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2006年湖南高考文科数学真题及答案.doc
2006 年湖南高考文科数学真题及答案
本试题卷他选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分. 选择题部分 1 至 2 页. 非
选择题部分 3 至 5 页. 时量 120 分钟. 满分 150 分.
参考公式:
如果事件 A 、 B 互斥，那么 (
P A B
)
)
(
P A
(
P B
)
如果事件 A 、 B 相互独立，那么
(
ABP
)
(
(
BPAP
)
)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的
概率是 ( )
P k
n
k
C P
k
n
(1
n k
)
P
4
3
3
R
球的体积公式
V
,球的表面积公式
S
R
4
2
，其中 R 表示球的半径
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．函数
y
log
2
x
的定义域是
A．(0,1］
a
2．已知向量
B. (0,+∞)
C. (1,+∞)
),
bt
,2(
),2,1(
若
t 时， a ∥b
1t
；
t 时，
2t
D. ［1,+∞)
，则
a
b
A．
t
1
,4 2
t
1
C.
t
1
,4 2
t
1
B.
t
1
,4 2
t
1
D.
t
1
,4 2
t
1
3. 若
(
ax
5)1
的展开式中 3x 的系数是 80，则实数 a的值是
A．-2
B.
22
C. 3 4
D. 2
4．过半径为 12 的球 O表面上一点 A作球 O的截面，若 OA与该截面所成的角是 60°则该截
面的面积是
A．π
B. 2π
C.
3π
D.
32
5．“a=1”是“函数
)(
xf
ax
在区间［1，＋∞）上为增函数”的
A．充分不必要条件
C. 充要条件
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
6．在数字 1,2，3 与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列
个数是
A．6
B. 12
C. 18
D. 24
7．圆
2
x
2
y
4
x
4
y
10
0
上的点到直线
x
y
14
0
的最大距离与最小距离的差是
A．36
B. 18
C.
26
D.
25
8．设点 P是函数
)(
xf
sin
x
的图象 C的一个对称中心，若点 P到图象 C的对称轴上的距离
的最小值
4
，则 )(xf 的最小正周期是
A．2π
B. π
C.
2
D.
4
9．过双曲线 M：
2
x
2
2
y
h
1
的左顶点 A作斜率为 1 的直线 l,若 l与双曲线 M的两条渐近线
分别相交于点 B、C，且
AB ，则双曲线 M的离心率是
BC
A．
5
2
B.
10
3
C.
5
D.
10
10. 如图 1：OM∥AB，点 P 由射线 OM、线段 OB及 AB
的 延 长 线 围 成 的 阴 影 区 域 内 （ 不 含 边 界 ） . 且
OP
OAx
OBy
，则实数对（x,y）可以是
A．
C.
)
1(
4
1(
4
3,
4
3,
4
B.
D.
2(
3
1(
5
)
2,
3
7,
5
)
)
B
M
O
图 1
A
二．填空题：本大题共 5 小题，每小题４分，共 20 分，把答案填在答题上部 对应题
号的横上.
11. 若数列 na 满足：
12. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有 40 人，乙班 50 人. 现分析两个班的
一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是 90 分，乙班的平均成绩是 81 分，则该校数学建模兴
趣班的平均成绩是
，2，3….则
2
.
na
n
分.
na
a
1
a
1
,1
2
n
1
1
a
a
.
13. 已知
x
x
2
1
01
y
2
x
y
0
则
2
x 的最小值是
y
2
.
14. 过三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1 平行的直线共有
条.
15. 若
)(
xf
a
sin(
x
4
3)
sin(
x
)
4
是偶函数，则 a=
.
三．解答题：本大题共６小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分１２分）
已知
sin3
)2
sin(
2
cos(
)
cos
,1
,0(
),
求θ的值.
17.（本小题满分１２分）
某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不合格，则必须
整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且
每家煤矿整改前安检合格的概率是 0.5，整改后安检合格的概率是 0.8，计算(结果精确到
0.01)：
(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率；
(Ⅱ)某煤矿不被关闭的概率；
(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.
18.（本小题满分１4 分）
如图 2，已知两个正四棱锥 P-ABCD与
Q-ABCD的高都是 2，AB=4.
(Ⅰ)证明 PQ⊥平面 ABCD；
(Ⅱ)求异面直线 AQ与 PB所成的角；
(Ⅲ)求点 P到平面 QAD的距离.
