1990年考研数学二真题及答案.doc-资料库

1990 年考研数学二真题及答案一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1) 曲线   x  y  3 cos 3 sin t t 上对应于点 t  点处的法线方程是＿＿＿＿＿＿.  6 (2) 设 y  e tan 1 x  sin 1 x ,则 y  ＿＿＿＿＿＿. (3) 1  0 1x  xdx  ＿＿＿＿＿＿. (4) 下列两个积分的大小关系是：  1  2 3 xe  dx ＿＿＿＿＿＿  1  2 3 xe dx . (5) 设函数 ( ) f x 1, |    0, |  x x | 1  | 1  ,则函数 [ f ( )] f x  ＿＿＿＿＿＿. 二、选择题(每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 已知 lim x  2  x  x  1  ax b      0 ,其中 ,a b 是常数,则 (A) a 1, b  1 (C) a 1, b   1 (B) a   1, b  1 (D) a   1, b   1   上连续,则 ) , (2) 设函数 ( ) f x 在 ( (A) ( ) f x (C) ( ) f x C d    ( ) f x dx   等于 (B) ( ) f x dx (D)  ( ) f x dx ( ) ( ) (3) 已知函数 ( ) f x 具有任意阶导数,且  ( ) f x  [ ( )] f x 2 ,则当 n 为大于 2 的正整数时, ( ) f x 的 n 阶导数 ( )( ) nf x 是 ( ) (A) ![ n f x ( )]n 1  (C) [ 2 ( )] n f x (B) [ n f x ( )]n 1  (D) ![ n f x 2 ( )] n

(4) 设 ( ) f x 是连续函数,且 ( ) F x xe    x f ( ) t dt ,则 ( )F x 等于 ( ) (A)  x  e  x ( f e )  ( ) f x (B)  x  e  x ( f e )  ( ) f x (C)  x e ( f e x   ) ( ) f x (D)  x e ( f e x   ) ( ) f x x ( ) , f x x (0), x f (5) 设 ( ) F x      是 ( )F x 的 (A) 连续点 ,其中 ( ) f x 在 0 x  处可导, f  (0)  0, f  0  0 (0) 0  ,则 0 x  ( ) (B) 第一类间断点 (C) 第二类间断点 (D) 连续点或间断点不能由此确定三、(每小题 5 分,满分 25 分.) (1) 已知 lim(  x  9 ,求常数 a . x ) x a  x a  y   x (2) 求由方程 2 ( x  y )ln( x  所确定的函数 y ) y  ( ) y x 的微分 dy . (3) 求曲线 (4) 计算 2 y  1 1 x  ln x dx x (1 ) 2 ( x  0) 的拐点. . (5) 求微分方程 ln x xdy  ( y  ln ) x dx  满足条件 0 y   的特解. 1 x e 四、(本题满分 9 分) 在椭圆 2 2 x a  2 2 y b  的第一象限部分上求一点 P ,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所 1 围图形面积为最小(其中 0, b a  ). 0 五、(本题满分 9 分) 证明：当 0 x  ,有不等式 arctan x   1 x  2 . 六、(本题满分 9 分) ln t 1 t  ( ) f x 设   1 x dt ,其中 0 x  ,求 ( ) f x  f ( 1 x ) .

七、(本题满分 9 分) 过点 (1,0) P 作抛物线 y x  的切线,该切线与上述抛物线及 x 轴围成一平面图形, 2 求此平面图形绕 x 轴旋转一周所围成旋转体的体积. 八、(本题满分 9 分) 求微分方程  y  4  y  4 y 答案 ax  之通解,其中 a 为实数. e 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】 y   3( x  1 8 1 x tan 2  sec 3 8  1  2  1  x x 3)  sin tan 1 x  e 1 x cos    1 1   2 x x    e (2)【答案】    4 15 (4)【答案】  (3)【答案】 (5)【答案】1 二、选择题(每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】C (2)【答案】B (3)【答案】A (4)【答案】A (5)【答案】B 三、(每小题 5 分,满分 25 分.) (1)此题考查重要极限： lim(1 x   1 x x )  . e lim( x  x a  x a  x )  lim x  (1  (1  a x a x x ) x )  lim x  (1  (1  a x x a  a a ) x x ) a     a  a e e a 2 a  e 9  ,

得 2 a  ln 9 a  ln 3 . 或由 lim( x  x a  x a  x )   lim 1   x   2 a x a     x x a  2 a x a    2 a  2 a e , 同理可得 ln 3 a  . (2)方程两边求微分,得 2dy dx  ln( x  ) ( y d x   y )  ( x  ) y d  ln( x  y ) ) dx dy y   x ,  ( dx dy  )ln( x  y )  ( x  y 整理得 dy  2 ln(  3 ln(  x x   ) y ) y dx . (3)对分式求导数,有公式    u v        u v uv 2 v ,所以  y    2 x 2 2 ) x (1 ,  y  2(3 x (1  2 x 1)  2 3 ) , , y 在此变号,即是 x  1 3 时, y  0; x  时, 1 3 y  0; 令 y  得 0 x  1 3 故拐点为 ( 1 3 , 43 ) . 本题利用第一个判别定理就足够判定所求点是否是拐点了. (4)由 dx x  2 ) (1  ) d  (1 (1   ) x x 2  d 1  (1 x ) 有  ln  (1 x dx ) x 2   ln xd 1  ( 1 ) x 分部法 ln 1  x x  (  1 x  1  1 x ) dx  x 1 ln  x x  ln |1  | x C  , C 为任意常数. 注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验. (5)所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为 y   1 ln x x y  . 1 x

