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1990年考研数学三真题及答案.doc
1990年考研数学三真题及答案
1990 年考研数学三真题及答案
一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.把答案填在题中横线上.)
(1) 极限 lim(
n
n
3
n
n
n
)
_________.
(2) 设函数 ( )
f x 有连续的导函数, (0) 0,
f
f
(0)
,若函数
b
( )
f x
a
x
,
A
x 处连续,则常数 A =___________.
( )
F x
sin ,
x
x
0,
x
0
2
x 与直线
y
x 所围成的平面图形的面积为_________.
2
在 0
y
(3) 曲线
(4) 若线性方程组
x
1
x
2
x
3
x
4
x
2
x
3
x
4
x
1
,
a
1
,
a
2
a
3
a
4
,
有解,则常数 1
a a a a 应满足条件________.
,
,
,
2
3
4
(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为
中率为________.
80
81
,则该射手的命
二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,
把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设函数
( )
f x
x
tan
x e
sin
x
,则 ( )
f x 是
(
)
(A) 偶函数
(B) 无界函数
(C) 周期函数
(D) 单调函数
(2) 设函数 ( )
f x 对任意 x 均满足等式 (1
f
x
)
( )
af x
,且有 (0)
f
其中 ,a b 为非零常
b
,
数,则
(A)
( )
f x 在 1x 处不可导
(C)
( )
f x 在 1x 处可导,且 (1)
f
(B)
(D)
b
f x 在 1x 处可导,且 (1)
( )
f
f x 在 1x 处可导,且 (1)
( )
f
(
)
a
ab
(3) 向量组 1
线性无关的充分条件是
,
,
,
2
s
(
)
均不为零向量
,
,
,
1
2
s
中任意两个向量的分量不成比例
,
,
,
(A)
(B)
(C)
1
1
2
2
s
s
中任意一个向量均不能由其余 1s 个向量线性表示
,
,
,
(D)
中有一部分向量线性无关
,
,
,
1
2
s
(4) 设 ,A B 为两随机事件,且 B
A ,则下列式子正确的是
(
)
(A)
(C)
P A B
P B A
P A
P B
(B)
P AB
P A
(D)
P B A
(
P B
)
P A
(5) 设随机变量 X 和Y 相互独立,其概率分布为
m
P X m
-1
1
2
1
1
2
m
P Y m
-1
1
2
1
1
2
则下列式子正确的是
(A) X Y
(C)
P X Y
1
2
(
)
(B)
P X Y
0
(D)
P X Y
1
三、计算题(本题满分 20 分,每小题 5 分.)
(1) 求函数
( )
I x
(2) 计算二重积分
x
e
D
ln
t
2
1
t
2y
dxdy
2
t
xe
dt
在区间 2
[ ,
e e 上的最大值.
]
,其中 D 是曲线
y
24
x
和
y
29
x
在第一象限所围成的区
域.
(3) 求级数
(
x
n
1
n
3)n
2
的收敛域.
(4) 求微分方程
y
y
cos
x
(ln )
x e
sin
x
的通解.
四、(本题满分 9 分)
某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入
R (万元)与电台广告费用 1x (万元)及报纸广告费用 2x (万元)之间的关系有如下经验公式:
R
15 14
x
1
32
x
2
8
x x
1 2
2
2
x
1
2
10 .
x
2
(1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；
(2) 若提供的广告费用为 1.5 万元,求相应的最优广告策略.
五、(本题满分 6 分)
设 ( )
f x 在 闭区 间 [0, ]c 上 连续 ,其 导数 ( )
f x 在 开区 间 (0, )c 内 存在 且 单调 减少 ；
f
(0) 0
,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:
(
f a b
)
( )
f a
( )
f b
,其中常数 a b、
满足条件 0 a b
a b c
.
六、(本题满分 8 分)
已知线性方程组
,
0,
x
x
x
1
2
3
3
2
x
x
x
2
1
3
2
2
x
x
x
2
3
4
5
4
3
x
x
x
1
2
3
(1) a b、 为何值时,方程组有解?
(2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系；
(3) 方程组有解时,求出方程组的全部解.
x
x
4
5
x
4
6
x
5
3
x
4
a
3
x
5
,
b
x
5
2,
七、(本题满分 5 分)
已知对于 n 阶方阵 A ,存在自然数 k ,使得
kA ,试证明矩阵 E A 可逆,并写出其逆
0
矩阵的表达式( E 为 n 阶单位阵).
八、(本题满分 6 分)
设 A 是 n 阶矩阵, 1和 2 是 A 的两个不同的特征值,
,X X 是分别属于 1和 2 的特征
1
2
X
向量.试证明 1
X 不是 A 的特征向量.
2
九、(本题满分 4 分)
从0,1,2,
,9 十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：
1A {三个数字中不含 0 和 5}； 2A {三个数字中不含 0 或 5}.
十、(本题满分 5 分)
一电子仪器由两个部件构成,以 X 和Y 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知
X 和Y 的联合分布函数为:
( ,
F x y
)
e
1-
0.5
x
0.5
y
e
e
0.5(
x y
) ,
x
若
0,
0,
0,
y
其他.
(1) 问 X 和Y 是否独立?
(2) 求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率.
十一、(本题满分 7 分)
某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为 72
分,96 分以上的占考生总数的 2.3%,试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率.
[附表]
x
( )x
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0.500
0.692
0.841
0.933
0.977
0.994
0.999
表中 ( )x 是标准正态分布函数.
