2006年湖南高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2006 年湖南高考理科数学真题及答案一、选择题:本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 函数 y  log 2  x 2 的定义域是 A． ,3(  ) B． ,3[  ) C． ,4(  ) D． ,4[  ) 2. 若数列 }{ na 满足: 1 a ( a 1  a 2    a n ) , 且对任意正整数 nm, 都有 a  nm a m  a n , 则 1 3  lim n  1 2 A． B． 2 3 C． 3 2 D． 2 3. 过平行六面体 ABCD  行的直线共有 A．4 条 DCBA 1 1 1 1 任意两条棱的中点作直线, 其中与平面 DBB 平 1D 1 B．6 条 C．8 条 D．12 条 4. “ 1a ”是“函数 )( xf |  ax  | 在区间 ,1[  上为增函数”的 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 已知 | a |2|  b ,0|  且关于 x 的方程 x 2  | baxa  | 0 有实根, 则 a 与 b 的夹角的取值范围是 A． ,0[  ] 6 B．  [  ] 3 , C． 2, [  ] 3 3 D．  [  ] 6 , 6. 某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过 2 个, 则该外商不同的投资方案有 A． 16 种 B．36 种 C．42 种 D．60 种 7. 过双曲线 xM : 2  2 2 y b  1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l , 若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于点 CB, , 且 | | | AB  BC | , 则双曲线 M 的离心率是 A． 10 B． 5 C． 10 3 D． 5 2 8. 设函数 )( xf  , 集合 )( xfxM |{   },0 P  |{ fx  )( x  }0 , 若 PM  , ax  1 x  则实数 a 的取值范围是

A． (  )1, B． )1,0( C． ,1(  ) D． ,1[  ) 9. 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图 1, 则图中三角形(正四面体的截面)的面积是图 1 A． 2 2 B． 3 2 C． 2 D． 3 10. 若圆 2 x  2 y  4 x  4 y  10  0 上至少有三个不同的点到直线 l : ax  by  0 的距离为 22 [  ] ， 4 12 A． ,则直线l 的倾斜角的取值范围是 B． [ 5  ] ， 12 12 C． [  ] ， 36 D． 0[  ] ， 2 注意事项：请用 0.5 毫米黑色的签字笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分(第 15 小题每空 2 分)，共 20 分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 11. 若 5)1ax（的展开式中 3x 的系数是 80 , 则实数 a 的值是__________. 12. 已知 x x 2      1  01 y  2 x  y 0 则 2 x  的最小值是_____________. y 2 13. 曲线 y 1 和 x ___________. y  在它们的交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积是 2x 14. 若 )( xf  a sin( x   ) 4  b sin( x   )( 4 ab  )0 是偶函数, 则有序实数对 ),( ba 可以是__________.(注: 写出你认为正确的一组数字即可) 15. 如图 2, OM // AB , 点 P 在由射线OM , 线段OB 及 AB 的延长线围成的区域内 ( 不含边界 ) 运动 , 且 OP  OAx  OBy , 则 x 的取值范围是 __________; 当 1x 2 时, y 的取值范围是__________.

P B M O 图 2 A 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16. （本小题满分 12 分）如图 3, D 是直角 ABC 斜边 BC 上一点, AB  AD ,记  CAD  ,  ABC   . (Ⅰ)证明: sin   cos 2   0 ; (Ⅱ)若 AC 3 DC ,求的值. A B D C 图 3 17. （本小题满分 12 分）某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查(简称安检), 若安检不合格, 则必须整改. 若整改后经复查仍不合格, 则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且每家煤矿整改前合格的概率是 5.0 , 整改后安检合格的概率是 8.0 , 计算(结果精确到 01.0 (Ⅰ) 恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ) 平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅲ) 至少关闭一家煤矿的概率 . ); 18. （本小题满分 14 分）如图 4, 已知两个正四棱锥 P  ABCD 与 Q  ABCD 的高分别为 1 和 2, 4AB (Ⅰ) 证明: PQ 平面 ABCD ; (Ⅱ) 求异面直线 AQ与所成的角; PQ (Ⅲ) 求点 P 到平面QAD 的距离.