19.（本小题满分 14 分）
已知函数
)(
xf
ax
3
2
3
x
31
a
.
A
P
D
Q
图 2
C
B
（Ｉ）讨论函数 )(xf 的单调性；
（Ⅱ）若曲线
)(xf
y
求实数 a的取值范围.
上两点 A、B处的切线都与 y轴垂直，且线段 AB与 x轴有公共点，
20.（本小题满分 14 分）
在 m（m≥2）个不同数的排列 P1P2…Pn中，若 1≤i＜j≤m时 Pi＞Pj（即前面某数大于后
面某数），则称 Pi 与 Pj 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记
排列
.
的逆序数为 an，如排列 21 的逆序数 1
1 a ，排列 321 的逆序数
)1
()1
nn
3 a
321
6
(
n
（Ⅰ）求 a4、a5，并写出 an的表达式；
（Ⅱ）令
b
n
a
a
n
n
1
1
，证明
a
n
a
n
2
n
b
1
b
2
b
n
2
n
3
，n=1,2,….
21.（本小题满分 14 分）
2
y
3
已知椭圆 C1：
2
x
4
1
，抛物线 C2：
(
my
)
2
2
(
ppx
)0
，且 C1、C2 的公共弦 AB过
椭圆 C1 的右焦点.
x
（Ⅰ）当
AB 轴时，求 p、m的值，并判断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB上；
4p 且抛物线 C2 的焦点在直线 AB上，求 m的值及直线 AB的方程.
（Ⅱ）若
3
2006 年湖南高考文科数学真题参考答案
1－10：DCDAABCBCDC
11.
2 n
1
12. 85
13. 5
14. 6
15. -3 .
16. 解 由已知条件得
sin3
cos
2
cos
cos
1
.
即
sin3
sin2
2
0
.
解得
sin
3
2
或
sin
0
.
由 0＜θ＜π知
sin
3
2
，从而
或
3
2
3
.
17. 解 （Ⅰ）每家煤矿必须整改的概率是 1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所
以恰好有两家煤矿必须整改的概率是
CP
1
2
5
)5.01(
2
3
5.0
5
16
31.0
.
（Ⅱ）解法一 某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，
所以该煤矿被关闭的概率是
P
2
)5.01(
)8.01(
1.0
，从而煤矿不被关闭的概率是 0.90.
解法二 某煤矿不被关闭包括两种情况：（i）该煤矿第一次安检合格；（ii）该煤矿第
一次安检不合格，但整改后合格.
所以该煤矿不被关闭的概率是
P
2
8.0)5.01(5.0
90.0
.
(Ⅲ)由题设（Ⅱ）可知，每家煤矿不被关闭的概率是 0.9，且每家煤矿是否被关闭是相
互独立的，所以到少关闭一家煤矿的概率是
P
3
9.01
5
41.0
.
18. 解法一 （Ⅰ）连结 AC、BD，设
AC
BD
O
.
由 P－ABCD与 Q－ABCD都是正四棱锥，所以 PO⊥平面 ABCD，QO⊥平面 ABCD.
从而 P、O、Q三点在一条直线上，所以 PQ⊥平面 ABCD.
（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以 AC⊥BD.
由（Ⅰ），QO⊥平面 ABCD. 故可分别以直线 CA、DB、QP为 x轴、y轴、z轴建立空间直
角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是 P（0，0，2），A（ 22 ，0，0），Q
（0，0，－2），B（0， 22 ，0）.
所以
AQ
)2,0,22(
PB
)2,22,0(
于是
cos
AQ
,
PB
AQ
AQ
PB
PB
4
3232
1
3
.
从而异面直线 AQ与 PB所成的角是
arccos .
1
3
(Ⅲ)由（Ⅱ），点 D的坐标是（0，－ 22 ，0），
B
C
y
z
P
O
Q
，
D
A
x
AD
)0,22,22(
PQ
)4,0,0(
，设
n
,(
),
zyx
是平面 QAD的一个法向量，由
AQn
ADn
0
0
得
x
2
z
x
0
y
0
.
取 x=1，得
n
,1,1(
)2
.
所以点 P到平面 QAD的距离
d
PQ
n
n
22
.
解法二 （Ⅰ）取 AD的中点，连结 PM，QM.
