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1994年考研数学三真题及答案.doc
1994 年考研数学三真题及答案
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)
(1)
x
2
2 2
x
2
x
dx
_____________.
f x
(2) 已知 ( )
,则
1
lim
0
x
x
(
f x
0
x
(
f x
0
2 )
x
(3) 设方程
xye
2
y
cos
x
确定 y 为 x 的函数,则
_____________.
_____________.
)
dy
dx
L
L
A
(4) 设
0
0
M
a
0
(5) 设随机变量 X 的概率密度为
0
0
M
0
a
a
1
0
M
0
0
0
a
M
0
0
L
L
2
n
n
1
,
其中
ia
0,
i
1,2,
L
,
n
,
则 1A _____________.
( )
f x
2 , 0
x
0,
x
1,
其他，
以Y 表示对 X 的三次独立重复观察中事件
X
1
2
出现的次数,则
P Y
2
_____________.
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符
合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 曲线
y
e
1
2
x
arctan
2
x
x
1
x
1)(
2)
x
(
的渐近线有
(A) 1 条
(B) 2 条
(C) 3 条
(D) 4 条
(2) 设常数
0 ,而级数
收敛,则级数
a
2
n
n
1
n
1
n
( 1)
a
2
n
n
(
)
(
)
(A) 发散
(B) 条件收敛
(C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关
(3) 设 A 是 m n 矩阵,C 是 n 阶可逆矩阵,矩阵 A 的秩为 r ,矩阵 B AC
的秩为 1r ,则
(A)
r
r
1
(C)
r
r
1
(
)
(B)
r
r
1
(D) r 与 1r 的关系由C 而定
(4) 设 0
(
P A
) 1,0
(
P B
) 1,
(
P A B
)
(
P A B
) 1
,则
(
)
(A) 事件 A 和 B 互不相容
(C) 事件 A 和 B 互不独立
(B) 事件 A 和 B 相互对立
(D) 事件 A 和 B 相互独立
(5) 设 1
X X
,
,
XL
,
2
n
是来自正态总体
N 的简单随机样本, X 是样本均值,记
(
)
,
2
2
S
1
n
S
2
3
n
1
1
1
1
n
i
1
n
i
1
(
X
i
X
2
) ,
S
2
2
(
X
i
2
) ,
S
2
4
1
n
1
n
n
i
1
n
i
1
(
X
i
X
2
) ,
(
X
i
2
) ,
则服从自由度为 1n 的t 分布的随机变量是
(
)
(B)
t
X
S
n
2
1
(D)
t
X
S
4
n
x
)
y dxdy
,
其中
D
( ,
x y x
)
2
2
y
x
y
1
.
(A)
t
X
S
1
n
1
(C)
t
X
S
3
n
三、(本题满分 6 分)
计算二重积分 (
D
四、(本题满分 5 分)
设函数
y
( )
y x
满足条件
y
y
(0)
0,
4
4
y
y
(0)
2,
y
4,
求广义积分
0
( )
y x dx
.
五、(本题满分 5 分)
已知
( ,
f x y
)
2
x
arctan
y
x
2
y
arctan
x
y
,求
2 f
x y
.
六、(本题满分 5 分)
设函数 ( )
f x 可导,且
f
(0) 0,
( )
F x
x n
t
0
1
n
(
f x
n
t dt
)
,求
( )
F x
lim n
2
x
0
x
.
七、(本题满分 8 分)
已知曲线
y
(
a x a
与曲线 ln
0)
y
x
(1) 常数 a 及切点 0
x y ；
(
)
,
0
在点 0
(
x y 处有公共切线,求:
)
,
0
(2) 两曲线与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积 xV .
八、(本题满分 6 分)
假设 ( )
f x 在[ ,
a 上连续,
)
f
,a 内存在且大于零,记
x 在
( )
( )
f x
( )
f a
x a
( )
F x
(
x
a
)
,
证明 ( )F x 在
,a 内单调增加.
