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2020-2021年山东省青岛市胶州市高一数学下学期期中试卷及答案.doc
2020-2021 年山东省青岛市胶州市高一数学下学期期中试
卷及答案
一、单项选择题：本大题共 8 小题．每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．
sin
π
12
cos
π
12
的值为（
）
A．
3
2
B．
6
2
2．四边形 ABCD 为矩形，对角线长为4 ，若
A． 0
B． 6
3．已知 i 为虚数单位，下列与i 相等的是（
A．
C．
4．已知
1
i
1 i
1 i
(2, 1),
A
AB
,A B C 三点共线
(1, 5)
(1,4),
B
A．
C． ,
AB a AD b BD c
,
C．
6
4
,
C．8
D．
3
4
|
a b c
D．10
（
，则|
）
）
B． (1 i)(1 i)
D． 2
i
i
i
3
4
i
i
2021
C
(sin
3π
2
,cos
5π
3
)
，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（
）
,A O C 三点共线
B． ,
3
OA OB
OC
D．
(sin ,sin ),
B n
(cos
A
,cos
A
m
且 m
与 n
B
)
5．已知角 ,
,A B C 是 ABC
共线，则可以判断 ABC
A．等腰三角形
的内角，向量
的形状为（
）
B．等腰直角三角形 C．直角三角形
D．等边三角形
6．已知复数
z
1
2
(
m
1)
(
m
2
2
m
3)i
， 2
z m
3i
，其中i 为虚数单位，
Rm ，
若 1z 为纯虚数，则下列说法正确的是（
）
A．
m
1
B．复数 2z 在复平面内对应的点在第一象限
C． 2
z
| 2
|
D． 2
|
z
1
|
|
z
2
2
|
7．如图所示，为测量山高 MN ，选择 A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从 A 点测得 M
，从 C 点测得
，C 点的仰角
MAC
MAN
CAB
点的仰角
以及
30
75
60
，若山高
MCA
60
A．300 米
100 2
BC
B．360 米
米，则山高 MN 等于（
）
8．设
a
1
2
cos 4
3
2
）
是（
A． c b
a
sin 4 ,
b
2 tan12
2
1 tan 12
,
c
C． 240 米
1 sin 40
2
D．320 米
,
则 ,
,a b c 大小关系正确的
B． a b c
C． a
c b
D．b c
a
二、多项选择题：本大题共 4 小题．每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分．
9．关于一组样本数据的平均数、中位数、频率分布直方图和方差，下列说法正确的是（
）
A．改变其中一个数据，平均数和中位数都会发生改变
B．频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等
C．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则平均数小于中位数
D．样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小
a b
),
m b
a b
，且| 2
10．已知平面向量 ( 3,
，则（
(1,
3)
a
）
|
|
|
A．
m
C． a
与b
3
夹角的大小为
5π
6
B．
D．|
3 3
m
a b
|
|
或 3
b
a
|
|
|
11．在 ABC
中，角 ,
,A B C 的对边分别是 ,
,a b c ， 2
b
2
c
bc a
2
， 8,
a
b
2 13
．则
下列说法正确的是（
）
A． ABC
为锐角三角形
B． ABC
面积为 4 3 或12 3
C． AB 长度为6
12．下列说法正确的是（
sin
2sin
x
A．在 ABC
y
B．将函数
中，
）
A sin
B
是 BC AC
的图象向右平移
个单位长度得到函数
D． ABC
外接圆的面积为
52π
3
的充要条件
y
sin(2
x
的图象
)
π
3
C．存在实数 x ，使得等式
sin
x
cos
D．在 ABC
中，若 2
sin
A
sin
2
B
sin
，则 ABC
是钝角三角形
π
6
x
成立
3
2
2
C
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．某人任意统计 5 次上班步行到单位所花的时间（单位：分钟）分别为8 ,12 ,10 ,11 ,9 ．则
这组数据的标准差为
．
14．函数 sin
y
x
3 cos
x
在区间[0, π] 上的值域为
15．在 ABC
中, 已知
AB
3,
AC
2,
BC
10
16．右图为某校1000 名高一学生的体育测试
成绩的频率分布直方图，如果要按照分
层抽样方式抽取 200 名学生进行分析，
则要抽取的[80,90) 之间的学生人数是
；估计这1000 名学生的体育测
0.04
0.03
0.02
试平均成绩为
．
（本小题第一空 2 分，第二空 3 分）
0.005
．
，则 AB BC
．
频率/组距
50
60
70
80
90
100
成绩
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分 10 分）
某蔬菜基地准备对现有地铺管道设施加装智能控制水泵系统，对大棚蔬菜进行自动控
制根部滴灌，可以大大节省人力和资金，地铺管道在达到满水最大压状态后，水泵自动停
机，管道可以自动连续进行滴注工作至最小工作压，然后水泵会重新开启，不同性能的管
