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2019年湖北武汉科技大学数学分析考研真题及答案.doc
2019 年湖北武汉科技大学数学分析考研真题及答案
一、选择题(共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分)
2019
x
1、
lim
x
A. ；
sin 2019
x
=（
）.
B.0；
C. 1；
D.2019.
2、若级数
和
a
2
n
都收敛，则级数
2
b
n
（
a b
n n
n
1
n
1
n
1
A.一定绝对收敛；
C.一定发散；
B.一定条件收敛；
D.可能收敛也可能发散.
3、反函数组
x
y
( , )
x u v
( , )
y u v
的偏导数与原函数组
u
v
( ,
)
u x y
)
( ,
v x y
（
）.
）.
的偏导数之间的关系正确的是
A.
x
u
x
u
4、设
C.
u
x
u
x
:
D x
2
1
；
B.
1
；
x
u
x
u
u
x
u
x
y
u
x
v
u
y
v
x
x
v
y
2
； D.
v
x
2
， f 是 D 上的连续函数，则
1
1
.
f
(
2
x
2
y d
)
（ ）.
D
A.
C.
2
2
1
0
1
0
2
(
f r dr
)
；
rf r dr
( )
；
B.
D.
1
0
4
4
0
1
rf r dr
( )
；
2
(
f r dr
)
.
5、由分片光滑的封闭曲面 所围成立体的体积V （
A. 1
3
； B. 1
3
ydzdx
zdxdy
xdydz
xdydz
）.
ydzdx
zdxdy
；
C. 1
3
zdydz
xdzdx
ydxdy
； D. 1
3
ydydz
zdzdx
xdxdy
.
二、计算题(共 3 小题，每小题 15 分，共 45 分)
1、求极限
2、求极限
(2
1 3 5
n
2 4 6
2
n
tan )
x
x
lim
n
lim(sec
x
.
1)
.
2
xy
3、计算 (2
L
5 )
yz ds
，其中 L 是空间连接点 (1,0,1) 和点 (0,3,2) 的线段．
三、解答题(共 3 小题，每小题 15 分，共 45 分)
1、已知伽马函数
x
s
x
1
e dx
，证明：
s 有 (
s
1)
0
s
( )
s
.
0
1
( )
s
dx
2
1
x
,0
x
x
0,
0
x
.
2、求
lim
0
2
2
3、设
( )
f x
，求 ( )
f x 的傅里叶级数展开式．
四、证明题(15 分)
设
x .求证：
0
(0,1)
，使得
五、证明题(15 分)
x
0
t
e dt
x
xe
，且 lim
x
1
a
设 0
n
1
a
1
n
a
2
n
1
a
1
n
2
a
n
0
，试证方程
n
a x
0
a x
1
n
1
a x
2
n
2
在 0 与 1 之间至少存在一个实数根。
a x a
n
n
1
0
答案
一、1、 B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ；5、A
.
二、计算题(共 3 小题，每小题 15 分，共 45 分)
1、求极限
解：令
T
n
T
n
1)
.
，则
(2
1 3 5
n
lim
2
2 4 6
n
n
1 3 5
1)
(2
n
2 4 6
2
n
1 3 5
1)
(2
n
2 4 6
2
n
2 4 6
2
n
1)
3 5
(2
(2
n
n
1)
1
T
n
1
n
2
1
（10 分）
所以
0
nT
1
n
2
，由夹挤定理得
1
lim
n
(2
1 3 5
n
2 4 6
2
n
1)
0
。
2、求极限
lim(sec
x
2
x
tan )
x
.
解：原式
x
1 sin
cos
x
lim
x
2
（15 分）
（5 分）
cos
sin
x
x
lim
x
2
0
。
（15 分）
3、计算 (2
xy
5 )
yz ds
，其中 L 是空间连接点 (1,0,1) 和点 (0,3,2) 的线段．
L
解： L 的参数方程是
x
1
,
t y
3 ,
t z
1
t
(0
．
1)
t
（5 分）
ds
( )
x t
2
y ( )
t
2
( )
z t
2
dt
2
1
2
3
2
1
dt
11
dt
，
原式
1
0
(2(1
) 3
t
5 3 (1
t
t
t
)) 11
dt
23 11
2
．
（15 分）
三、解答题(共 3 小题，每小题 15 分，共 45 分)
1、已知伽马函数
( )
s
0
x
s
x
1
e dx
，证明：
s 有 (
s
1)
0
s
( )
s
.
证明：
(
1)
s
0
x
s
x e dx
s
x de
x
0
s
s
x e
x
|
0
0
x
s
x
1
e dx
s
( )
s
（15 分）
2、求
lim
0
.
1
2
2
dx
1
x
2
1
2
dx
x
0 处连续。
I(
)
1
2
解：记
(
I 在
)
，因为 2
2
,1
2
limI(
0
)
3、设
( )
f x
ln 2
I(0)
0
1
dx
1
x
,0
x
x
0,
0
x
,
1
1 x
2
都是和 x 的连续函数，所以
（10 分）
（15 分）
，求 ( )
f x 的傅里叶级数展开式．
解：将 ( )
f x 按周期延拓.则 ( )
f x 是按段光滑的，故它可以展开成傅里叶级数，由于
a
0
1
当 1n 时，
( )
f x dx
1
0
xdx
2
na
1
1
x
n
sin
1
2
n
cos
|
0
nx
( )cosnx
dx
f x
1
n
0,
n
1
0
1
sin
0
x
nxdx
cos
nxdx
1
2
n
cos
nx
|
0
2 ,
2
n
当 为奇数时，
n
当 为奇数时，
n
nb
( )sin
f x
nxdx
sin
nxdx
1
0
0
x
cos
1
n
x
cos
nx
|
0
nxdx
1
1
n
n
1
n
1
1
n
0
cos
nxdx
1
n
1
n
（10 分）
所以在开区间 (
)
,
上，
( )
f x
4
2
cos
x
sin
x
1
2
sin 2
x
2
9
cos3
x
1
3
sin 3
x
在 x 时，上式右边收敛于
(
0)
(
f
f
2
0)
0
2
．
2
（15 分）
四、证明题(15 分)
设
x .求证：
0
(0,1)
证明：由积分中值定理知，
，使得
x
0
(0,1)
t
e dt
x
xe
，且 lim
x
1
，使得
x
0
t
e dt
x
xe
.
另一方面
x
0
t
e dt
x
e
1
，于是有
xe
x
x
e
1
，由此解得
1
x
ln
xe
1
x
x
e
1
x
= lim
+
x
x
1
x
e
x
e
1
x
（10 分）
于是
lim
+
x
lim ln
x
+
1
x
lim
+
x
x
1
x
e
x
xe
x
1)
e
2
(
x
lim
+
x
e
x
e
x
1
1
x
1
（15 分）
五、证明题(15 分)
a
设 0
n
1
a
1
n
a
2
n
1
a
1
n
2
a
n
0
，试证方程
n
a x
0
a x
1
n
1
a x
2
n
2
在 0 与 1 之间至少存在一个实数根。
a x a
n
n
1
0
证明：令
( )
f x
a
0
n
1
n
1
x
a
1
n
n
x
a
2
n
1
n
1
x
a
1
n
2
2
x
a x
n
，
则 (0)
f
f
(1)
， ( )
f x
0
c
[0,1]
，且 ( )
f x 在 (0,1) 内可导，由罗尔定理知
至少存在 (0,1)
f
使得 ( )
，即
0
（10 分）
n
a
0
a
1
n
1
n
a
2
2
a
n
1
a
n
0
命题得证.
（15 分）
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