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有限体积元法电子版.pdf

发布时间：2022-06-08 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.69M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    第1章 有限元法与差分法
    第2章 两点边值问题
    2.1 有限体积法(广义差分法)的基本思想
    2.1.1 两点边值问题的变分原理
    2.1.2 Galerkin方法
    2.1.3 广义Galerkin形式的变分原理
    2.1.4 广义差分法(有限体积(元)法)
    2.2 一次元差分格式
    2.2.1 试探函数空间和检验函数空间
    2.2.2 差分方程
    2.2.3 收敛性和收敛阶估计
    2.3 二次元差分格式
    2.4 三次元差分格式
    第3章 二阶椭圆型方程
    3.1 引言
    3.2 三角网格上的广义差分法
    3.2.1 试探函数空间和检验函数空间
    3.2.2 广义差分方程
    3.2.3 先验估计
    3.2.4 误差估计
    3.3 二次元差分格式
    3.4 三次元广义差分法
    3.5 四边形网格上的广义差分法
    3.6 H1 误差估计与L2 误差估计
    3.6.1 H1 误差估计
    3.6.2 L2 误差估计
    第4章 应用
    4.1 椭圆型方程的混合有限体积法
    4.2 求解Stokes方程的有限体积法
    4.2.1 三角形网上的非协调有限体积法
    4.2.2 矩形网上的非协调元(旋转双线性元)有限体积法
    有限体积元法
    目 录 目 录 第一章 有限元法与差分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 第二章 两点边值问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1 有限体积法(广义差分法)的基本思想. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.1 两点边值问题的变分原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.2 Galerkin方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.3 广义Galerkin形式的变分原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.4 广义差分法(有限体积(元)法). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 一次元差分格式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.1 试探函数空间和检验函数空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.2 差分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.3 收敛性和收敛阶估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 二次元差分格式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 三次元差分格式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 第三章 二阶椭圆型方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 三角网格上的广义差分法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.1 试探函数空间和检验函数空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.2 广义差分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2.3 先验估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2.4 误差估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 二次元差分格式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4 三次元广义差分法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.5 四边形网格上的广义差分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.6 H 1 误差估计与L2 误差估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.6.1 H 1 误差估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.6.2 L2 误差估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 第四章 应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.1 椭圆型方程的混合有限体积法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2 求解Stokes方程的有限体积法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2.1 三角形网上的非协调有限体积法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2.2 矩形网上的非协调元(旋转双线性元)有限体积法 . . . . . . . 70 - i -
    第一章 有限元法与差分法 我们先以下面的Poisson方程第一边值问题为例,分别简单介绍有限元 法(Finite Element Method)与差分法(Difference Method);之后再介绍广义差 分法(Generalized Difference Method),在国外它也被称为有限体积法(Finite Volume Method)或有限体积元法(Finite Volume Element Method): (1-1) (1-2) (1-3) (1-4) −∆u = f (x, y), (x, y) ∈ G, u |Γ= 0, Γ = ∂G. G 其中 G 为一多边形域, Γ = ∂G 为 G 的边界. f ∈ L2(Ω) 为已知函数. 定义双线性形式 a(u, v) = 和 ∇u · ∇vdxdy (f, v) = f vdxdy G 则Poisson方程的变分问题为: 求 u ∈ H 1 这里求得的 u 为广义解(弱解).其中 0 (G) 使得 a(u, v) = (f, v), ∀v ∈ H 1 0 (G). 0 (G) = {u | u ∈ L2(G), 广义导数Dxu, Dyu ∈ L2(G). u |Γ= 0}. H 1 它是一个无穷维空间.这里,我们选取有限维子空间 Vn ∈ H 1 得 (1-5) 0 (G),求 un ∈ Vn,使 a(un, vn) = (f, vn), ∀vn ∈ Vn. (1-6) 若 选 Vn 的 基 为 全 支 集 的 代 数 多 项 式 或 三 角 多 项 式,即 为 传 统 的Ritz-Galerkin方 法.若 取 样 条 函 数(分 片 多 项 式)作 为 Vn 的 基 函 数,即 得 有限元法(FEM). 传统Ritz-Galerkin方法有缺点: (1) 区域复杂时,基函数难以满足本质 边界条件;(2) 计算积分量大. 但是,对于有限元法,得到的系数矩阵是稀疏矩 阵,计算方便.
