1990年考研数学一真题及答案.doc-资料库

1990 年考研数学一真题及答案一、填空题（本题满分 15 分,每小题 3 分,只要求直接填写结果）（1）过点 (1,2, 1)  且与直线 M 2, 4, x t    3 y t     z t      1, 垂直的平面方程是____________．【答案】 x   3 y   ． 4 z 【解析】据题可知所求平面的法向量为 ( 1,3, 1)  ,并且过点 (1,2, 1) M  ．所以平面方程为  (    1) 3( x y  2)  ( z 0 1)   , 化简得（2）设 a 为非零常数,则极限 lim  x x   3 y x x a     x a    ． 4 z =____________．【答案】 2ae 【解析】 lim x  （3）设函数【答案】1 x x a     x a        ( ) f x  lim 1+ x     2 a x a     x a  2 a  2 a a   2 a e ． 1, 0, x x   1, 1, 则 [ f ( )] f x =____________．【解析】 ( ) f x  1, f [ ( )] 1 f x  ． 2  0 1  2 2 dy y 的值等于____________． d x 4 e 2 x    e 1 2 （4）积分【答案】【解析】 2 2  0 d x  x 2  y e d y  2  0 d y y  0 2  y e d x  2  0 2  y ye d y   2  y e 1 2 2 0   1 2  4 e  1 2 ．（5）已知向量组 1   (1,2,3,4)   , 2 (2,3,4,5)   , 3 (3,4,5,6)   , 4 (4,5,6,7) ,则该向量组的秩是____________．【答案】2

【解析】   1    2   3    4              1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7              1 2 3 4 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0       ．二、选择题（本题满分 15 分,每小题 3 分）（1）设   f x 是连续函数,且 ( ) F x xe  f   x ( )d t t ,则 ( )F x 等于（A）  x  e  x ( f e )  ( ) f x （B）  x  e  x ( f e )  ( ) f x （C）  x e ( f e x   ) ( ) f x （D）  x e ( f e x   ) ( ) f x [ ] 【答案】[ ] 【解析】对积分 A 两边关于 x 求导得 ( ) F x xe    x f ( )d t t ,  ( ) F x   x ( e f e  x )  ( ) f x ．（2）已知函数 ( ) f x 具有任意阶导数,且  ( ) f x   ( ) f x 2 ,则当 n 为大于 2 的正整数时, ( ) f x 的 n 阶导数 ( nf )( ) x 是（A） ![ n f x ( )]n 1  （B） [ n f x ( )]n 1  （C） [ 2 ( )] n f x （D） ![ n f x 2 ( )] n [ ] 【答案】[ 【解析】 A ] 2  ( )] ( ) [ f x f x    ( ) ( ) 2 ( ) f f x f x x   2 ( )] ( ) 3 2[ x f x f    ( ) x    n n ( ) n ( 1)![ f 2 2 ( )[ f x   ( ) 3![ f x  ( )] f x  4 ( )] f x 2[ ( )] f x 3 n ( )] f x 1   ( ) f x  ![ n f x n ( )] 1   ( ) f x  ![ n f x n ( )] +1 （3）设为常数,则级数   n 1  n  2     sin n 1 n    （A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与的取值有关 ] [ 【答案】[ 【解析】 C ]

  n 1  [ sin( ) n  2 n  1 n ]    n 1  sin( ) n  2 n   1  , n 1  n 其中   n 1  sin( ) n  2 n 绝对收敛,   发散． 1 n n 1  可知   n 1  [ sin( ) n  2 n  1 n ] 发散．（4）已知 ( ) f x 在 0x  的某个领域内连续,且 (0) f 0  , lim 0 x  ( ) f x 1 cos  x  2 ,则在点 0x  处 ( ) f x （A）不可导（B）可导,且 (0) f   0 （C）取得极大值（D）取得极小值 [ ] 【答案】[ 【解析】 D ] lim 0 x  ( ) f x 1 cos  x 可知 ( ) f x 和 x 是等价无穷小而且 lim 0 x  f x 在 0x  处取得极小值． ( ) (0) ( ) f x x f 0   x  2 ．  2lim 0  x  f (0)  ．进一步可知 0  f (0) 1 0   ,  lim 0 x  ( ) f x 1 2 x 2  lim ( ) f x 0 x  ( ) f x x x    f 0 0 (0) （5）已知 2 ,  是非齐次线性方程组 AX b 的两个不同的解, 1 2 ,  是对应齐次线性方程 2 组 AX  的基础解系,$k1,k2$为任意常数,则方程组 AX b 的通解（一般解）必是 0   1 2   1 2  2  2 （A） k    1 1 2   k ( 2 1 )  （C） k  1 1  k 2 (   1 2  )  【答案】[ 【解析】 B ] （B） k    1 1 2   k ( 2 1 )  （D） k  1 1  k 2 (   1 2  )    1 2   1 2  2  2 [ ]