道系统根据最小工作压需要配置与之压力性能相对应的水泵系统，不同品种的蔬菜由于需
要的滴注速度和强度不同，可以选择配备不同性能的管道系统和水泵系统．为充分了解基
地内既有管道系统的总体情况，现随机抽取不同蔬菜棚内的若干条管道进行满水测试，对
这些管道的最小工作压数据（单位：千帕）分组为[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),[12,14) ，将
其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组， ，第五组．下图是根据实验数据制
成的频率分布直方图，已知 2
R
3b
a ， ,
a b ．
（1）求 ,a b 的值；
（2）已知最小工作压在10 以上的管道系统都需要分别配备 2 台大功率水泵，若第一组与
第二组共有 200 条管道，求该基地需要配备的大功率水泵的台数 n ．
频率/组距
b
a
0.08
0.04
18．（本题满分 12 分）
已知向量
a
(cos 2 , 2),
4
6
8
10
12
14
最小工作压（千帕）
b
(1,
sin
2
)
，
m a b
2
，在复平面坐标系中，i 为虚
数单位，复数 1
i
mz
1 i
对应的点为 1Z ．
（1）求 1
|
|z ；
|
z
（2） Z 为曲线
π
6
2 | 1
z
1
，求 a
（3）若
( 1z 为 1z 的共轭复数)上的动点，求 Z 与 1Z 之间的最小距离；
在b
上的投影向量 n
．
19．（本题满分 12 分）
已知函数
( )
f x
2
2sin (
x
)
3 sin(
5π
6
2 )(
x x
．
R)
π
12
x
（1）将函数 ( )
f x 化为 sin(
A
)
形式，求 ( )
f x 的最小正周期T 和单调递增区间；
k
（2）若为 ABC
的内角， (
f 恰为 ( )
f x 的最大值，求；
)
（3）若
tan(
π
6
)
，求 ( )
f ．
2
20．（本题满分 12 分）
在 ABC
中， ,
,a b c 分别为角 ,
,A B C 的对边， 2 cos
a
c
B
，
sin
B ．
2
3
（1）求 cos A ；
（2）若 2 5
a
， P 为CA 延长线上一点，连接 PB ， BP BC
，求 PBC
的面积．
21．（本题满分 12 分）
在 ABC
中， ,M N 为 ABC
所在平面内的两点，
AB
3,
AC
2 2,
BAC
，
π
4
MC
1
BC
3
（1）以 AB
，
NA NC
和 AC
0
．
作为一组基底表示 NM
，并求|
( ,
CD xAB y AC x y
|NM
；
（2） D 为直线 MN 上一点，设
R)
，若直线CD 经过 ABC
的
垂心，求 ,x y ．
22．（本题满分 12 分）
在平面直角坐标系中，已知
( ,
A t
2
t
),
B
(8
m
,8
3
2
m C
),
(7
m
,0)
， ,
t m
R,
t
．
0
（1）若 1,
m
t
， P 为 x 轴上的一动点，点 (1, 2)
A ．
4
（ⅰ）当 ,
A P B
（ⅱ）求|
|
PA
,
三点共线时，求点 P 的坐标 ；
|
PB
， (0, π)
的最小值；
，且CA
与CB
的夹角
|
（2）若 sin
t
π[0,
2
)
，求 m 的取值范围．
答案
一、单项选择题：本大题共 8 小题．每小题 5 分，共 40 分．
1--8：B C D B
A C A D
二、多项选择题：本大题共 4 小题．每小题 5 分，共 20 分．
9．BCD；
10．AC；
11．BD；
12．ABD．
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 2 ；
14．[
3,2]
；
15．
15
；
2
16．（1） 40 ，（2） 73 ．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
解：（1）根据分布列的特点，有(
a
0.08
b
0.08 0.04) 2 1
························ 3 分
2
b
3
因为
a ，所以 0.18
b
····························································5 分
（2）第一组和第二组的频率为 (0.12 0.08) 2 0.4
········································· 6 分
a
， 0.12
200
0.4
所以，管道总条数为
500
条··································································· 7 分
所以最小工作压在10 以上的管道系统有500 (0.08 0.04) 2 120
所以该基地需要配备的大功率水泵的台数 120 2
条·················· 9 分
································ 10 分
n
240
|
2
2
2
|
2
所以
2
sin
sin
2
)
cos
2sin
2sin
cos 2
解：（1）
(3 i)(1 i)
3 3i
i 1
2
18. （本小题满分 12 分）
2
sin
cos
(3 i)
(1 i)(1 i)
···················································································4 分
··························································································· 5 分
(cos 2 , 2) (1,
2
1