【答案】
一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)
(1)【答案】 2
(2)【答案】b a
14
2
(3)【答案】
a
(4)【答案】 1
2
3
(5)【答案】
a
a
3
a
4
2
0
二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)
(1)【答案】(B)
(2)【答案】(D)
(3)【答案】(C)
(4)【答案】A
(5)【答案】(C)
三、计算题(本题满分 20 分,每小题 5 分.)
ln
x
2
x
(1)【解析】在
[ ,
e e
( )
I x
上,
x
x
]
2
2
1
ln
x
x
2
1
0
,故函数 ( )
I x 在 2
[ ,
e e 上单
]
调增加,最大值为 2(
I e
)
.
由
dx
x
2
)
(1
)
d
(1
(1
)
x
x
2
d
1
(1
x
)
,有
2
(
I e
)
2
e
e
ln
t
1
2
t
dt
2
e
e
ln
td
1
1
t
2
e
e
ln
t
1
t
2
1
ln
(2)【解析】区域 D 是无界函数,设
e
1
1
e
2
2
e
e
1
1
1
e
e
e
dt
t t
ln
t
t
1
2
e
e
1
2
e
e
1
1
(
t
1
t
)
dt
2
ln(
e
1) 2
ln(
e
1) 1
.
D D
b
0
y b
{ ,
x y
0
y b
,
y
3
x
y
2
}
,
y
29y
x
y
24
x
不难发现,当b 时有 bD
D ,从而
2
y
xe
dxdy
lim
b
D
D
b
2
y
xe
dxdy
lim
b
b
0
e
2
y
dy
xdx
y
2
y
3
O
x
y
)
y e
2
y
dy
1
9
dy
2
y
1
4
ye
b
1
b
lim (
2
0
b
5
lim
72
b
5
144
lim (1
b
0
(3)【解析】因系数
na
1,2,
,故
y
2
5
144
lim
b
2
b
0
t
e dt
t
5
144
)
.
2
b
)
e
1 (
n
n
2
lim
n
1
a
n
a
n
n
lim
n
2
1
1
1
2
n
lim
n
n
2
n
2
1
这样,幂级数的收敛半径
R
1
.因此当 1
,即 2
3 1,
1
x
1
,
x 时级数绝对收敛.
4
( 1)n
n
1
1
2
n
；当 4
x 时,得正项级数
1
,二者都收敛,于是原级
2
n n
1
当 2
x 时,得交错级数
数的收敛域为[2,4] .
(4)【解析】方法 1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.
cos
xdx
y
e
e
sin
x
ln
xe
cos
xdx
dx C
sin
x
e
ln
xdx C
sin
x
e
[ ln
x
x
x C
]
.
方法 2: 用函数
P x dx
( )
e
cos
xdx
e
sin
x
e
同乘方程两端,构造成全微分方程.
方程两端同乘 sin xe
,得 sin
e
x
y
ye
sin
x
cos
x
(
ye
sin
x
)
(
ye
sin
x
)
ln
x
,再积分一次得
sin
x
ye
C
ln
xdx C x
ln
x
x
.
最后,再用 sin x
e 同乘上式两端即得通解
y
e
x
sin [ ln
x
x
x C
]
.
四、(本题满分 9 分)
【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为
15 14
x
1
32
x
2
8
x x
1 2
2
2
x
1
10
2
x
2
(
x
1
x
2
)
15 13
x
1
31
x
2
8
x x
1 2
2
2
x
1
2
10 .
x
2
由多元函数极值点的必要条件,有
x
1
x
2
4
x
1
8
x
2
13 0,
8
x
1
20
x
2
31 0,
x
1
0.75,
x
2
1.25.
因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用 0.75 万元,报纸广告费用 1.25 万
元可获最大利润.
(2)若广告费用为 1.5 万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)
15 13
x
1
31
x
2
8
x x
1 2
2
2
x
1
2
10 ,
x
2
x
在 1
x
2
时的条件最大值.拉格朗日函数为
1.5
(
,
L x x
1
2
,
由
x
1
20,
x
1.5.
) 15 13
x
1
31
x
2
8
x x
1 2
2
2
x
1
10
x
2
2
(
x
1
x
2
1.5),
L
x
1
L
x
2
L
4
x
1
8
x
2
13
0,
8
x
1
20
x
2
31
0,
x
1
x
2
1.5 0
因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费 1.5 万元全部用于报纸广告,可使利润最
大.
五、(本题满分 6 分)
【解析】方法 1:当 0
a 时, (
f a b
)
( )
f b
( )
f a
( )
f b
,即不等式成立；
若 0
a ,因为
其中
0
1
a b
2
(
)
f a b
)
[
(
f a b
(
)
f
a
f
2
( )
( )
f b
f a
f
( )
( )]
[
f b
f a
(
(
[
)
a
a f
2
1
(0)
f
)
(0)]
(
f
1
)],
.又 ( )
f x 单调减少,故
a b
f
(
(
f
1
2
)
)
.从而有
(
f a b
)
( )
f a
( )
f b
f
(0) 0
,即 (
f a b
)
( )
f a
( )
f b
.
方法 2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b 视为变量 x ,得辅助函数
令 ( )
F x
,所以 (0) 0
,由于 (0) 0
(
),
f a x x
[0, ]
b
( )
f a
( )
f x
F
,又因为
f
( )
F x
( )
f x
(
f a x
且 0
a ,
),
f x 在 (0, )b 单调减少,所以 ( ) 0
F x
( )
,于是 ( )F x 在
[0, ]b 上单调递增,故 ( )
F b
F
(0) 0
,即
(
f a b
)
( )
f a
( )
f b
,其中 0 a b
a b c
.
六、(本题满分 8 分)
【解析】本题中,方程组有解
(
)
r A
(
)
r A
.
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