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§1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.4.1 Γ, χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.4.2 F, t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.1.3 F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.2 M SS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 2 3 3 4 8 12 12 14 15 15 16 18 19 20 21 24 26 26 28 30 33 33 33 34 36 40 40 42 42 44 1

§2.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.3.4 Basu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.4.1 F isher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.4.2 Kullback − Leibler K − L . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.1.3 Æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.2 UMRUE,UMVUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.2.2 Lehmann-Scheﬀe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.4 MEE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 47 48 49 49 58 63 63 63 64 64 66 66 68 70 75 75 80 83 84 86 88 MREE 91 §4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 §4.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 §4.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 §4.2 MREE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 §4.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 §4.2.2 MREE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 §4.2.3 Pitman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 §4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 §4.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 §4.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 §4.3.3 Pitman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 §4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 113 §4.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3 §4.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 §4.4.3 Pitman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 121 §5.1 CR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 §5.1.1 CR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 §5.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 §5.1.3 Bh Bhattacharya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 §5.1.4 CR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 §5.2 CR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 §5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 §5.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 §5.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 §5.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 §5.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 150 §6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 §6.2 Neyman-Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 §6.2.1 N-P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 §6.2.2 N-P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 §6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 §6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 §6.4.1 " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 §6.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 §6.4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 §6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 §6.5.1 . . . . . . . . 184 §6.5.2 # . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 §6.5.3 # . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 §6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 §6.6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 §6.6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 §6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 §6.7.1 $ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 §6.7.2 $ Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 §6.7.3 $ Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

4 §6.7.4 ! " . . . . . . . . . . . . . . . . 214 §6.7.5 " # . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 218 §7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 §7.2 % & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 §7.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 §7.2.2 ’ & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 §7.3 & & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 §7.3.1 & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 §7.3.2 & UMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 §7.4 Tolerance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 §7.4.1 " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 §7.4.2 # . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 §7.4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Bayes 234 §8.1 Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 §8.1.1 Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 §8.1.2 $ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 §8.2 Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 §8.2.1 Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 §8.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 §8.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 §8.3 Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 §8.3.1 Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 §8.3.2 Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

! " % " ## ( ) #% (RV ) # RV % " & # + ( ) , " X1,··· , Xn # " # iid # X1 * ) - F (x) + Fθ(x) # θ - X1 ∼ N(μ, σ2), θ = (μ, σ2) #* + P (λ) ) # X = (X1,··· , Xn) , # - F (x) + Fθ(x) . # + $ , # Zacks # . + 0 , # # # & " ## §1.1.1 & §1.1 . X # / X ∼ PX , Pθ + X ∼ (X , βX , P ) + PX , Pθ # X ! Rn # # # βX ! Rn # Borel & # A ∈ βX # P ! βX # " #0 P (A) " F (x) = P (X ≤ x) = P{X ∈ (−∞, x]} 1 F (x) 1 # ’ F (x) 1 #2 # F (−∞) = 0, F (+∞) = 1 2 F (x + 0) = F (x), F (x− 0) = P (X < x), P (X = x) = F (x)− F (x− 0), x # Æ P (X = x) = 0 F (x) # ’ 1 R1 # P (A), A ∈ R1 Borel & $ 1 X $ + 2 #P (X = xk) = pk = f(xk) #X $ −λ · λk · k! = pk = f(x) # 3 P (X = 0) = 1 0, 1, 2,··· * + P (X = k) = e + P (X = a) = 1 = Δ(x) = F (x) ⎧⎨ ⎩ 1, 0, x ≥ 0 x < 0 + F (x) = Δ(x − a) = I{x ≥ a} Δ(x) ! # Δ(x) = I{x ≥ 0} = = I{A} #0 x ∈ A, IA(x) = 1; x¯∈A, IA(x) = 0 + / I{x≥0}(x), IA(x) F (x) = pkΔ(x − xk) = pk = f(xk) k xk≤x xk≤x x−∞ f(y)dy + F (x) = f(x) (2) % , ) f(x) #0 F (x) = (3) 1 5 F (x) - , ) 1

2 b = miμ(xi), SM = b a f(x)dμ(x) Miμ(xi) , ) 4 # μ(xi) 1 xi μ (4)Stieltjes S − T a f(x)dx # F (x) = a f(x)μ(dx) # . R1 # f(x) μ(·) # ’ [a, b] # 4 # n → ∞ # Sm = (a)μ(·) 1 & " #Æ μ(xi) = xi, a−∞ dμ(y) #/ 1 (b)μ(·) 1 #/ {xk} 2 x1, x2,··· , xk,··· # μ{[a, b]} = #{[a, b] 1 {xk}} # 2 xi → 0 ⎧⎨ ⎩ 1, Δx 1 2{xu} 0, Δx 1 2{xu} a−∞ dF (x) # μ(·) 1 & " b a f(x)dμ(x) = a−∞ f(y)dy = b b a f(x)dμ(x) = μ(xi) = −∞ f(y)dμ(y) = xk∈[a,b] f(xk) x (c)μ(·) 6 1 " P (·) + F (x) F (·) f(xk) = f(xk) xk∈[−∞,x] xk≤x x xk≤x xk≤x pk = F (x) = f(xk) = pk = f(xk) 6 1 2 −∞ f(y)dμ(y) x−∞ f(y)dμ(y) % X ∼ (X , βX , Pθ), θ ∈ Θ, Θ ! % μ(·) 1 & " 4 F (x) = f(x) 3 μ(·) 1 # f(xk) = pk = P (X = xk) + " P (X ∈ A) = A f(y)dμ(y) = P (A), E[g(X)] = §1.1.2 % # F (x) = g(x)f(x)dμ(x) = g(x)dF (x) " . 0 < p < 1 # p = 0.05, p = 0.95 #F −1(p) ’ 5#0 F (?) = p # / 1 xp, F (x) 4 # 6 0 # F −1(p) , ) + 7 = inf{x : F (x) = p} ) < p 3 * 1.1.1 F (x) p # 1 xp inf xp , ) 7 # / F (xp) = p < xp #Æ F (x i) x ii)F (xp − 0) ≤ p ≤ F (xp) 3 iii)xp 1 F (x) #Æ F (xp) = p 1) + F (x 2 F (xp) ≥ p #) 1 x ( ) x0.05, x0.1, x0.9, x0.95, x0.5 * 1.1.1 g(c) = E|X − c| ) c = x0.5 5 ) ≥ p #Æ xp ≤ x #) → xp − 0 #Æ F (xp − 0) ≤ p

