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2020-2021学年山西省吕梁市孝义市八年级下学期期中数学试题及答案.doc
2020-2021 学年山西省吕梁市孝义市八年级下学期期中数学试题及答
案
一、选择题（每小题 2 分，共 20 分.下列各小题均给出四个备选答案，请将符合题意选项的字母代号，填
写在下面方格内）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
题号
答案
1．若代数式
2x 是二次根式，则 x的取值范围是
A．x﹥-2
B．x≥0
C．x≤-2
D．x≥-2
2．下列能与 3 合并的是
A． 30
B． 13
C． 12
D． 9
3．下列运算正确的是
A．
6
6
12
C．
2
8
4
36
B．
D．
)23(
41
9
2
21
3
4．若
n28 是整数，则正整数 n的最小值是
A．7
B．5
C．3
D．0
5．如图，这个图案是我国汉代一位著名的数学家在注解《周髀算经》时给出的，利用此图可以证明勾股定
理．这位数学家是
A．秦九韶
B．祖冲之
C．赵爽
D．杨辉
6．如图，正方形 A、正方形 B和等腰直角三角形 C围成一个直角三角形，若正方形 A和正方形 B的面积分
别是 13 和 5，则等腰直角三角形 C的面积是
A．4
B．6
C．8
D．12
7．下列说法正确的是
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线相等的矩形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
8．如图，△ABC中，AC= 2 ，BC=4，AB=
23 ，点 D是 AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形 CEBD的周
长是
A． 23
B．8
C． 26
D．
244
9．如图，□ABCD的周长是 20cm，∠ABC的平分线交 AD于点 E，若 DE=2 cm，则 AB的长是
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
10．如图，矩形 ABCD中，点 E是边 AB的中点，点 F是对角线 AC的垂直平分线上的一动点，若 AB=10，AD=12，
则 AF+EF的最小值是
A． 61
2
B．13
C．8
D． 34
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11．写出一个与
2 的和是有理数的数：
3
．
12．如图，数轴上点 A，B表示的数分别是-2，-3，OM⊥AB于点 O，以点 O为圆心，OA长为半径的弧交 OM
于点 C，连接 BC，以点 B为圆心，BC长为半径的弧交数轴于点 D，则点 D的坐标是
．
（第 12 题）
（第 13 题）
13．如图，四边形 ABCD是平行四边形，点 E是 AB的中点，当 OE与 AB满足条
件
时，四边形 ABCD是矩形．
14．命题 “如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”的逆命题
是
．
15．如图，矩形 ABCD中，先以点 B为圆心，BC长为半径画弧，交 AD于点 E，连接 BE，再分别以点 C，E为圆
心，大于
1 CE长为半径画弧，两弧交于点 F，射线 BF交
2
BC=5，则 CG的长是
．
CD于点 G，若 AB=3，
三、解答题（本大题共 7 个小题，共 55 分．解答题应写
出文字说明、证明过
程或演算步骤）
16．计算（每小题 5 分，共 10 分）
（1）
27
2
8
32
（2）
2
12
3
2
5
6
17．（5 分）已知 x= 3 +1,y= 3 -1．求
y 的值.
x
x
y
18．（6 分）如图，□ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O，点 E,F是 BD上的两点，且 BE=DF，依次连接 AE,EC,CF,FA.
求证：四边形 AECF是平行四边形．
19．（6 分）如图，方格中每个小正方形的边长都是 1，小正方形的顶点叫格点．
（1）按下列要求在方格中画一个菱形 ABCD；
要求：①菱形的四个顶点均在格点上；
②四边形 ABCD不是正方形；
③菱形的对角线不与图中的线段重合；
（2）填空：你画出的菱形 ABCD的边长为
_____________（直接写出答案，不写过程）．
20．（6 分）阅读下列材料，完成相应任务.
海伦——秦九韶公式
如 果 一 个 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a ， b ， c ， 记 p=
s
(
cpbpapp
)(
)(
)
.
， 那 么 三 角 形 的 面 积 为
cba
2
①
古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元 50 年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作
《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式.
我国南宋时期数学家秦九韶（约 1202—约 1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
s
1
4
2
2
ba
2
c
2
a
2
b
2
2
下面我们对公式②进行变形∶
②
1
4
2
2
ba
2
c
2
a
2
b
2
2
1
2
ab
2
2
a
b
4
2
c
2
1
2
2
a
ab
2
c
2
b
4
1
2
2
a
ab
2
c
2
b
4
2
ab
2
a
4
2
b
2
c
2
ab
2
a
2
b
2
c
4
2
ba
4
2
c
2
c
2
ba
4
acbbcacbacba
2
2
2
2
cpbpapp
=
=
=
=
=
这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦
——秦九韶公式.
任务一：如图 1，在△ABC中，AC=b =5，BC= a =6，AB= c =7，请你用海伦-秦九韶公式求△ABC的面积.