 A k      1 1 2   k ( 2 1 )    1 2  2 A   1 2    A  2 )    2 A  1 (  k A 2 b b  2  k A 1  1  0+0+  b 三．（本题满分 15 分,每小题 5 分）（1）求 1  0 【答案】【解析】 ln(1  (2 x  ) d . x x 2 ) 1  0 ln(1  (2 x  )d x x ) 2  ln 2 1  0 ln(1  (2 x  ) x 2 ) d x     )  ln 2 ln(1 x  2 x  1 3 1 3 ln 2 1 ln 2 3  1 0 1  0     1  (2 0 1  x 2  x  1 d x ) x x   d   x ln(2  ) x 1 0  ln(1  ) x 1 0 1 )(1 1  1 3 （2）设 z  f (2 x  , y ysinx ) ,其中 ( , ) f u v 具有连续的二阶偏导数,求 2 .z  x y   2 z  x y   【答案】【解析】 2    f 11  (2sin x  y  cos ) x f 12  f  2 cos x  yf  22 sin cos x x z  y     f 1  f  2 sin x 2 z  x y   2    f 11   yf 12 cos x  2 f  21 sin x  f  2 cos x  yf  22 sin cos x x 2    f 11  (2sin x  y  cos ) x f 12  f  2 cos x  yf  22 sin cos . x x （3）求微分方程  y  4  y  4 y  x 2 e 的通解（一般解）．【答案】 y  1 2  2 x 2 x e  C xe 1  2 x  C e 2  2 x  C 3 ,其中 1C , 2C 和 3C 为任意常数．

【解析】直接判断,这个方程的解为 y  x ( ) p x e 型．直接令 ( )= p x ax 2  bx  ,进而有 c x  y y y 2      ( ax  2 ( ax  2 ( ax  bx  2 ) c e  bx  bx  x  ) c e ) c e   x  x  (2 ) ax b e  2 (2 ) ax b e    x   2 ae x  带入方程得解得 2,     1 ,  a  2 通解为 2      2 2 ( ax    4[ (     4( ax   2 ax 2  a bx  bx ) 2 (2 c    (2 ) bx c   ) 1 c   ) 2 ax b   )] ax b  ,b c 为任意常数．即 ( )= p x 21 x 2  bx  ,其中 ,b c 为任意常数．所以方程的 c 1 2 其中 1C , 2C 和 3C 为任意常数．  y 四．（本题满分 6 分）  2 x 2 x e  C xe 1  2 x  C e 2  2 x  C 3 , 求幂级数   n (2 n  0 1) n x 的收敛域,并求其和函数．【答案】 ( 1,1)  ,   n (2 n  0 1) n x  1  (1  x ) x 2 ( 1    x 1) 【解析】直接计算可得   lim x  R  1   ． 1 可知幂级数的收敛半径 1   a n a n lim x  2 n 2 n   3 1  1 , 对于 1x  ,级数   n (2 n  0 1) 发散；对于 x   ,级数 1   n  0 n ( 1) (2  n  1) 条件收敛．幂级数   n (2 n  0 1) n x 的收敛域为 ( 1,1)  ．对级数做处理   n (2 n  0 n 1) x    n  0 ( n  1) x n    , nx n n  0