P D A B C Q 图 4 19．（本小题满分 14 分）已知函数 )( xf  x sin x , 数列 }{ na 满足: 0  a 1  1 , ,3,2,1n 证明 (Ⅰ) 0  a n 1   a n  1 ; (Ⅱ) a  1 n 1 6 a 3 n . 20．（本小题满分 14 分）对 1 个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为: 污物质量 1 物体质量（含污物））为 8.0 , 要求清洗完后的清洁度为 99.0 . 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响 , 其质量变为 a 1(  a )3 . 设用 x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是 x 8.0  1 x  ( x  a )1 , 用 y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是 y y   ac a , 其中 c 8.0(  c )99.0 是该物体初次清洗后的清洁度. (Ⅰ)分别求出方案甲以及 95.0c 时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙, 当 a 为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论 a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响. 21．（本小题满分 14 分）已知椭圆 2 xC : 4 1 2  y 3  1 , 抛物线 C 2 (: my  ) 2  2 ( ppx  )0 , 且 1,CC 2 的公共弦 AB 过椭圆 1C 的右焦点 .

(Ⅰ) 当 AB  轴时x , 求 pm, 的值, 并判断抛物线 2C 的焦点是否在直线 AB 上; (Ⅱ) 是否存在 pm, 的值, 使抛物线 2C 的焦点恰在直线 AB 上? 若存在, 求出符合条件的 pm, 的值; 若不存在, 请说明理由 . 2006 年湖南高考理科数学真题参考答案 1—10 DADAB DACCB 1. 2 2. 5 3. 3 4 4. (1, 1) 15. (  ， 1 3 , 2 2 ,0) ( ) 1．函数 y  log 2  x 2 2x  ≥ 0 ，解得 x≥4，选 D. 2 ．数列 }{ na 满足 : , 且对任意正整数 nm, 都有 a  nm a m  a n a 2 a  1 1  a a  1 n  a n ，∴数列 }{ na 是首项为 1 3 ，公比 log 的定义域是 2 1 3  ， 1   n 1 a 1 9 a a  1 1 a 1 3 1 2 为 1 的等比数列。 3 lim n  ( a 1  a 2    a n )  a 1  q 1  ，选 A. 3．如图，过平行六面体 ABCD  DCBA 1 1 1 1 任意两条棱的中点作直线, 其中与平面 DBB 平行的直线共有 12 条，选 D. 1D 1 4．若“ 1a ”，则函数 )( xf |  ax  | =| x  在区间 1| ,1[  上为增 ) D 1 D C 1 B 1 C B A 1 A 函数；而若 )( xf |  ax  | 在区间 ,1[  上为增函数，则 0≤a≤1，所以“ 1a ”是“函数 ) )( xf |  ax  | 在区间 ,1[  上为增函数”的充分不必要条件，选 A. ) 5． | a |2|  b ,0|  且关于 x 的方程 x 2    向量 ,a b 的夹角为θ，cosθ=   a b    ≤ | | | a b  |  2 |  a  a | baxa 1 | 4 1 2 1 2  | | 2 | ，∴θ∈  [  ] 3 , ，选 B. 有实根，则 2 | |  a   a b  4  ≥ 0 ，设 0 6．某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过 2 个，则有两种情况，一是在两个城市分别投资 1 个项目、2 个项目，此时有 1 2 C A 3 4  种 36 方案，二是在三个城市各投资 1 个项目，有 3 A  种方案，共计有 60 种方案，选 D. 4 24