    第一章 有限元法与差分法 下面介绍两种有限元空间: 线性Lagrange元和二次Lagrange元.首先引入 面积坐标. 过 P 作 与 三 个 顶 点 的 联 线,把 (i, j, k) 分 成 三 个 三 角 形(如 右 图1- 1): (i, j, P ), (j, k, P ), (k, i, P ),其面积分别记 为 Sk, Si, Sj.显然 Si + Sj + Sk = S. 令 Li = , Lj = Si S Sk S 则 Li, Lj, Lk ≥ 0, Li + Lj + Lk = 1.称 (Li, Lj, Lk) 为 点 P 的面积坐标.面积坐标与坐标系无关. , Lk = Sj S , 图图图 1-1: 任意三角形单元 现在即可写出一次和二次的Lagrange型插值公式(分片多项式). 取 (1, 2, 3) 的三个顶点为插值节点(图1-2)的一次插值多项式形式如下: (1-7) 取 (1, 2, 3) 顶点及边中点为插值节点(图1-3)的二次Lagrange插值多项 p1(x, y) = L1u1 + L2u2 + L3u3, 式如下: 图图图 1-2 一次元三角单元 3 图图图 1-3 二次元三角单元 [Li(2Li − 1)ui + 4LjLku3+i], (1-8) p2(x, y) = i=1 其中 u 的下标 4, 5, 6 依次是边 23, 31, 12 的中点, Lj = Li+1, Lk = Li+2, L4 = L1, L5 = L2, L6 = L3 . 双线性形式 a(u, v) 具有如下性质: (1) 对称性 a(u, v) = a(v, u); - 2 - PSjSkSiikj132132546
    第一章 有限元法与差分法 1, ∀u ∈ H 1 (2) 正定性 a(u, u) ≥ γu2 0 ∈ (G); (3) 连续性 a(u, v) ≤ Mu1v1, ∀u, v ∈ H 1 由这些性质可得有限元误差估计: u − un 1≤ β inf v∈Vn 0 ∈ (G). u − v 1≤ β u − uI 1 (1-9) 其中 u 是变分形式的解,un 是有限元法的解,uI 是 u 在 Vn 中的插值. 差分法一般有: 直接差分法和积分插值法. (I) 四边形网格上的积分插值法 如图1-4, K∗ 1)积分,并用Green公式及边界条件(1-2)可得: 是围绕节点 P0 的对偶单元(dual element).在 K∗ P0 − ∂u ∂n ds = ∂K∗ P0 f dxdy K∗ P0 P0 上对方程(1- (1-10) 其中 n 是对偶单元边界单位外法向量. 具体差分格式可写为: 图图图 1-4 四边形网格单元及其对偶单元 −( uP1 − uP0 h1 + uP2 − uP0 h2 + = uP3 − uP0 h1 + uP4 − uP0 h1 ) f dxdy K∗ P0 其中 uP = u(P ). (II) 三角形网格积分插值法 如图1-5和1-6是围绕节点 P0 的两种对偶单元:重心对偶单元和外心对偶单 - 3 - P0(i,j)P1P2P3P4h1h2K∗P0
    第一章 有限元法与差分法 元.同样在 K∗ 对于图1-6有差分格式: P0 − 6 i=1 上对方程(1-1)积分,并用Green公式及边界条件(1-2)可得(1-10). QiQi+1 P0Pi+1 [uPi+1 − uP0] = f dxdy, K∗ P0 (1-11) 有限体积元法(Finite Volume Element Methods),又称为广义差分法.它 是积分插值法的推广. 图图图 1-5 重心对偶单元 图图图 1-6 外心对偶单元 设 Γh 是 G 的 三 角 形 剖 分, Uh 为 相 应 于 Γh 的 线 性(一 次)有 限 元 空 间.