1994年考研数学二真题及答案.doc-资料库

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1994考研数学二真题及答案一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) sin 2x  e2ax 1 (1) 若 f (x)    x a, , x  0, x  0 在(, ) 上连续,则a  ＿＿＿＿＿＿. x  t  ln(1 t), (2) 设函数 y  y(x) 由参数方程  y  t3  t 2 (3) d  cos3 x f (t)dt  ＿＿＿＿＿＿. dx  0  所确定,则 d 2 y dx2  ＿＿＿＿＿＿. (4)  x3ex2dx  ＿＿＿＿＿＿. (5) 微分方程 ydx  (x2  4x)dy  0 的通解为＿＿＿＿＿＿. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) ln(1 x)  (ax  bx2 )  2 , 则 ( ) (1) 设 lim x0 (A) a  1, b   (B) a  0, b  2 (C) a  0, b   (D) a  1, b 2 x2 5 2 5 2  2 x3 , x  1  (2) 设 f (x)   3  x2, x 1 , 则 f (x) 在点 x  1 处的 ( ) (A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在,但右导数不存在(C) 左导数不存在,但右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 (3) 设 y  f (x) 是满足微分方程 y  y  esin x  0 的解,且 f (x )  0 ,则 f (x) 在 ( ) 0 (A) x0 的某个领域内单调增加 (B) x0 的某个领域内单调减少(C) x0 处取得极小值 (D) x0 处取得极大值 1 (4) 曲线 y  e x2 arctan x2  x 1 (x 1)(x  2) 的渐近线有 ( ) (A) 1 条 (B) 2 条 (C) 3 条 (D) 4 条

 sin x   (5) 设 M  2  1 x 2 2  cos4 xdx, N  2 (sin3 x  cos4 x)dx , P     2  2 (x2 sin3 x  cos4 x)dx ,    2 ( ) 则有 (A) N  P  M (B) M  P  N (C) N  M  P 三、(本题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.) (D) P  M  N (1) 设 y  f (x  y) ,其中 f 具有二阶导数,且其一阶导数不等于 1,求 d 2 y dx2 . 1 3  x(1 x4 )2 dx .  2) . n (2) 计算0 (3) 计算lim tann( n 4  sin 2x  2sin x 计算 dx (4) . (5) 如图,设曲线方程为 y  x2  1 ,梯形OABC 的面积为 D ,曲边梯形OABC 的面积为 2 D1 ,点 A 的坐标为(a, 0), a  0 ,证明： D 3  2 D 1 . y C O B y  x2  1 2 A x 四、(本题满分 9 分) 设当 x  0 时,方程 kx  1 x2 1有且仅有一个解,求 k 的取值范围. 五、(本题满分 9 分) 设 y  x3  4 x2 , (1) 求函数的增减区间及极值； (2) 求函数图像的凹凸区间及拐点； (3) 求其渐近线； (4) 作出其图形.

六、(本题满分 9 分) 求微分方程 y  a2 y  sin x 的通解,其中常数 a  0 . 七、(本题满分 9 分) 设 f (x) 在[0,1] 上连续且递减,证明：当0  1时,0  1 f (x)dx  0 f (x)dx . 八、(本题满分 9 分) 求曲线 y  3 | x2 1| 与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y  3 旋转所得的旋转体体积.

答案一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) 【答案】2 sin 2x  e2ax 1 x 在 x  0 时是初等函数,因而连续；要使 f (x) 在(, ) 上连续, f (x) 在 x  0 处也连续,这样必有lim f (x)  x0 f (0) . 由极限的四则混合运算法则和等价无穷小, x  0 时, sin x x ； ex1 x . sin 2x  e2ax 1 x lim x0  lim( x0 ) sin 2x e2ax 1  x x 2x  lim2ax x0 x  lim x0 x  2  2a  a , 从而有a  2 . (2) 【答案】 (t 1)(6t  5) t dy dx  dy dt  dt dx  dy dt xx y  (yx )t  6t 5 1 1 1 t x t dx dt y xt  t  3t 2 2t 1 1 1 t (t 1)(6t  5)  . t 2  3t  5t  2 , 复合函数求导法则：如果u  g(x) 在点 x 可导,而 y  f (x) 在点u  g(x) 可导,则复合函数 y  f g(x)在点 x 可导,且其导数为 dy  dx f (u)  g(x) 或 dy  dy  du dx . du dx (3) 【答案】3sin 3xf (cos3x) 原式 f (cos3x) (cos3x)  f (cos 3x)  (sin 3x)  3  3sin 3xf (cos 3x) . 对积分上限的函数的求导公式： (t ) 若 F(t)  (t ) f (x)dx ,(t) ,(t) 均一阶可导,则 F (t)  (t)  f (t)  (t)  f (t) . (4) 【答案】 1 (x2 1)ex2  C ,其中C 为任意常数 2

本题利用不定积分的分部积分法求解.显然是ex2 先进入积分号, 原式 1  x2d(ex2 )  1 x2ex2  ex2d(x2) 2  2  1 (x2 1)ex2  C 2 其中C 为任意常数. 注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验. 分部积分公式：假定u  u(x) 与v  v(x) 均具有连续的导函数,则 uvdx  uv  uvdx, 或者 udv  uv   vdu. (5) 【答案】(x  4) y4  Cx ,C 为任意常数这是可分离变量的方程. 分离变量得 dx x(x 4)  dy  0 ,两项分别对 x 和对y积分得到 y 1 ln 4 x  4 x  ln y  C1 , 化简有 x  4  y4  C ,即 (x  4)  y4  Cx , C 为任意常数. x 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) 【答案】(A) 方法 1：将极限中的分子用泰勒—皮亚诺公式展开得 ln(1 x)  (ax  bx2 2 x 2 )  (x   o(x 2 ))  (ax  bx2 )  (1 a)x  ( 1  b)x2  o(x2 ) , 2 1 a  0  ( 1  b)  2 由假设,应该有  2 5 ,故由此a  1, b   2 ,故应选(A). 方法 2：用洛必达法则. lim x0 点0 处导数都存在,所以, ln(1 x)  (ax  bx2) x2 为“ ”型的极限未定式,又分子分母在 0 0

