2022-2023年北京东城高一数学上学期期末试卷及答案.doc-资料库

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2022-2023 年北京东城高一数学上学期期末试卷及答案 1.（单选题，3 分）已知全集 U={1，2，3，4}，A={1，3}，则∁ UA=（） A.{1，2} B.{2，3} C.{2，4} D.{3，4} 【答案】：C 2.（单选题，3 分）在直角坐标系 xOy 中，已知，那么角α的终边与单位圆⊙O 坐标为（） A. B. C. D. 【答案】：A 3.（单选题，3 分）已知实数 x，y 满足 x2+y2=2，那么 xy 的最大值为（） A. B. C.1 D.2 【答案】：C 4.（单选题，3 分）函数的图象大致为（） A.

B. C. D. 【答案】：B 5.（单选题，3 分）设 cos28°=a，则 cos62°=（） A.-a B.a C. D. 【答案】：C 6.（单选题，3 分）函数 f（x）= -lnx 的零点所在的区间为（） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）【答案】：B 7.（单选题，3 分）设 a=log34，b= ，c= ，则（） A.a＜b＜c B.b＜c＜a C.c＜a＜b D.c＜b＜a 【答案】：D

8.（单选题，3 分）“xy=0”是“x2+y2=0”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】：B 9.（单选题，3 分）某同学用“五点法”画函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在一个周期内的简图时，列表如下： ωx+φ x y 则 f（x）的解析式为（） π 2π 2 -2 A. B. C. D. 【答案】：D 10.（单选题，3 分）已知函数 f（x）=ln（ax-b）的定义域是（1，+∞），那么函数 g （x）=（ax+b）（x-1）在区间（-1，1）上（） A.有最小值无最大值 B.有最大值无最小值 C.既有最小值也有最大值 D.没有最小值也没有最大值【答案】：A 11.（填空题，3 分）函数 y=sin2x 的最小值为 ___ ．【答案】：[1]-1 12.（填空题，3 分）已知幂函数 f（x）=xα（α是常数）的图象经过点（2，4），那么 f （-2）=___ ．【答案】：[1]4 关键． 13.（填空题，3 分）已知函数 y=f（x）是定义在 R 上的增函数，且 f（3+2a）＜f（2），那么实数 a 的取值范围为 ___ ．

【答案】：[1]（-∞，- ） 14.（填空题，3 分）已知函数，且关于 x 的方程 f（x）=t 有且仅有一个实数根，那么实数 t 的取值范围为 ___ ．【答案】：[1][1，2） 15.（填空题，3 分）设函数 f（x）=loga（|x|+1）（a＞1），则 f（x）是 ___ （填“奇函数”或“偶函数”）；对于一定的正数 T，定义，则当时，函数 fT（x）的值域为 ___ ．【答案】：[1]偶函数; [2]（- 16.（问答题，8 分）已知集合 A={x|x≤4}，集合 B={x|m-1≤x≤m+1，m∈R}．（Ⅰ）当 m=4 时，求 A∩B；（Ⅱ）当 A∩B=∅ 时，求 m 的取值范围．【答案】：解：（Ⅰ）当 m=4 时，集合 B={x|m-1≤x≤m+1，m∈R}={x|3≤x≤5}，又 A={x|x≤4}，所以 A∩B={x|3≤x≤4}=[3，4]．（Ⅱ）若 A∩B=∅ ，则 m-1＞4，解得 m＞5， ∴实数 m 的取值范围（5，+∞）． 17.（问答题，10 分）已知函数 f（x）=x2+ax+4（a∈R）．（Ⅰ）若 f（1）=0，求不等式 f（x）≤0 的解集；（Ⅱ）若 f（1）=2，求 f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值，并分别写出取得最大值和最小值时的 x 值；（Ⅲ）若对任意 x∈（0，+∞），不等式 f（x）＞0 恒成立，求实数 a 的取值范围．

【答案】：解：（Ⅰ）因为 f（x）=x2+ax+4 且 f（1）=0，所以 a+5=0，解得 a=-5，所以 f（x）=x2-5x+4，由 f（x）≤0，得 f（x）=x2-5x+4≤0，即（x-4）（x-1）≤0，解得 1≤x≤4，即原不等式的解集为[1，4]；（Ⅱ）因为 f（1）=2，所以 a+5=2，所以 a=-3，所以 f（x）=x2-3x+4=（x- ）2+ ，因为 x∈[-2，2]，所以函数在[-2， ]上单调递减，在（，2]上单调递增，所以当 x= 时函数取得最小值 f（x）min=f（）= ；当 x=-2 时函数取得最大值 f （x）max=f（-2）=14；（Ⅲ）因为对任意 x∈（0，+∞），不等式 f（x）＞0 恒成立，即对任意 x∈（0，+∞），不等式 x2+ax+4＞0 恒成立，即-a＜x+ 对任意 x∈（0，+∞）恒成立，因为 x+ ≥2 =4，当且仅当 x= ，即 x=2 时取等号；所以-a＜4，即 a＞-4，所以 a∈（-4，+∞）． 18.（问答题，10 分）已知函数的最小正周期为π，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件：条件 ① ：f（x）的图象关于点对称；条件 ② ：f（x）的图象关于直线对称．（Ⅰ）请写出你选择的条件，并求 f（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求 f（x）的单调递增区间．【答案】：解：因为函数所以ω= =2，选择条件 ① ：（Ⅰ）因为 f（x）的图象关于点对称，所以 2• +φ=kπ，k∈Z，所以φ=- +kπ，k∈Z，的最小正周期为π，