由于积分得通解为 y y 代入初始条件  dx ln x x e | ln | x  ,两边乘以 ln x 得 ( y ln ) x   x ln x . dx C  , x x   ln x ln 2 ln x C ln x y   可得 1   x e . C  ,所求特解为 1 2 y  x ln 2  1 2ln . x 四、(本题满分 9 分) 对椭圆方程进行微分,有 xdx 2 a  ydy 2 b  0    dy dx 2 b x 2 a y . 过曲线上已知点 0 ( x y 的切线方程为 ) , 0 y  y 0  ( k x  x 0 ) ,当 y x 存在时, 0( ) k y x 0( ) . 所以点 ( , x y 处的切线方程为 ) Y y    2 b x 2 a y ( X x  ) ,化简得到 xX 2 a  yY 2 b 1  . 分别令 0X  与 Y  ,得切线在 ,x y 上的截距分别为 0 2 ,a x 2 b y ；又由椭圆的面积计算公式 ab ,其中 ,a b 为半长轴和半短轴,故所求面积为 S  1 2 2 a x  2 b y  1 4  , ab x  (0, ) a . ,a b 为常数,欲使得 S 的最小,则应使得 xy 最大；从而问题化为求 u xy ( y 由椭圆方程所确定)当 (0, ) a x 时的最大值点. 令 u  , xy u   xy    ,得 0 y y   y x ,再对 2 2 x a  2 2 y b  两边求导得 1 x 2 a  y y b 2   ,联 0 合可得 x  a 2 (唯一驻点),即在此点u xy 取得最大, S 取得最小值. 由于 lim ( ) S x x  0   lim ( ) S x a x   0   ,所以 ( )S x 在 (0, )a 上存在最小值, x  a 2 必为最小点,所求 P 点为    a 2 , b 2    .

五、(本题满分 9 分) 证明不等式的一般方法是将表达式移到不等号的一边,令其为 ( ) f x ,另一边剩下 0,再在给定区间内讨论 ( ) f x 的单调性即可证明原不等式. 令 ( ) f x  arctan x   ,则  ( ) f x  1 x  2 1 x  2 1  1 2 x  0 ( x  0) .因此, ( ) f x 在 (0, ) 上单调减；又有 lim arctan ,所以 x x    2  lim ( ) lim ( f x 2 x x   lim ( ) 0 x  f x   1 x   1 x  ,所以原不等式得证.  ) 2 lim x    , 0 故 0 x   时, ( ) f x 六、(本题满分 9 分) 方法 1： f ( 1 x )  1 x 1  ln 1  t t dt ,由换元积分 t  1 u , dt  1 2  u du , :1t   :1u 1 x x ；所以 f ( 1 x )  1 x 1  ln 1  t t dt t 1  u  由区间相同的积分式的可加性,有 x  1 ln ( u u u  1) du . ( ) f x  f ( 1 x ) = x  1 ln 1  t t dt  x  1 ln t ( 1) t t  dt  x  1 t ln t dt  1 ln 2 2 x . 方法 2：令 ( ) F x  ( ) f x  f ( 1 x ) ,则  ( ) F x  ln 1  x x  由牛顿-莱布尼兹公式,有 1ln x 1 x  1  1  2 x  x ln x . ( ) F x  F (1) x ln x dx  0 ,故 ( ) F x  ( ) f x 1  1 而 F (1)  1   f  x ( 七、(本题满分 9 分) 先求得切线方程：对抛物线方程求导数,得 2 x , ln x ) 1 x x dx 1 2  1 ln 2 2 x .  ln y 1 y O 1 2 3 x

y   2 1 x  2 ,过曲线上已知点 0 ( x y 的切线方程 ) , 0 为 y  y 0  ( k x  x 0 ) ,当 '( y x 存在时, ) 0 k  '( y x ) 0 . x 所以点 0 ( , x  处的切线方程为 0 2) y  x 0   2 1 x 0  2 2 ( x  x 0 ) , 此切线过点 (1,0) P ,所以把点 (1,0) P 代入切线方程得 0 x  ,再 0 3 x  代入抛物线方程得 3 1 y  , 0 y (3)  1 2 3 2   1 2 . 由此,与抛物线相切于 (3,1) 斜率为 1 2 的切线方程为 x 2 y 1  . 旋转体是由曲线 y  ( ), f x 直线 2 y x  与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所 1 形成的,求旋转体体积V ：方法 1：曲线表成 y 是 x 的函数,V 是两个旋转体的体积之差,套用已有公式得 V    x 2  1) dx  3   2 ( x  2) 2 dx 1 3 1( 4 1 1  4 3   ( x  1) 33 1  (  1 2 2 x  2 ) x 3 2   6 . 方法 2：曲线表成 x 是 y 的函数,并作水平分割,相应于 ,y y dy 小横条的体积微元,如上  图所示, dV    2 y  ( y 2  2)  (2 y  1) dy ,   1 2   0 3 ( y  2 y 2  ) y dy   2   1 4 4 y  2 3 3 y  1 2 y 2 1   0    6 . 于是,旋转体体积 V 八、(本题满分 9 分) 所给方程为常系数二阶线性非齐次方程,特征方程 2 r 4 r r   的根为 1 4 0 r 2   ,原方 2 程右端 ax e x e 中的 a .

当 a   时,可设非齐次方程的特解 2 Y Ae ax ,代入方程可得 A  1  ( a , 2 2) 当 a   时,可设非齐次方程的特解 2 Y  2 x Ae ax ,代入方程可得 A  , 1 2 所以通解为 y  ( c 1  ) c x e 2  2 x  e  ax 2) 2 ( a ( a   2) , y  ( c 1  ) c x e 2  2 x  x 2  2 x e 2 ( a   2) .

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