九、(本题满分 11 分)
设线性方程组
x
1
x
1
x
1
x
1
a x
1 2
a x
2 2
a x
3 2
a x
4 2
2
a x
1
3
2
a x
2 3
2
a x
3
3
2
a x
4 3
3
,
a
1
3
,
a
2
3
,
a
3
3
.
a
4
(1) 证明:若 1
a a a a 两两不相等,则此线性方程组无解；
,
,
,
2
3
4
a
(2) 设 1
a
3
,
k a
2
a
4
(
k k
0)
,且已知 1
2
, 是该方程组的两个解,其中
1
1
1 ,
1
2
1
1 ,
1
写出此方程组的通解.
十、(本题满分 8 分)
0 0 1
x
y
1 0 0
A
设
1
有三个线性无关的特征向量,求 x 和 y 应满足的条件.
十一、(本题满分 8 分)
假设随机变量 1
X X X X 相互独立,且同分布
,
,
,
2
3
4
P X
i
0
0.6,
P X
i
1
0.4(
i
1,2,3,4)
,
求行列式
X
X
X
1
3
X
X
2
4
的概率分布.
十二、(本题满分 8 分)
假设由自动线加工的某种零件的内径 X (毫米)服从正态分布 (
N ,内径小于 10 或
,1)
大于 12 的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销
售利润T (单位:元)与销售零件的内径 X 有如下关系:
T
1,
X
20, 10
5,
X
10,
X
12.
12,
问平均内径取何值时,销售一个零件的平均利润最大?
答案
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)
(1)【答案】 ln 3
(2)【答案】1
(3)【答案】
y
xy
ye
xe
sin
x
xy
2
y
0
0
1
a
2
0
0
0
0
1
a
1
n
1
a
n
0
0
0
1
a
1
0
0
9
64
0
(4)【答案】
(5)【答案】
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)
(1)【答案】(B)
(2)【答案】(C)
(3)【答案】(C)
(4)【答案】(D)
(5)【答案】(B)
三、(本题满分 6 分)
方法 1：由 2
x
2
y
,配完全方得
x
y
1
x
2
1
2
y
2
1
2
3
2
.
令
x
1
2
r
cos ,
y
1
2
r
sin
,引入极坐标系 ( ,
r ,则区域为
)
D
( ,
r
2 ,0
) 0
r
3
2
.
故
(
x
)
y dxdy
D
2
d
0
3
2
0
(1
r
cos
r
sin )
rdr
3
4
2
0
d
1 3
2 2
2
0
(cos
sin )
d
3
4
2
d
0
1 3
2 2
sin
cos
2
0
方法 2：由 2
x
2
y
,配完全方得
x
y
1
x
2
1
2
y
2
1
2
3
2
.
3
2
.
引入坐标轴平移变换：
u
x
,
1
2
v
则在新的直角坐标系中区域 D 变为圆域
y
,
1
2
( , ) |
u v u
2
2
v
3
2
.
D
1
而
x
1
y
,则有 dxdy
u v
)
y dxdy
x
(
dudv
,代入即得
(
u v
1)
dudv
ududv
D
1
vdudv
D
1
dudv
.
D
1
D
1
D
由于区域 1D 关于 v 轴对称,被积函数u 是奇函数,从而
同理可得
vdudv
0
, 又
D
1
dudv D
1
D
1
故
(
x
D
)
y dxdy
3
2
.
ududv
0
.
D
1
3
2
,
四、(本题满分 5 分)
先解出 ( )
y x ,此方程为常系数二阶线性齐次方程,用特征方程法求解.
方程
y
4
y
4
y
故原方程的通解为
y
的特征方程为 2
4
0
,解得 1
4 0
2
2
.
(
C C x e
1
)
2
2
x
.
由初始条件 (0)
y
2,
y
(0)
C
得 1
4
22,
C
0,
因此,微分方程的特解为
y
x
22
e
.
再求积分即得
0
( )
y x dx
2
e
2
x
dx
0
lim
b
b
0
2
x
e
d
2
x
2
x
lim
b
e
b
0
1
.