任务二：如图 2，在图 1 的基础上，作△ABC三个内角的平分线交于点 O．过点 O作 OD⊥AB，求 OD的长（提
示：△ABC的面积等于△ABO,△BCO,△ACO的面积和）.
21．（10 分）如图，△ABC中，∠ABC=90°，过点 B作 AC的平行线，与∠BAC的平分线交于点 D，点 E是 AC
上一点，BE⊥AD于点 F，连接 DE.
（1）求证：四边形 ABDE是菱形；
（2）若 AB=2，∠ADC=90°，求 BC的长.
22．（12 分）综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师引导学生用一块等腰直角三角板和一个正方形展开探究活动．将正方形的一个顶
点与等腰直角三角板的斜边的中点重合，摆放的位置不同一些线段就会出现一定的数量关系．
知识初探：
将等腰直角三角板 ABC与正方形 ODEF如图 1 摆放，使正方形 ODEF的顶点 O与等腰直角三角板斜边 AB
的中点 O重合，且 OD边经过点 C，请你写出 DC与 BF的数量关系和位置关系：
__________________
____.
类比再探：
如图 2，正方形 ODEF的顶点 O与等腰直角三角板斜边 AB的中点 O重合，OD边不经过点 C，连接 CD，
BF，此时 DC与 BF的又有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.
拓展延伸：
如图 3，正方形 ODEF的顶点 O与等腰直角三角板斜边 AB的中点 O重合，正方形 ODEF的对角线交于点
G， 连 接 CD， BD， 取 BD 的 中 点 H， 连 接 GH， 请 你 直 接 写 出 GH 与 CD 之 间 的 数 量 关 系 与 位 置 关
系
．
一、选择题（每小题 2 分，共 20 分）
数学参考答案
题号
答案
1
D
2
C
3
C
4
A
5
C
6
A
7
D
8
C
9
B
10
B
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
3 （答案不唯一）
3
13
11.
14. “如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半”或“直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半” .
13. OE⊥AB
12.
15.
5
3
三、解答题（本大题共 7 个小题，共 55 分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（1）
3
2
（2） 15
4
3
18. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
17. 4
∴AO=CO,BO=CO……………………………………………………………………2 分
又∵BE=DF
∴BO-BE=CO-DF
∴OE=OF……………………………………………………………………………4 分
∴四边形 AECF是平行四边形．…………………………………………………6 分
19. （1）如图 ……………………………………………………………………4 分
（2）图 1 的边长为 5 ；图 2 的边长 10 （高与图不一致不得分）
图 2
图 1
20. 任务一：
…………………………………………………6 分
765
解：
P
9
………………………………………………………………1 分
S△ABC=
)59(9
)69(
)79(
…………………………………………3 分
=
66
任务二：
解：∵点 O 是三个角平分线的交点
∴点 O 到三边的距离都等于 OD，…………………………………………………4 分
2
BC·OD+
AC·OD=
66
AB·OD+
1
2
(AB+BC+AC)·OD=
1
2
66
∴
∴
1
2
1
2
∴9OD=
66
2
3
6
∴OD=
………………………………………………………………………6 分
21.（1） 证明：∵AD 平分∠BAE
∴∠BAF=∠EAF
∵BE⊥AD
∴∠AFB=∠AFE=90°
∴∠ABE=∠AEB
∴AB=AE
∵BD∥AC
∴∠BDF=∠EAF
∴∠BAF=∠BDF
∴AB=BD
∴BD=AE
∵BD∥AE
………………………………………1 分
………………………………………2 分
………………………………………3 分
………………………………………4 分
∴四边形 ABDE 是平行四边形
………………………………………5 分
∵AB=BD
∴□ABDE 是菱形
（2）解：∵四边形 ABDE 是菱形
∴DE=AE=AB=2
∴∠EAD=∠EDA
∵∠ADC=90°
………………………………………6 分
………………………………………7 分
∴∠EDC+∠EDA=90°, ∠EAD+∠ECD=90°
∴∠EDC=∠ECD
∴DE=EC=2
∴AC=AE+CE=4
∵∠ABC=90°
………………………………………8 分
………………………………………9 分
2
∴BC=
AC
22.知识初探
AB
2
2
4
2
2
32
……………………………………10 分
DC=BF, DC⊥BF
……………………………………2 分
类比再探
DC=BF, DC⊥BF.理由： …………………………………3 分
连接 OC
∵点 O 是等腰直角△ABC 斜边的中点
…………………………………4 分
∴OC=
1
2
AB=OB，∠COB=90°…………………………5 分
∵四边形 ODEF是正方形
∴OF=OD，∠FOD=90° ………………………………6 分
∵∠FOB=∠COB+∠COF, ∠COD=∠FOD+∠COF
∴∠FOB=∠COD
………………………………7 分
∴△BOF≌△COD
∴DC=BF,∠1=∠2
………………………………8 分
∵∠3=∠4
∴∠FMD=∠FOD=90°
∴DC⊥BF
拓展延伸
………………………………9 分
……………………………10 分
GH=
1
2
DC, GH⊥DC
……………………………12 分
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