7．过双曲线 xM : 2  2 2 y b  1 的左顶点 A (1，0)作斜率为 1 的直线 l ：y=x－1, 若l 与双曲线 M 的两条渐近线 2 x  2 2 y b  分别相交于点 1 ( , B x y C x y ), 0 ( , 1 2 ) 2 , 联立方程组代入消元得 2 ( b  1) x 2  2 x 1 0   ，∴ x 2    x  1     x x  1 2 1 2 b  1 b  2  1 2 ，x1+x2=2x1x2，又 | | | AB  BC | ,则 B 为 AC 中点，2x1=1+x2，代入解得      x 1 x 2  1 4 1   2 ，∴ b2=9，双曲线 M 的离心率 e= c a  10 ，选 A. 8．设函数 )( xf  ax  1 x  , 集合 M x f x { | ( ) 0}   ，若 a>1 时，M={x| 10，∴ a>1 时，P=R，a<1 时，P= ；已知 9．棱长为 2 的正四面体 ABCD 的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图为△ABF，则图中 AB=2，E 为 AB 中点，则 EF⊥DC， PM  ,所以选 C. 在△DCE 中，DE=EC= 3 ，DC=2，∴EF= 2 ，∴三角形 ABF 的面积是 2 ，选 C. 10．圆 2 x  2 y  4 x  4 y  10  0 整理为 ( x  2 2)  ( y  2 2)  (3 2) 2 ， ∴圆心坐标为(2，2)，半径为 3 2 ，要求圆上至少有三个不同的点到直线 l : ax  by  0 的距离为 22 ，则圆心到直线的距离应小于等于 2 ， 2 | | 2 a b  2 2 a b  ≤ 2 ， ∴ ( a b 2 )  4( a b ) 1  ≤ 0 ， ∴ 2   3 ， k   ，∴ 2 (  3 ≤ k ≤ 2  3 ，直线l 的倾 C y B ∴ 2   3 ≤ ≤ ( a b ) 斜角的取值范围是 )a b [ 5  ] ，，选 B. 12 12 二．填空题： 11． 2 12．5 13． 3 4 14． (1, 1) 15． (  ， 1 3 , 2 2 ,0) ( 11． 5)1ax（的展开式中 3x 的系数 3 5 ( C ax ) 3 ( 1) 10   2 3 3 a x = 80 x3，则实数 a 的 A O x )

值是－2. 12．已知      小值是 5. x x 2 1  01 y  2 x  y 0 ，如图画出可行域，得交点 A(1，2)，B(3，4)，则 2 x  的最 y 2 y  在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是 y=－x+2 和 y=2x 2x 13．曲线 y 1 和 x －1，它们与 x 轴所围成的三角形的面积是 3 4 . 14 ( ) f x  a sin( x  ．  ) 4 ab ≠ 0 ，  b sin( x   ) 4  a ( 2 2 sin x  2 2 cos ) x  b ( 2 2 sin x  2 2 cos ) x 是偶函数，只要 a+b=0 即可，可以取 a=1，b=－1. 15．如图, OM // AB , 点 P 在由射线 OM , 线段 OB 及 AB 的延长线围成的区域内 (不含边界)运动, 且 OP  OAx  OBy ，由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以 OB 和 OA 的反向延长线为两邻边，∴ x 的取值范围是(－∞， 0)；时，要使 P 点落在指定区域内，即 P 点应落在 DE 上，当 1x 2 3 2 OB，CE= CD= 1 2 OB，∴ y 的取值范围是( 1 2 ， 3 2 ). 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分 12 分）如图 3,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD, 记∠CAD=,∠ABC=. (1)．证明 sin   cos 2  0  ; （2）．若 AC= 3 DC,求的值. 解：(1)．如图 3，     2  (    2 ) 2     ,  2 A α β B D 图 3 C sin   sin(2    ) 2   cos 2  ，

即sin   cos 2   ． 0 （2）．在 ABC 中，由正弦定理得 DC sin   AC )    sin( ,  DC sin   3 DC sin  .  sin   3 sin  由(1)得sin    cos 2  ，  sin    3 cos 2    3(1 2sin  2 ),  即 2 3 sin 2   sin   3  0. 解得 sin   3 2 或 sin    3 3 ．  0      , 2 sin   3 2 ,     . 3 17.（本小题满分 12 分）某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是 0.5, 整改后安检合格的概率是 0.8,计算(结果精确到 0.01): (Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率. 解：（Ⅰ）．每家煤矿必须整改的概率是 1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是  CP 1 2 5  )5.01( 2 3  5.0  5 16  31.0 . （Ⅱ）．由题设，必须整改的煤矿数服从二项分布 B(5,0.5).从而的数学期望是 E＝5 0.5 2.5  ，即平均有 2.50 家煤矿必须整改.  (Ⅲ)．某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤，从而该煤矿不被关闭的概率是 0.9. 矿被关闭的概率是  1.0 P 2 )5.01(  )8.01( 由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是 P 3 9.01 5  41.0 18. （本小题满分 14 分）如图 4,已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高分别为 1 和 2,AB=4. (Ⅰ)证明 PQ⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 AQ 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求点 P 到平面 QAD 的距离.

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