因为 P－ABCD与 Q－ABCD都是正四棱锥，
所以 AD⊥PM，AD⊥QM. 从而 AD⊥平面 PQM.
又 PQ 平面 PQM，所以 PQ⊥AD.
同理 PQ⊥AB，所以 PQ⊥平面 ABCD.
O
（Ⅱ）连结 AC、BD设
BD
AC
从而 P、A、Q、C四点共面.
因为 OA＝OC，OP＝OQ，所以 PAQC为平行四边形，AQ∥
PC.
从而∠BPC（或其补角）是异面直线 AQ与 PB所成的角.
因为
PB
PC
2
OC
OP
2
)22(
2
2
2
32
，
A
，由 PQ⊥平面 ABCD及正四棱锥的性质可知 O在 PQ上，
P
D
M
O
B
C
所以
cos
BPC
＝
PB
2
＋
2
PC
PB
2
PC
2
BC
16
12
32322
12
1
3
.
Q
从而异面直线 AQ与 PB所成的角是
arccos .
1
3
(Ⅲ)连结 OM，则
OM
1
2
AB
2
1
2
PQ
.
所以∠PMQ＝90°，即 PM⊥MQ.
由（Ⅰ）知 AD⊥PM，所以 PM⊥平面 QAD. 从而 PM 的长是点 P到平面 QAD的距离.
在直角△PMO中，
PM
2
PO
OM
2
2
2
2
2
22
.
即点 P到平面 QAD的距离是 22
.
19. 解 （Ⅰ）由题设知
a
,0
f
)(
x
3
ax
2
6
x
(3
xax
)2
a
.
令
f
)(
x
0
得
x
1
,0
x
2
2
a
.
当（i）a>0 时，
若
(x
)0,
，则
f
x
)(
0
，所以 )(xf 在区间
(
上是增函数；
)2,
a
，则
f
x
)(
0
，所以 )(xf 在区间
上是减函数；
)
，则
f
x
)(
0
，所以 )(xf 在区间
)
上是增函数；
)2,0(
a
,2(
a
若
x
若
x
)2,0(
a
,2(
a
（i i）当 a＜0 时，
若
x
(
)2,
a
，则
f
x
)(
0
，所以 )(xf 在区间
(
上是减函数；
)2,
a
上是减函数；
)2,0(
a
)0,2(
a
,0( 上是减函数.
上是增函数；
)
)(xf
31)0(
a
f
0
.
)2(
a
a
)4
0
.
上的两点 A、B的纵坐标为函数的极值，
，
f
)2(
a
4
2
a
13
a
.
若
x
若
x
)2,0(
a
)0,2(
a
,0(
，则
f
x
)(
0
，所以 )(xf 在区间
，则
f
x
)(
0
，所以 )(xf 在区间
x
若
（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线
，则
，所以 )(xf 在区间
x
)(
0
)
f
y
且函数
y
)(xf
在
x
,0
x
2
a
处分别是取得极值
因为线段 AB 与 x 轴有公共点，所以
f
)0(
f
即
(
4
2
a
)(1
)31)(13
a
a
)4
)(3
a
a
0
.所以
(
a
)(1
)(3
a
2
a
(
a
a
,0
且
故
0
解得 －1≤a＜0 或 3≤a≤4.
即所求实数 a的取值范围是[-1，0)∪[3，4].
20. 解 （Ⅰ）由已知得
，
.
a
4
15
,10 5
a
)1
(
nn
2
.
an
n
(
n
)1
12
（Ⅱ）因为
b
n
a
a
n
n
1
1
a
n
a
n
n
n
2
n
2
2
n
n
2
n
2
n
,2
n
,2,1
，
n
.
所以
b
1
b
2
又因为
bn
2
n
2
n
b
2
n
n
n
n
所以
b
1
b
2
b
n
2
n
2
2
n
1[(2
1
2
n
1
3
)
,2,1
，
1
4
)
1(
n
1
n
)]
2
=
2
n
3
2
1
n
,3
n
n
n
2
n
3
.
.
综上，
2
n
b
1
b
2
b
n
2
,
n
2
1(
2
2
2
,2,1
21. 解 （Ⅰ）当 AB⊥x轴时，点 A、B关于 x轴对称，所以 m＝0，直线 AB的方程为
x=1，从而点 A的坐标为（1，
3 ）或（1，－
2
3 ）.