因为- ＜φ＜，所以φ= ，故 f（x）的解析式为 f（x）=2sin（2x+ ）．选择条件 ② ：（Ⅰ）因为 f（x）的图象关于直线对称，所以 2• +φ= +2kπ，k∈Z，所以φ= +2kπ，k∈Z，因为- ＜φ＜，所以φ= ，故 f（x）的解析式为 f（x）=2sin（2x+ ）．（Ⅱ）令 2x+ ∈[2kπ- ，2kπ+ ]，k∈Z，所以 x∈[kπ- ，2kπ+ ]，k∈Z，故 f（x）的单调递增区间为[kπ- ，2kπ+ ]，k∈Z． 19.（问答题，10 分）已知函数．（Ⅰ）判断 f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并用函数单调性的定义给出证明；（Ⅱ）设 g（x）=f（x）-k（k 为常数）有两个零点 x1，x2，且 x1＜x2，当时，求 k 的取值范围．【答案】：【解答】：解：（Ⅰ）f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，证明如下，任取 x1，x2∈[0，+∞），且 x1＜x2，则 f（x1）-f（x2）= - = ， ∵0≤x1＜x2， ∴x2-x1＞0，x2+x1＞0， +1＞0， +1＞0， ∴f（x1）-f（x2）＞0，即 f（x1）＞f（x2），故 f（x）在区间[0，+∞）上单调递减；（Ⅱ）函数 g（x）=f（x）-k（k 为常数）的零点即方程 f（x）-k=0（k 为常数）的解，解方程 -k=0 得，x=± （0＜k＜2）， ∵x1＜x2，，

∴- ＜- ，故 0＜k＜，故 k 的取值范围为（0，）． 20.（问答题，8 分）人口问题是世界普遍关注的问题，通过对若干个大城市的统计分析，针对人口密度分布进行模拟研究，发现人口密度与到城市中心的距离之间呈现负指数关系．指数模型是经典的城市人口密度空间分布的模型之一，该模型的计算是基于圈层距离法获取距城市中心距离和人口密度数据的，具体而言就是以某市中心位置为圆心，以不同的距离为半径划分圈层，测量和分析不同圈层中的人口状况．其中 x 是圈层序号，将圈层序号是 x 的区域称为“x 环”（x=1 时，1 环表示距离城市中心 0～3 公里的圈层；x=2 时，2 环表示距离城市中心 3～6 公里的圈层；以此类推）；d0 是城市中心的人口密度（单位：万人/平方公里），为 x 环的人口密度（单位：万人/平方公里）；b 为常数；e=2.71828⋅ ⋅ ⋅ ．下表为某市 2006 年和 2016 年人口分布的相关数据：年份 2006 2016 d0 2.2 2.3 b 0.13 0.10 （Ⅰ）求该市 2006 年 2 环处的人口密度（参考数据：e-0.26≈0.77，结果保留一位小数）；（Ⅱ）2016 年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的，求该环是这个城市的多少环．（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1）【答案】：解：（I）∵ ∴ ，且 2006 年 d0=2.2，b=0.13，当 x=2 时， ≈1.7，故该市 2006 年 2 环处的人口密度为 1.7．（II）2016 年 ① ， ∵2016 年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的， ∴ ② ，联立 ① ② 可得，，两边同时取对数可得，-0.1x=ln2-ln3≈0.7-1.1=- 0.4，解得 x=4，故该环是这个城市的 4 环．

21.（问答题，9 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足： ① 对任意实数 x，y，都有 f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）； ② 对任意 x∈[0， 1），f（x）＞0．（Ⅰ）求 f（0）；（Ⅱ）判断并证明函数 f（x）的奇偶性；（Ⅲ）若 f（1）=0，直接写出 f（x）的所有零点（不需要证明）．【答案】：解：（Ⅰ）令 x=0，y=0，则 f（0）+f（0）=2f（0）f（0），可得 f（0）[f（0）-1]=0，因为对任意 x∈[0，1），f（x）＞0，所以 f（0）=1．（Ⅱ）f（x）是偶函数，证明如下：令 x=0，y 为任意实数，则 f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），即 f（-y）=f（y），所以 f（x）是偶函数．（Ⅲ）若 f（1）=0，令 y=0，则 f（x+1）+f（x-1）=2f（x）f（1）=0，即 f（x+1）=-f（x-1），则 f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2）=f（x），所以 f（x）是以 4 为周期的周期函数，又 f（-1）=f（1）=0，所以 f（x）的所有零点为 2n+1，n∈Z．

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