求 uh ∈ Uh,使得 − ∂uh ∂n ds = ∂K∗ P0 K∗ P0 f dxdy ∀K∗ P0. (1-12) h.用 Vh 表示相应于对偶剖 此 Uh 称为试探函数空间.作 Γh 的对偶剖分 Γ∗ 分 Γ∗ h 的分片常数函数空间,此 Vh 称为检验函数空间. 方程(1-12)两端同乘上常数 vP0 ,在对偶单元 K∗ P0 元求和得: 定 义 ˜a(uh, vh) = − K∗ P0 − ∂K∗ P0 K∗ P0 K∗ P0 ∂uh ∂n vP0ds = K∗ P0 ∂K∗ P0 ∂uh ∂n vP0ds 和 (f, vh) = - 4 - 上积分,并对所有对偶单 f vP0dxdy. K∗ P0 (1-13) f vP0dxdy 可 K∗ P0 P0P1P2P3P4P5P6Q1Q2Q3Q4Q5Q6M1M2M3M4M5M6P0P1P2P3P4P5P6Q1Q2Q3Q4Q5Q6M1M2M3M4M5M6
    得Poisson方程的有限体积法为: 求 uh ∈ Uh,使得 ˜a(uh, vh) = (f, vh), ∀vh ∈ Vh. Poisson方程的有限元法描述为: 求 uh ∈ Uh,使得 ˜a(uh, vh) = (f, vh), ∀vh ∈ Uh. 第一章 有限元法与差分法 (1-14) (1-15) 对比有限体积法和有限元法知下列事实: 有限元法中, uh, vh 属于同一有限元空间,而有限体积法中这两个不属于同 一空间. 对于有限体积法,检验空间 Vh 比较简单,积分计算更容易; 有限体积法能保持物理量的局部守恒形式; 有限体积法写成变分形式可以借用有限元理论进行收敛性分析. 稳定性(由正定性推出) γuh2 1 ≤ a(uh, uh) = (f, uh) ≤ f0uh0 ≤ f0uh1 亦即 uh1 ≤ 1 γ f0. - 5 -
    第二章 两点边值问题 2.1 有限体积法(广义差分法)的基本思想 2.1.1 两点边值问题的变分原理 b 考虑区间 I = [a, b] 上的二阶常微分方程边值问题: 问题(P1) Lu ≡ − d u(a) = 0, u(b) = 0. dx(p du dx ) + r du dx + qu = f, x ∈ (a, b), (2-1) 其中 P ∈ C 1(I), P (x) ≥ Pmin > 0, r, q, f ∈ C(I).方程(2-1)的第一式两端同乘 一个 v,再在 (a, b) 上分部积分,并利用(2-1)第二式的边界条件可得双线性形式 a(u, v) = a 并定义 (puv + ruv + quv)dx, b (2-2) (f, v) = f vdx. a 可得方程(2-1)的变分问题(P2): 求 u ∈ H 1 E(I) ,使得 a(u, v) = (f, v), ∀v ∈ H 1 E(I). (2-3) 定理 2.1 (变分原理)设 u ∈ C 1[a, b]∩ C 2(a, b) 是(P1)的解,则 u 是(P2)的 解.反之,若 u 是(P2)的解且 u ∈ C 1[a, b] ∩ C 2(a, b) ,则 u 是(P1)的解. 2.1.2 Galerkin方法 解变分问题(P2)的主要困难在于 H 1 空间近似代替无穷维空间.取有限维子空间 Uh ⊂ U = H 1 近似问题 (P2)h: 求 uh ⊂ Uh,使得 E 是无穷维空间,解决方法是用有穷维 E(I),近似代替 U ,得 a(uh, vh) = (f, vh), ∀vh ∈ Uh. (2-4)
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