······································································· 1 分
2 1 2 3
············································································2 分
a b
m a b
3 i
z
所以 1
1 i
|1 2i |
z
所以 1
（2） 1 1 2i
z
曲线|
2 | 1
z
z
z
圆心，半径为1的圆·········································· 6 分
因此曲线是复平面内以 0(2, 4)
Z
(2 1)
故 0Z 与 1Z 之间的距离为
········································7 分
所以 Z 与 1Z 之间的最小距离为 37 1 ·····························································8 分
················································· 9 分
··············3 分
2 4i
2
(2 4i) | 1
，所以
(2 ( 4))
，即|
（3）因为
1 2i
，
37
2
2
(
, 2),
(1,
a
b
5
π
6
， a
a b
1
此时
与b
1
2
与b
方向相同的单位向量为
所以 a
在b
上的投影向量 (|
|
cos
e
的夹角余弦为
4
b
|
7
1
b
| cos )
e
|
a
n
(1,
1
)
4
a b
||
a b
1
4
16
(
17
,
8
17
|
····································· 10 分
)
··········································· 11 分
4
17
)
······································ 12 分
19．（本小题满分 12 分）
解：（1）
( )
f x
2
2sin (
x
π
12
)
3 sin(
5π
6
2 )(
x x
R)
x
π
6
)
1 cos(2
2
3 sin(2
x
π
)
6
3 sin(2
x
π
) cos(2
6
x
π
) 1
6
π
6
)] 1
π
) 1
3
·······················································3 分
································································ 4 分
π
，得
π
k
π,
k
k
π](
k
x
π
5π
12
)
k Z
····································· 5 分
π
12
5π
12
2
2[
3
2
sin(2
x
π
6
x
π
6
π
6
)
x
x
cos(2
1
2
) 1 2sin(2
2π
2
2 π
k
π
12
T
π
2
π
3
[
2sin(2
所以 ( )
由
所以 ( )
f x 的最小正周期
π
2
f x 的单调递增区间为
2 π
k
2
x
（2）
(
)
f
2sin(2
) 1
π
3
π
3
π
π
3
2
5π
12
π
2
f 恰为 ( )
)
因为 0
，所以
2
π
3
5
3
π
·························································6 分
所以当
······················································································· 7 分
即当
时， (
f x 的最大值······················································· 8 分
（3）
f
( )
2sin(2
π
3
) 1
4sin(
2
sin (
)cos(
π
6
2
) cos (
π
6
)
π
6
π
6
1
)
4 tan(
2
tan (
π
)
6
π
) 1
6
1
··············································································································· 10 分
因为
tan(
π
6
)
，所以
2
f
( )
4 tan(
2
tan (
π
6
)
π
6
) 1
1
1
8
5
17
5
······················ 12 分
c
B
20．（本小题满分 12 分）
解：（1）由题意 2 cos
，根据正弦定理，可得：sin
a
B
sin cos
所以sin(
sin
)
2sin cos
C
B
C
B C
B
sin cos
即sin cos
sin
cos
，即sin cos
C
C
C
B
B
C
B
也即sin(
) 0
B C
······················································································ 2 分
，即 B C ··············································3 分
，所以
因为
cos
B
················· 5 分
0
B C
cos 2
B C
B C
············ 1 分
2sin cos
(1 2sin
cos(
C
B
cos
所以
C
A
B
A
B
0
2
1
)
)
2
4
9
1
9
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