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2017年云南昆明理工大学高等代数考研真题A卷.doc

发布时间：2022-09-16 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.17M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    2017 年云南昆明理工大学高等代数考研真题 A 卷 一、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 当 ,a b 满足 时， ( x  2 1) | 4 ax 2  bx  1. 2. 设 A 是3 阶方阵，且| | 5A  ，则 * A     1 10 A     1 = 。 3. 设 1 ,   线性无关， 则 1       1  线性   , , , 2 3 3 3 2 2  4. 设方阵 A 满足 3 A 5. 当 t 满 足 2 , tx 3 2 tx 1 tx    2 2 ) 2 , ( f x x x 3 1 A 2 3  A  2 E O  ，则 ( ) E A   1 =  4 x x 1 2  4 x x 1 3  4 x x 2 3 是正定的。 。 。 时 ， 二 次 型 6. 设向量空间 V   | x Ax  0, x R   ,n 其中 A 是 m n 实矩阵，且 A 的秩为 r ，则 向量空间V 的维数是 。 7. 已 知 向 量 k  。 8. 已知矩阵 A 1   k    1       是 矩 阵 A       2 1 1 1 2 1 1 1 2      的 逆 矩 阵 1A 的 特 征 向 量 ， 则       1 1 b   1 b a   1 1 1  与矩阵 B       0 0 0 0 1 0 0 0 4      相似，则 a  和 b  。 9. 设矩阵 A       1 2 t t 1 2 0 4   0 ,    则t 满足 时，矩阵 A 为度量矩阵。 10. 已知 2 2R  的子空间 W L A A 2  ( , 1 ), A 其中 1     1 1 0 0    , A 2     0 1 1 1    , 则W  的 一组标准正交基为 。 二、计算题（共 90 分） 1. （15 分）计算 n 阶行列式
    n 0 0  0  . n 1 1 n n 1 1 1 0  0 0 3 0 2   0 0 2 1  2  0 0  0 0  2  n        2. （15 分）当取何值时，下列线性方程组 1      2    x   1  x   1   x  1 x  2 x  2 x  2 x 3 x 3 x 3 有解？ 并求其通解。 3. （20 分）求一个正交变换, 将二次型 ( , f x x x 3 , 1 2 )  T x Ax  2 x 1  2 2 x 2  2 2 x 3  4 x x 1 2  4 x x 1 3  8 x x 2 3 化成标准形。 4. (20 分) 已知3 维向量空间的两组基为 (I)  1   3  (I I)  1   2   3   2 1     1 ,     1   1     2 ,     1         1   0 ,   1   2     3 ,     4   1     0 ;     1   3     4 .     3   (1) 求由基 (I) 到基 (I I) 的过渡矩阵C ； (2) 求在两组基下坐标互为相反数的向量 . 5. （20 分）设 1 2 3 ,   是欧氏空间V 的一组标准正交基，T 是V 的线性变换。已知 , T (          1 3 2 , 3 T T 2       ) ( ) , 3 ( 1 2 2 1 2 ) 2      1 3   2 . (1) 证明T 是一个对称变换； (2) 求V 的一组标准正交基，使T 在这组基下的矩阵为对角矩阵。 三、证明题 （共 30 分） 1. （ 15 分 ） 设 1V 与 2V 分 别 是 齐 次 方 程 组 1 x  x 2    x n  与 0 x 1  x 2    x 1n   的解空间。证明： x n nP   。 V 2 V 1 2. （15 分）已知 2 2P  的线性变换为
    A( X )  及子空间 M X X  M (   X 2 2 P M ,     1 1 1 1  )    W x 2 x 4 (1) 证明：W 是 A 的不变子空间； (2) 将 A 看成W 上的线性变换，求W 的一组基，使 A 在该基下的矩阵为对角矩阵。         x 1 x 3         0, x | x  P . i  x 3  2
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