2019年福建闽南师范大学高等代数考研真题.doc

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2019 年福建闽南师范大学高等代数考研真题一、选择题（每小题 5 分，本题有 4 小题共 20 分） 1、设 )( xf  )( xF ， K 是包含数域 F 的数域，则以下命题正确的是( )。 (A)若 )(xf 在 F 上不可约，则 )(xf 在 K 上也不可约； (B)若 )(xf 在 K 上可约，则 )(xf 在 F 上也可约； (C)若 )(xf 在 F 上有重因式，则 )(xf 在 K 上必也有重根； (D)若 )(xf 在 K 上不可约，则 )(xf 在 F 上也不可约。 2、 nP 中的一个向量组的极大线性无关组( )。 )。 (A) 个数唯一； (B) 个数不唯一； (C) 所含向量个数唯一； (D) 所含向量个数不唯一。 3、设 A，B皆为正定矩阵，则以下命题正确的是( (A) AB，A+B一定都是正定矩阵； (B) A+B是正定阵，AB未必正定； (C) AB是正定矩阵，A+B不是正定矩阵； (D) AB必不是正定阵，A+B必是正定阵。 4、设实对称矩阵 A 的秩等于 r，其正惯性指数等于 m，则它的符号差为( (A) r； (B) m－r； (C) 2m－r； (D) r－m。二、填空题（每小题 5 分，本题有 4 小题共 20 分） )。 1 、设 )( xf  4 x  2 x  5 ， )( xg  2 x  2 x )( xF 。如果 )(xf 除以 )(xg ，则商式 )(xq ，余式 )(xr 。 2、设 A 、 B 皆为方阵，C = A 0    0 B    , 则 Cadj = 。 3、已知线性方程组有唯一解，则b 应满足的条件是。 4、设相似， A 的特征值为 2，3，4，5，则 B E 4  。  ,A B M F  4 2 1 bx x x    3 2 1 4 2 2 x x x     1 2 3 4 4 2 x x x     1 2 3      

三、（本题 10 分）计算 n 阶行列式 a a n   a m a  2 1 a  1   a a 1     a m 2 D n a m n  2 n 四、（本题 15 分）求线性方程组的通解        2 - + =0 - x x x x 4 1 3 - + -3 =1 x x x x 2 3 4 1 2 -2 6 =-1 4 x x x x   4 2 1 3 3 -5 +7 =-1 3 x x x x  4 3 2 1 五、（本题 15 分）设二次型 1 ( , f x x x 3 , 2 ) 3  x x 1 2  2 x x 1 3  2 x x 2 3 , (1) 用正交变换化二次型为标准型；（11 分） (2)设 A 为上述二次型的矩阵，求 A 5。（4 分）六、（本题 20 分）   1    2    3    4 给定 4P 的两组基） 0,1,2,1   （ 1,1,1,1   （） 1,1,2,1  （） 1,0,1,1  （）和）    （ 1    （  2    （  3    （  4 1,0,1,2 2,2,1,0 ） 2,1,1,2 2,1,3,1 ），） (1) 求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵；（12 分） (2)求向量（ 0,0,0,1 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标。（8 分））

七、（本题 20 分）设 A，B 是线性变换,A 2 =A，B 2 =B. 证明: (1) 如果(A+ B) 2 = A+ B，那么 A B=0；（10 分） (2) 如果 A B= B A，那么(A+ B-A B) 2 = A+ B-A B。（10 分）八、（本题 10 分）求复系数矩阵 A  0 2 1   0 2 0   1- 2- 2-       的若当标准形。九、（本题 20 分）设 A 、 B 为 n 阶正交矩阵， n 为奇数，证明 ( BABA )(   )  0 。

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