+ - / −∞(c − x)f(x)dμ(x) + c +∞ (x − c)f(x)dμ(x) f(x)dμ(x) = 2 c c −∞ f(x)dμ(x) − 1 = 0 3 (1.1) g(c) = g (c) = ⇒ +∞ −∞ c |x − c|f(x)dμ(x) = +∞ −∞ f(x)dμ(x) − −∞ f(x)dμ(x) = 0.5, −1(0.5) = x0.5 c c 0 F (c) = 0.5, c = F (c) = 2f(c) ≥ 0 # 0 g(x0.5) 1 g §1.1.3 " # M(t) = E(etZ) ϕ(t) = E(eitZ) = M(it) & i)M (k)(0) = E(X k) ii)ϕ(t) = 1 + iii)ξ = (ξ1,··· , ξn), ξ1,··· , ξn 7 " # ⇔ ϕξ(t1,··· , tn) = ϕξ1(t1)ϕξ2(t2)··· ϕξn(tn) r! #Æ Kr 1 r * 1.1.2 + (cumulent) = ak, ϕ(k)(0) = ikak, E(X k) = i tk k! 3 −kϕ(k)(0) 3 ∞ log ϕ(t) = , M(t) = 1 + ∞ ∞ k=1 ak k=1 ak (it)k k! Kr (it)r r=1 + i)Kr ak & K1 = a1 = E(X),K2 = m2 = E(X − EX)2 K3 = a3 − 3a1a2 + 2(a1)3 a1 = K1, a2 = K2 + (K1)2, a3 = K3 + 3K1K2 + (K1)3,··· ii) X, Y " #Æ Kr(X + Y ) = Kr(x) + Kr(Y ) 3 iii)Kr(X + C) = Kr(X), (r > 1) & r1 8 8 r2 r1 = 0, r2 = 0¿ . mode f(x) 8 σ3 = E(X−EX)3 σ4 − 3 = m3 = m4 [V ar(X)]3/2 E(X) = ET{E(X|T )}, V ar(X) = ET{V ar(X|T )} + V arT{E(X|T )}, (1.1.1) (1.1.2) §1.1.4 % * 1.1.3 . x, Fn(x) = n −1#{X1,··· , Xn ≤ x}

Yi = I{Xi ≤ x} = / ! 5 Fn(x) = n xi ≤ x xil ≥ x 0, ⎧⎨ ⎩ 1, −1 −1 = n , Y1,··· , Yn 1 " #$ 0, 1 i=1 I{Xi ≤ x} = n i=1 Δ(x − Xi) −1 n n 4 i=1 Yi # n 9 P (Yi = 1) = P{Xi ≤ x} = F (x) = p #P (Yi = 0) = P{Xi > x} = 1− F (x) = 1 − p # E(Yi) = F (x), V ar(Yi) = F (x){1 − F (x)} √ * 1.1.2 X1,··· , Xn, iid, X1 ∼ F (x) #Æ 1 ∀x : Fn(x) → F (x) (a.e); 2 Fn(x) = n i=1(Yi − EYi) → 0, (a.e) 0 n n n{Fn(x) − F (x)} → N(0, F (x)[1 − F (x)]) −1 −1 n n n −1 i=1 Yi = Fn(x) → EY1 = F (x), i=1(Yi − EYi) i=1 V ar(Yi) n i=1 Yi − nEY1 nV ar(Y1) nFn(x) − nF (x) nF (x)[1 − F (x)] √ n{Fn(x) − F (x)} → N(0, F (x)[1 − F (x)]) → N(0, 1) → N(0, 1) → N(0, 1) n n i=1 Yi, Yi * ) 9 # 9 # §1.2 0 ’ ( (1) 3 P (X = a) = 1, F (x) = Δ(x − a) = I{x ≥ a} (2) X ∼ b(1, θ) X = 1 A < #, : #+ 3 X = 0 A < 7 # , : #+ EX = θ, V ar(X) = θ(1 − θ) # p(x) = θx(1 − θ)1−x, x = 0, 1 # 3 1 1−θ +ln(1−θ) p(x) = ex ln θ+(1−x) ln(1−θ) = ex ln θ = logit(θ) # < " < 7 " 1 / 0 < θ < 1 # −∞ < logit(θ) < +∞ #> Æ ϕ(t) = (1 − θ) + θeit ⎛ ⎞ ⎞ (3) 9 $ X ∼ b(n, θ) X ! n A , : + < #P (A) = θ, ⎠ θi(1 − θ)n−i ⎝ n ⎠ θx(1 − θ)n−x, x = = b(i|n, θ) # p(x) = ⎛ ⎝ n ln θ 1−θ i p(i) = P (X = i) = 0, 1, 2,··· i

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