1994年考研数学一真题及答案.doc

发布时间：2022-09-22 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.55M 资料格式：doc 举报版权申诉

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1994 年考研数学一真题及答案一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) (2) 曲面 _____________. 在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3) 设 ,则在点处的值为_____________. (4) 设区域为 ,则 _____________. (5) 已知 ,设 ,其中是的转置,则 _________. 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) 设则 (A) (C) (2) 二元函数该点连续的 , , ( ) , (B) (D) 在点处两个偏导数、存在是在 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (3) 设常数 (A) 发散 ,且级数收敛,则级数 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关 ( ) (4) (A) (B) ,其中 ,则必有 ( )

(C) (D) (5) 已知向量组线性无关,则向量组 ( ) (A) (B) (C) (D) 、、、、、、、、、、、、线性无关线性无关线性无关线性无关三、(本题共 3 小题, 每小题 5 分,满分 15 分.) 求、在的值. 展开成的幂级数. (1) 设 (2) 将函数 (3) 求 . 四、(本题满分 6 分) 计算曲面积分 ,其中是由曲面及两平面所围成立体表面的外侧. 五、(本题满分 9 分) 设具有二阶连续导数, ,且为一全微分方程,求及此全微分方程的通解. 六、(本题满分 8 分) 设在点的某一领域内具有二阶连续导数,且 ,证明级数

绝对收敛. 七、(本题满分 6 分) 已知点与的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段绕轴旋转一周所围成的旋转曲面为 .求由及两平面所围成的立体体积. 八、(本题满分 8 分) 设四元线性齐次方程组为又已知某线性齐次方程组的通解为 . (1) 求线性方程组的基础解系； (2) 问线性方程组和是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由. 九、(本题满分 6 分) 设为阶非零方阵, 是的伴随矩阵, 是的转置矩阵,当时,证明 . 十、填空题(本题共 2 小题, 每小题 3 分,满分 6 分.) (1) 已知、两个事件满足条件 ,且 ,则 __________. (2) 设相互独立的两个随机变量、具有同一分布律,且的分布律为则随机变量的分布律为_______. 十一、(本题满分 6 分)

已知随机变量服从二维正态分布,且和分别服从正态分布和 , 与的相关系数 ,设 , (1) 求的数学期望和方差； (2) 求与的相关系数； (3) 问与是否相互独立？为什么？答案一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)

(1)【答案】【解析】原式变形后为“ ”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有原式 (2)【答案】 . (由重要极限 ) 【解析】所求平面的法向量为平行于所给曲面在点处法线方向的方向向量 ,取 ,又平面过已知点 . 已知平面的法向量和过已知点可唯一确定这个平面：因点在曲面曲面在该点的法向量 . 上.曲面方程 . , 故切平面方程为 , 即 . (3)【答案】【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求 ,再求 . ,

. (可边代值边计算,这样可以简化运算量.) 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数都在点具有对及对的偏导数,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在点的两个偏导数存在,且有； . (4)【答案】【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算： . , . 原式注意：则原式 (5)【答案】【解析】由矩阵乘法有结合律,注意是一个数,

而于是, ,(是一个三阶矩阵) . 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(D) 【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性. 由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为 0, 故 ,且由定积分的性质,如果在区间所以上,被积函数 ,则 . sp; 因而 (2)【答案】(D) , ,应选(D). . 【解析】在点连续不能保证在点存在偏导数 .反之, 在点存在这两个偏导数也不能保证在点连续,因此应选(D). 二元函数在点处两个偏导数存在和在点处连续并没有相关性. (3)【答案】(C) 【解析】考查取绝对值后的级数.因

, (第一个不等式是由得到的.) 又收敛, 收敛,(此为级数：当时收敛；当时发散.) 收敛,由比较判别法,得所以故原级数绝对收敛,因此选(C). (4)【答案】(D) 【解析】因为故 , , 收敛. , 因此,原式左边原式右边, . 当当时,极限为 0；时,极限为 ,均与题设矛盾,应选(D). 【相关知识点】1.无穷小的比较：设在同一个极限过程中, 为无穷小且存在极限（1）若（2）若（3）若称称在该极限过程中为同阶无穷小；在该极限过程中为等价无穷小,记为；称在该极限过程中是的高阶无穷小,记为 . 若不存在(不为 ),称不可比较.

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