1  a  2bx 原式左边  lim 1 x x0 2x  lim x0 1 2b   2 (1 a)  (a  2b)x  2bx2 2x(1 x) 5  2,  a  1, b  . 2 (若1 a  0 ,则原式极限为 ,必有1 a  0 ) 故应选(A). (2) 【答案】(B) 方法 1：因 f (x)  2 3 x , (x 1)  3  2 3   f (x) 左可导, f (1)   3 x      2 . x1 又 lim f (x)  lim x2  1  f (1)  f (x) 不右连续 f (x) 在 x  1 的右导数不存在, x1 x1 故选(B). 方法 2： f (1)  2 3 , 而 lim f (x)  lim x2  1  f (1) , x1 x1 所以, f (x) 在 x  1 点不连续,故不可导,但左,右导数可能存在,这只需要用左,右导数定义进行验证. f (1)  lim f (x)  f (1)  lim x2  2 x1 x 1 2 x3  2 x 1 故 f (x) 在 x  1 点左导数存在,但右导数不存在,故应选(B). f (1)  lim f (x)  f (1) lim 3 x 1 x 1   x1 x1 x1 3  , 3 2. (3) 【答案】(C) 由于 f (x) 满足微分方程 y y  esin x  0 ,当 x  x 时,有 0 f (x )  f (x )  esin x0 . 0 0 又由 f (x )  0 ,有 f (x )  esin x0 0 ,因而点 x 是 f (x) 的极小值点,应选(C). 0 0 0 (4) 【答案】(B) 用换元法求极限,令t  1 x ,则当 x   时,t  0 ,且有 lim y  lim et arctan x t 0 2 t 2  t1 (1t)(1 2t)  , lim y   , 4 x0

所以 y 轴和 y  是曲线的两条渐近线.  4 而 x 1 和 x  2 并非曲线的渐近线,因当 x 1 和 x  2 时, y 分别趋向于  和 e 2  1 e 4 2 .故应选(B). 渐近线的相关知识：水平渐近线：若有lim f (x)  a ,则 y  a 为水平渐近线； x 铅直渐近线：若有lim f (x)   ,则 x  a 为铅直渐近线； xa 斜渐近线：若有 a  lim x 近线. (5) 【答案】(D) f (x) x ,b  lim[ f (x)  ax] 存在且不为  ,则 y  ax  b 为斜渐 x 对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性. 由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为 0,故 M  0 ,且由定积分的性质,如果在区间a,b 上,被积函数 f (x)  0 ,则 b f (x)dx  0 (a  b) . a 所以 N  2 2 cos4 xdx  0 ,   0 P  2 2 cos4 xdx  N  0 .   0 因而 P  M  N ,应选(D). 三、(本题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.) (1) 方程两边对 x 求导,得 y  f  (1 y) ,两边再求导,得 y  f   (1 y)2  f   y , 由于一阶导数不等于 1,所以1 f   0 . 以 y  f  1 f  代入并解出 y ,得 y  f  (1 f )3 . 复合函数求导法则：如果u  g(x) 在点 x 可导,而 y  f (x) 在点u  g(x) 可导,则复合函数 y  f g(x) 在点 x 可导,且其导数为 dy  dx (2) 用换元积分法. f (u)  g(x) 或 dy  dy  du dx . du dx

观察被积函数的特点,可考虑引入三角函数化简. 令 x  sin t ,则 2xdx  costdt .当 x  0 时,t  0 ；当 x 1 时,t  2 1  1 原式   2 cos4tdt  ( 3 1  3   )  . 2 4 2 2 32 2 0  2 ,故定积分关于单三角函数的积分公式： In   2 sin  0 n  (n1)!! , n为偶数  2 n!! xdx   2 cos xdx    (n 1)!!,  n!! n 为奇数 0 n . 注：对于双阶乘n!!的定义如下:当n 为奇数时, n!!  1 3  n ；当n 为偶数时, n!!  2  4   n . (3)方法 1：用三角函数公式将 tan( 2) 展开,再化为重要极限lim(1 1 )x  e 的 n 形式,利用等价无穷小因子替换,即 x  0 时, tan x 4 2 n  1 tan  lim tann(  )  lim  n 1 tan 2  n   n  lim 1  n    2 4 n n  x ,从而求出极限. x x 2 n 2 tan n   1 tan 2  n  1tan 2 4 tan 2 n  n  1 2 1tan 2 n 4 tan 2 n  1 n n 2 n  e 1tan 2 n  e4 .    lim 1 n   2 tan  2  2 tan 2 n n  2  1 tan  n  方法 2：先取自然对数,求出极限后再用恒等式 ex lim ln f ( x)  lim f (x) . x 因为 lim ln tann( 4 n lim nln 1 n  2)  lim nln n n 1 tan 2 n  1 tan 2 n  2 tan 2   n   lim  limn n 1 tan 2    n       2 tan 2  n   1 tan 2 n  tan 2 2 n 4 n 1 tan 2 n n  4 ,  2 ln tann ( )   2 4 n  e4 . )  lim e n n 于是 lim tann( n 4  (4) 方法 1：利用三角函数的二倍角公式sin 2 2sincos,并利用换元积分, 结合拆项法求积分,得

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