2
因为点 A在抛物线上，所以
9 ，即
4
p2
9p
8
.
此时 C2 的焦点坐标为（
9 ，0），该焦点不在直线 AB上.
16
（Ⅱ）解法一 当 C2 的焦点在 AB时，由（Ⅰ）知直线 AB的斜率存在，设直线 AB
的方程为
y
(
xk
)1
.
由
y
2
x
4
(
xk
2
y
3
)1
1
消去 y得
43(
k
2
2
)
x
8
2
xk
4
k
2
12
0
.
……①
设 A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
则 x1,x2 是方程①的两根，x1＋x2＝
2
8
k
43
2
k
.
因为 AB 既是过 C1 的右焦点的弦，又是过 C2 的焦点的弦，
所以
AB
12(
2
x
1
)
12(
2
x
2
)
14
2
(
x
1
x
2
)
，且
AB
(
x
1
p
2
)
)
x
1
x
2
p
x
1
x
2
4
3
.
2
(
x
p
2
14
2
4
3
16
9
从而
x
1
x
2
(
x
1
x
2
)
.
所以
x
1
x
2
，即
2
8
k
43
k
2
16
9
.
y
B
O
A
x
解得
2
k
,6
即
k
6
.
因为 C2 的焦点
F
2( m
,
3
)
在直线
y
(
xk
)1
上，所以
m
1
3
k
.
即
当
当
m
6
3
6m
3
或
m
6
3
.
时，直线 AB的方程为
y
(6
x
)1
；
6m
3
时，直线 AB的方程为
y
(6
x
)1
.
解法二 当 C2 的焦点在 AB时，由（Ⅰ）知直线 AB的斜率存在，设直线 AB的方程
为
y
my
)
2
(
xk
)1
由
(
y
8
3
(
xk
)1
.
x
消去 y得
(
kx
mk
)
2
8
3
x
.
因为 C2 的焦点
F
2( m
,
3
)
在直线
y
(
xk
)1
上，
所以
km
2(
3
)1
，即
m
1
3
k
.代入①有
(
kx
2
k
3
2
)
8
3
x
.
即
2
xk
2
4
3
2
(
k
)2
x
2
4
k
9
0
.
设 A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
)2
则 x1,x2 是方程②的两根，x1＋x2＝
(4
.
2
k
2
3
k
……①
……②
由
y
2
x
4
(
xk
2
y
3
)1
1
消去 y得
43(
k
2
2
)
x
8
2
xk
4
k
2
12
0
.
……③
由于 x1,x2 也是方程③的两根，所以 x1＋x2＝
2
8
k
43
2
k
.
从而
(4
2
k
2
3
k
)2
＝
因为 C2 的焦点
F
2
8
k
43
k
2( m
,
3
. 解得
2
k
,6
即
k
6
.
2
)
在直线
y
(
xk
)1
上，所以
m
1
3
k
.
即
当
当
m
6
3
6m
3
或
m
6
3
.
时，直线 AB的方程为
y
(6
x
)1
；
6m
3
时，直线 AB的方程为
y
(6
x
)1
.
解法三 设 A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
因为 AB 既过 C1 的右焦点
)0,1(F ，又是过 C2 的焦点
F
所以
AB
(
x
1
p
2
)
(
x
2
p
2
)
x
1
x
2
p
12(
2
x
1
)
即
x
1
x
2
2
3
4(
p
)
16
9
.
)
2( m
,
3
12(
2
，
x
2
)
.
……①
3
m
，
……②
由（Ⅰ）知
x ，于是直线 AB的斜率
1
x
2
k
y
x
2
2
1
y
x
1
0
1
m
2
3
且直线 AB的方程是
y
(3
xm
所以
y
1
y
2
(3
xm
1
x
2
)2
)1
,
2
m
3
.
又因为
3
3
2
x
1
2
x
2
4
4
y
y
2
1
2
2
12
12
，所以
(3
x
1
x
2
(4)
y
y
2
)
1
y
x
2
2
1
y
x
1
0
.
将①、②、③代入④得
2 m
2
3
，即
m
6
3
或
m
6
3
.
当
当
6m
3
时，直线 AB的方程为
y
(6
x
)1
；
6m
3
时，直线 AB的方程为
y
(6
x
)1
.
……③
……④
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