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2016年浙江省中国计量大学高等代数考研真题.doc
2016 年浙江省中国计量大学高等代数考研真题
一、填空题（本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）
[ ],
( )
P x p x
1. 设 ( )
f x
___________，则称 ( )p x 是 (
f x 的 k 重因式.
)
是数域 P 上的不可约多项式，k 为非负整数.如果 ( ) |
kp x
( )
f x 且
2.设
a
11
a
21
a
31
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
a
33
0
a
则 11
a
21
a
2,
31
0
a
12
a
a
22
32
0
a
13
a
a
23
33
1
1
1
1
＝__________.
3.齐次线性方程组
4.
n nA x
b
1
b
2
b
3
a
1
a
2
a
3
有非零解的充分必要条件是__________.
0
c
1
c
2
c
3
a
1
a
a
2
2
a
3
2
+
b b
1
2
b
2
2
b
3
c
1
c
2
c
2
2
c
3
.
5. 设 A 为 n 阶方阵, *A 为其伴随矩阵,
|
A ，则
|
1
3
1
4
A
1
*
15
A
.
6. 已知二次型
t =
.
(
,
f x x x
3
,
1
2
) 5
2
x
1
2
5
x
2
2
tx
3
2
x x
1 2
6
x x
1 3
6
x x
2 3
的秩为 2，则参数
7. 当 x
，矩阵
A
0 0
x
1 0
1 2
1
x
0
3
可对角化.
8. 设
{ }n
i 是欧氏空间V 的一个标准正交基，
i
1
___________.
W L
2,
(
,
1
,
),m
其中
m n 则W ＝
,
二、选择题（本题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分）
1.设 A 为 n 阶方阵, *A 为其伴随矩阵，则 *kA ［
］.
（A） |
nk A
|;
（C）
1
n
n
|
k A
|
;
（B） |
k A
| ;n
（D） 1 |
A
k
n
n
|
.
］.
2.下列命题正确的是［
（A）若 A 是 n 阶方阵，且 A O ，则 A 可逆;
（B）若 ,A B 都是 n 阶可逆方阵，则 A B 也可逆；
（C）若 A 是不可逆方阵，则必有 A O ；
（D）若 A 是 n 阶方阵，则 A 可逆当且仅当 A 的转置矩阵可逆.
2
,
, m
k
2
2
3.设 1
均为 n 维向量，那么下列结论正确的是［
,
（A）若 1 1
k
k
m m
0,
（B）若对任意一组不全为 0 的数 1
,
, m
线性相关；
则 1
,
k ，都有 1 1
2
,
2
, m
k
k
2
2
,
k k
］.
k
m m
0,
则
, m
,
线性无关；
,
,
（C）若 1
1
,
2
线性相关，则对任意一组不全为 0 的数 1
k
1 1
2
, m
；
0
k
k
2
2
k
（D）如果当 1
m m
k
k
2
0
m
时， 1 1
2
k
k
2
k
m m
0
，则 1
线性
, m
,
,
2
,
k k
,
k ，都有
, m
2
无关.
4.设三阶方阵
A
1
a a
1
a
a
1
a a
，且 (
R A 则 a ［
2,
)
］.
（A）1； （B） 0.5 ； （C） 1 ；
（D） 0.5
5.
,A B 是 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是[
].
（A）存在 n 阶可逆方阵 Q，使得 TQ AQ B ;
（B） A B与 的行列式的值相同；
（C）存在 n 阶可逆方阵 ,P Q ，使得 PAQ B ；
（D） ,A B 的特征值相同.
6. n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵的充分必要条件是[
（A）所有 k 级子式为正 1,2,
k
,
（C） 1A 为正定矩阵；
（D） (
)
R A
.
n
].
；（B） A 的所有特征值非负；
n
7.构成 3R 的子空间
V
{( ,
, )
x y z
R
3
|
z
x
的一个基的向量组是[
].
(A)
1
(C) 1
(1,1,0),
(1,0,1),
2
2
(0,1,0),
3
(0,1,1)
(0,0,1)
;(B) 1
2
(1,1,2)
;
;(D)
1
(1, 1,0),
2
( 2,2,0),
3
(0,1,1).
}
y
( 1, 1, 1),
三、解答题（本题共 7 小题，满分 90 分，解答应写出文字说明、验算步骤）
1.（10 分）计算行列式
nD
2
2
3
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
n
2
2
.
A
1
1
1
1
1
1
1
1 ,
1
2.（11 分）设矩阵
求矩阵 .X
矩阵 X 满足 *
A X
A
1 2 ,
X
*A 是 A 的伴随矩阵，
3.（13 分）取何值时，线性方程组
3
x
1
x
1
x
1
x
2
x
2
x
2
x
3
x
3
x
3
2
2
无解、有唯一解、无穷多解？在有无穷多解时，求其通解.
4 ．（ 15 分 ） 设 三 维 线 性 空 间 V 上 的 线 性 变 换 在 基 1
, 下 的 矩 阵 为
,
2
3
A
a
11
a
21
a
31
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
a
33
.求
（1）在基 3
（2）在基 1
, 下的矩阵;
,
2
1
3
2
2
,
,
下的矩阵.
A
2 0 0
3
1 1
2
2 0
5.（14 分）判断矩阵
为对角阵.
是否可对角化？若可以，试求变换矩阵 P ，使 1P AP
6.（13 分）设向量 1
1
0
3
0
,
2
4
1
3
1
,
3
1
0
2
1
,
4
2
0
1
5
成的子空间，求子空间W 的维数和一组基。
7. （14 分）已知向量组
，W 为向量 1
所生
2
4
,
3
,
,
的秩分别为 (
)
R A
,
证明：向量组 1
2
的秩为 4.
5
4
B
4
,
,
,
1
2
3
;
C
5
:
,
,
,
1
2
3
;
A
3
(
R C
,
,
1
2
) 3,
)
:
4.
:
(
R B
,
,
3
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