Nakagami-m 信道信道 Nakagami-m 分布是日本学者Nakagami 在1960年的一篇论文中提出的快衰落模型。 Nakagami-m 的表达式 的表达式 我们遵照参考文献[1]的说法1 ，假设接收信号表示如下： rn=gnsn+wn r_n = g_ns_n+w_nrn​=gn​sn​+wn​ 其中rnr_nrn​表示接收信号，gng_ngn​表示信道增益，sns_nsn​表示发射信号，wnw_nwn​是白噪声干扰。这个公式中我们默认 rnr_nrn​和sns_nsn​是电压或者电流信号，这样如果利用香农公式求解信道容量时我们需要转变成信噪功率比。 而 Nakagami-m 描述得就是gng_ngn​的变化情况。我们知道信号经过路径损耗之后，由于信道短时间内的变化还会发生快衰 落，即gng_ngn​在某一值附近随机抽样。Nakagami-m 分布就是对这一“随机性”的描述。 Nakagami-m 分布的概率密度函数表示如下： f(g)=2mm⋅g2m−1Γ(g)⋅Ω⋅exp⁡−mg2Ω,g≥0,m>0f(g)=\frac{2m^m\cdot g^{2m-1}}{\Gamma(g)\cdot \Omega}\cdot \exp ^{- \frac{mg^2}{\Omega}}, g\geq 0, m>0f(g)=Γ(g)⋅Ω2mm⋅g2m−1​⋅exp−Ωmg2​,g≥0,m>0 其中Γ(g)\Gamma(g)Γ(g)表示伽马函数，Ω\OmegaΩ表示ggg的归一化方差的逆。但是在参考文献[1]中表示信道增益平方的期 望，即Ω=E[∣g∣2]\Omega =\mathbb{E}[|g|^2]Ω=E[∣g∣2] 1 ，参考文献[2]中表示为平均发射功率 2。Nakagami 原论文说的“归一化方差的逆”我不理 解，而后两种说法应该是相同的。之前提到的gng_ngn​是电压或者电流的增益，平方一下就是功率的增益。我们一般仿真也是直接按照功率来设置的，比如XXdBm。 参数mmm表示衰落的程度，值越大衰落越严重。m=0.5m=0.5m=0.5时是单边高斯分布，m=1m=1m=1时是瑞利分布，m=∞m=\inftym=∞时是随机信道。 伽马分布 伽马分布 更进一步，当gng_ngn​满足Nakagami-m分布时，∣gn∣2|g_n|^2∣gn​∣2满足伽马分布。也就是说我们在仿真时没必要对 gng_ngn​抽样，直接对∣gn∣2|g_n|^2∣gn​∣2抽样再乘以发射功率就可以了。 下面我们用随机变量函数的概率分布推导这个结论。 设随机变量X∼Nakagami−m，Y=X2X\sim {\rm Nakagami}-m，Y=X^2X∼Nakagami−m，Y=X2，那么随机变量YYY的分布函 数有 FY(y)=P(Y0f_Y(y)=\frac{m^m \cdot y^{m-1}}{\Gamma (m)\cdot \Omega}\cdot \exp ^{- \frac{my}{\Omega}},y\geq 0, m>0fY​(y)=Γ(m)⋅Ωmm⋅ym−1​⋅exp−Ωmy​,y≥0,m>0 这个形式便是伽马分布。 ​fX​(x)dx​ Python的相关包 的相关包 Nakagami-m的Python包可以用scipy.stats.nakagami，文档页面的密度函数公式中取的Ω=1\Omega = 1Ω=1。 伽马分布可以用numpy.random.gamma，文档的公式中Ω=1\Omega = 1Ω=1，另一个参数θ=Ω/k\theta =\Omega /kθ=Ω/k，kkk也就是本文中的mmm。 可以看到kθ=Ωk \theta=\Omegakθ=Ω，即伽马分布的均值为形状参数kkk和尺度参数θ\thetaθ的乘积，伽马分布的方差为 kθ\sqrt k \thetak​θ。一些图像 S. A. Dianat, “SNR Estimation in Nakagami Fading Channels with Arbitrary Constellation,” 2007 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing – ICASSP ’07, Honolulu, HI, 2007, pp. II-325-II-328.IEEE链接 ↩︎ ↩︎ 曾孝平,毛海伟,杨凡,简鑫,李诗琪,蒋欣,方伟.Nakagami-m衰落信道下D2D通信自适应调制算法研究[J].通信学 报,2018,39(09):31-42.知网链接 ↩︎ ​ 

作者：M1ddle