才是物理可实现的。线性时不变系统属因果系统的充要条件是，当 0n < 时，其单位取样响应 ( )h n 恒为零。 1.1.6 离散系统的 Z 变换 1. 定义序列 ( )x n 的 Z 变换 ( X Z 定义为 ) X Z ( ) = ZT x n [ ( )] ∞ = ∑ n =−∞ x n Z ( ) − n 式中 Z re= 是一复变量，此定义又称为双边 Z 变换。在极坐标平面上，r 是矢径，ω是复 jw 角。而在直角坐标平面上，则用其实部表示横坐标，虚部表示纵坐标，并以此组成以 Z 为变量的复数平面。当 Z = ，即 1r = ，序列的 Z 变换就等于傅里叶变换。 1 还有一种称为单边 Z 变换的定义 X Z ( ) = ZT x n [ ( )] ∞ = ∑ n = 0 x n Z ( ) − n 对于因果序列，用两种 Z 变换定义，计算结果是相同的。本书只有在用 Z 变换解差分 - 5 -

方程考虑初始条件时用单边 Z 变换，其余都用双边 Z 变换对信号和系统进行分析与变换。 2. 收敛域 X Z 根据级数求和的理论，式 ( ) 绝对可和，即 ∞ = ∑ n =−∞ x n Z ( ) − n 所示级数收敛的充分必要条件是该级数 ∞ ∑ n =−∞ x n Z ( ) − n ≤ ∞ ∑ n =−∞ x n ( ) ⋅ Z − n < ∞ 即要求序列 ( ) 域： R x − < x n 有界的条件下要限制 nZ − 的取值范围，这个范围在 Z 平面上是一个环状区 Z n − < 。对于任何序列 ( ) X z x n ，能保证式 ( ) 收敛的所有 Z 变量 x n Z ( ) ∞ − n R x + = ∑ n =−∞ 的取值范围称为 Z 变换的收敛域（ROC）。同一个 Z 变换式，由于收敛域的不同，可能代表不同序列的 Z 变换函数，所以为了单值地确定 Z 变换所对应的原序列，不仅要给出序列的 Z 变换函数，而且必须同时说明它的收敛域。 3. Z 变换的零、极点当 Z 变换可以表示成两个多项式之比时，即 ZX ( ) = ZP ( ZQ ( ) ) 式中分子多项式 ( )Q Z 的根将使 ( 式 ( X Z = ，对应的 Z 值通常称为 Z 变换的零点；而分母多项 )P Z 的根将使 ( X Z → ，对应的 Z 值通常称为 Z 变换的极点。Z 变换在极点处不收敛。 ) 0 0 ) 4. 序列的性质和 Z 变换收敛域之间的关系下面讨论序列的性质和 Z 变换收敛域之间的关系，对于一个序列，若 ∞ ∑ n =−∞ x n Z ( ) − n 的级数和不收敛，就表明该序列的 Z 变换不存在。而且当序列的 Z 变换存在时，其收敛域的位置、大小和序列 ( ) x n 的性质有密切关系。表 2-1 给出了它们之间的关系。表 2-1 序列的性质和 Z 变换收敛域之间的关系序列的性质收敛域（ROC）有限长序列 x n ( ) 0 ⎧ = ⎨ ⎩ x n ( ) n N N ≤ ≤ 1 其余 2 除 0 和 ∞ 两点以外，整个 Z 平面收敛。对 0 和 ∞ 两点的收敛情况讨论如下： N 1 N 1 N 1 0 , 时收敛域为0 0 , 时收敛域为0 0 , 时收敛域为0 < ∞ < ∞ ≤ ∞ 0, 0, 0, N N N ≤ > > ≤ < < < < ≥ Z Z Z 2 2 2 右边序列 n N≥ 时，序列值不全为零 1 xR − < − n Z 某个圆外部左边序列 n N≥ 时，序列值全为零 2 Z n − < R x + 某个圆内部双边序列从 n = −∞ 一直延伸到 n = ∞ 的序列 xR − < − n Z < R x + 某环状区域 - 6 -

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