五、(本题满分 5 分)
由复合函数求导法,首先求
f
x
,由题设可得
f
x
2 arctan
x
2 arctan
x
y
x
y
x
y
2
x
1
x
2
2
y
x
1
y
y
2
x
y
2
1
2
x y
2
y
2
x
3
y
2
y
2
x
2 arctan
x
y
x
y
.
再对 y 求偏导数即得
2
f
x y
1
x
2
x
y
x
1
2
1
2
x
2
x
2
2
y
1
2
2
x
x
2
2
y
y
.
六、(本题满分 5 分)
运用换元法,令 n
x
n
t
,则
u
( )
F x
( )
F x
lim n
2
x
0
x
由于
法则,可得
为“
0
0
x
0
n
1
t
n
(
f x
n
t dt
)
1
n
n
x
0
( )
( )
f u du F x
x
n
1
n
(
f x
).
”型的极限未定式,又分子分母在点 0 处导数都存在,运用洛必达
lim
0
x
( )
F x
2
n
x
lim
0
x
( )
F x
1
2
n
2
nx
x
lim
0
x
n
1
n
(
f x
1
2
n
2
nx
)
1
2
n
lim
0
x
n
)
(
f x
n
x
1
2
n
lim
0
x
n
(
f x
x
)
n
f
0
(0)
,
由导数的定义,有
原式
1
2
n
f
(0)
.
七、(本题满分 8 分)
利用 0
x y 在两条曲线上及两曲线在 0
0
(
)
(
,
x y 处切线斜率相等列出三个方程,由此,可求出
)
,
0
,
a x y ,然后利用旋转体体积公式
,
0
0
b
a
f
2( )
x dx
求出 xV .
(1) 过曲线上已知点 0
(
x y 的切线方程为
)
,
0
y
y
0
(
k x
x
0
)
,其中,当
y x 存在时,
0(
)
k
y x
0(
)
.
由 y
a x
知
y
a
2
x
.由 ln
y
x
知
y
1
2
x
.
由于两曲线在 0
(
x y 处有公共切线,可见
)
,
0
a
x
0
2
1
2
x
0
x
,得 0
1
2
a
.
x
将 0
于是
y
分别代入两曲线方程,有 0
1
2
a
a
1
2
a
ln
1
2
a
a
1
e
,
x
0
1
2
a
2
e
,
从而切点为 2(
e
,1)
.
1 ln
y
0
1
2
a
.
(2) 将曲线表成 y 是 x 的函数,V 是两个旋转体的体积之差,套用旋转体体积公式,可得
旋转体体积为
xV
2
e
0
1(
e
2
)
x dx
2
e
1
(ln
2
)
x dx
2
2
4
e
2
x
ln
x
2
e
1
2
八、(本题满分 6 分)
方法 1:
2
e
1
ln
xdx
2
e
1
2
e
2
4
2
2
e
2
x
2
ln
xdx
2
e
1
2
.
( )
F x
( )(
f x x a
)
x a
( )
f x
2
( )
f a
1
x a
2
[
( )(
f x x a
)
( )
f x
( )]
f a
,
( )
x
f x x a
( )(
)
( )
f x
( )(
f a x
a
),
( )
x
f
( )(
x x a
)
( )
f x
( )
f x
(
)
x a f
( ) 0(
x
x
a
),
( )x 在
,a 上单调上升,于是 ( )
x
( ) 0
a
.
( )
F x
( )
x
2
x a
0
.
令
由
知
故
所以 ( )F x 在
,a 内单调增加.
方法 2:
( )
F x
由拉格朗日中值定理知
于是有
( )(
)
f x x a
x a
( )
f x
x a
( )
F x
( )
f x
2
( )
f a
( )
f a
1
x a
( )
f x
f
( )
, (
a
x
)
.
( )
f a
( )
f x
x a
.
1
x a
[
( )
f x
f
( )]
.
由 ( ) 0
x
知 ( )
f x 在
f
,a 上单调增,从而 ( )
f x
( )
f
,故 ( ) 0
.
F x
于是 ( )F x 在
,a 内单调增加.
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