其中所以   n  0   n 1  ( n  1) x n  n n x  x    1 1 1     x    1   x     1 x  2 ) (1 ( 1 x    1) , x ) x  2 (1 ( 1    x 1), 1) n x  1  (1  x ) x 2 ( 1    x 1) ．   n (2 n  0 五．（本题满分 8 分）求曲面积分 I   S 分．【答案】 I   ． 4 d d yz z x  2d d , x y 其中 S是球面 2 x  2 y  2 z  外侧在 0z  的部 4 【解析】令 V为球面 S和 2 1 : S x 2 y  ,在 0z  上围成的上半球体,由高斯-斯托克斯公 4 式可得    x  y      z  r r r 其中而可知 d z V  V 2  2    /2 0  /2   d  0 4  3 r cos sin d d   r d d yz z x  2d d x y   S S  1       sin cos , 0 sin sin , 0  2 cos ,       2 r 2    2     S 1 d d yz z x  2d d x y  2 x  2  y d d yz z x   4 2d d x y  8  ． I      ．   4 8 4 六．（本题满分 7 分）设不恒为常数的函数 ( ) f x 在闭区间 [ , ]a b 上连续 , 在开区间 ( , )a b 内可导 , 且 ( ) f a  ( ) f b f  ．证明在 ( , )a b 内至少存在一点,使得 ( )  0. 【解析】假使对所有的 ( , ) a b x 都有 ( ) 0 f x  ,则 f 在 [ , ]a b 上单调递减,所以必定有 ( ) f a  ( ) f b ,又因为 f 不是常数函数,所以必有 ( ) f a  ( ) f b 与 ( ) f a  ( ) f b 矛盾．

七．（本题满分 6 分）       设四阶矩阵 B  1 0 0 0 1  1 0 0 0 1  1 0 0   0   1   1  , C        2 1 3 4 0 2 1 3 0 0 2 1 0 0 0 2       , 且矩阵 A 满足关系式   1  )  ( A E C B C E 将上述关系式化简并求矩阵 A ． ,  其中 E 为四阶单矩阵, 1C  表示 C 的逆矩阵, C 表示 C 的转置矩阵, 【解析】由 ( A E C B C E  得 ,  )  1   ( ) A E B C C     1   ( A C B    )  E , 进而有  ) A C B    (  则 1 ．  C B           1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 1             1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0 4 3 2 1        ) A C B    (  1  1   2   1   1 2  1       ． 1 2 1  八．（本题满分 8 分）求一个正交变换化二次型 f  2 x 1  4 2 x 2  4 2 x 3  4 x x 1 2  4 x x 1 3  8 x x 2 3 成标准形．【答案】 f 2 y 其中 y  x 1  2 x 2  ． x 3 2 【解析】直接因式分解得 f   2 x 1 ( x 1   2 4 x 2 2 x 2   2 4 x  3 2 2 ) x 3 4 x x 1 2  4 x x 1 3  8 x x 2 3 令 y  x 1  2 x 2  2 x 3 ,则 f 2 y ．九．（本题满分 8 分）质点 P 沿着以 AB 为直径的圆周,从点 (1,2) A 运动到点 (3,4) B  的过程中受变力 F 的大小等于点 P与原点 O之间的距离,其方向垂直于线段 OP且与 y 轴正向的夹角小于  ．求变力 F  2 对质点 P所作的功．【答案】 2( 1)

 【解析】记曲线为 L,根据变力 F 沿着曲线做功的公式可知,  其中 F P Q   i  j ．根据对 F 的大小的描述可知 W   L d d P x Q y  ,  F  2 x  2 y ,再根据其方向的描述 F (   , ) y x ．于是 W    AB  d y x  d x y  2d d x y  D    BA d y x  d x y  2(   1) 其中 D 是曲线 L 和直线 BA 围成的平面图形．十、填空题（本题满分 6 分,每小题 2 分,只要求直接填写结果）（1）已知随机变量 X 的概率密度函数 ( )F x  ． ( ) f x  1 2  x e ,     ,则 X的概率分布函数 x 【答案】 ( ) F x , x e 1   2  1  ,  2  11    2    x 0 x  0 x e ,0    x 【解析】据题 X的概率分布函数转化为分段函数 ( ) f x      1 2 1 2  x e ,0    x x e ,    x 0 则 X的分布函数为 ( ) F x     ( )d f x x  , x e 1   2  1  ,  2  11    2    x 0, x  0, x e ,0 .    x （2）设随机事件 A,B及其和事件 A∪B的概率分别是 0．4,0．3 和 0．6．若 B 表示 B 的对立事件,那么积事件 AB 的概率 ( ) P AB = ．【答案】0．3 【解析】

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