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2015年湖南省株洲市中考数学真题及答案.doc

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2015 年湖南省株洲市中考数学真题及答案 一.选择题(每小题 3 分,共 24 分) 1.(3 分)(2015•株洲)2 的相反数是( A. ﹣2 B. 2 ) C. ﹣ D. 2.(3 分)(2015•株洲)已知∠α=35°,那么∠α的余角等于( ) A. 35° B. 55° C. 65° D. 145° 3.(3 分)(2015•株洲)下列等式中,正确的是( ) A. 3a﹣2a=1 B. a2•a3=a5 C. (﹣2a3)2=﹣4a6 D. (a﹣b)2=a2﹣b2 4.(3 分)(2015•株洲)下列几何图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A. 等腰三角形 B. 正三角形 C. 平行四边形 D. 正方形 5.(3 分)(2015•株洲)从 2,3,4,5 中任意选两个数,记作 a 和 b,那么点(a,b)在函数 y= 图象上 的概率是( ) A. B. C. D. 6.(3 分)(2015•株洲)如图,圆 O 是△ABC 的外接圆,∠A=68°,则∠OBC 的大小是( ) A. 22° B. 26° C. 32° D. 68° 7.(3 分)(2015•株洲)如图,已知 AB、CD、EF 都与 BD 垂直,垂足分别是 B、D、F,且 AB=1,CD=3,那么 EF 的长是( ) A. B. C. D.
8.(3 分)(2015•株洲)有两个一元二次方程 M:ax2+bx+c=0;N:cx2+bx+a=0,其中 a•c≠0,a≠c.下列四 个结论中,错误的是( ) A. 如果方程 M 有两个相等的实数根,那么方程 N 也有两个相等的实数根 B. 如果方程 M 的两根符号相同,那么方程 N 的两根符号也相同 C. 如果 5 是方程 M 的一个根,那么 是方程 N 的一个根 D. 如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根,那么这个根必是 x=1 二.填空题(每小题 3 分,共 24 分) 9.(3 分)(2015•株洲)如果手机通话每分钟收费 m 元,那么通话 n 分钟收费 元. 10.(3 分)(2015•株洲)在平面直角坐标系中,点(﹣3,2)关于 y 轴的对称点的坐标是 . 11.(3 分)(2015•株洲)如图,l∥m,∠1=120°,∠A=55°,则∠ACB 的大小是 . 12.(3 分)(2015•株洲)某大学自主招生考试只考数学和物理.计算综合得分时,按数学占 60%,物理占 40%计算.已知孔明数学得分为 95 分,综合得分为 93 分,那么孔明物理得分是 分. 13.(3 分)(2015•株洲)因式分解:x2(x﹣2)﹣16(x﹣2)= . 14.(3 分)(2015•株洲)已知直线 y=2x+(3﹣a)与 x 轴的交点在 A(2,0)、B(3,0)之间(包括 A、B 两点),则 a 的取值范围是 . 15.(3 分)(2015•株洲)如图是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形, 四边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形.如果 AB=10,EF=2,那么 AH 等于 . 16.(3 分)(2015•株洲)“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式,公式表达式为 S=a+ ﹣ 1,孔明只记得公式中的 S 表示多边形的面积,a 和 b 中有一个表示多边形边上(含顶点)的整点个数,另 一个表示多边形内部的整点个数,但不记得究竟是 a 还是 b 表示多边形内部的整点个数,请你选择一些特
殊的多边形(如图 1)进行验证,得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是 个公式求得图 2 中多边形的面积是 . ,并运用这 三.解答题(共 7 小题,共 52 分) 17.(4 分)(2015•株洲)计算:|﹣3|+(2015﹣π)0﹣2sin30°. 18.(4 分)(2015•株洲)先化简,再求值:( ﹣ )• ,其中 x=4. 19.(6 分)(2015•株洲)为了举行班级晚会,孔明准备去商店购买 20 个乒乓球做道具,并买一些乒乓球拍 做奖品.已知乒乓球每个 1.5 元,球拍每个 22 元.如果购买金额不超过 200 元,且买的球拍尽可能多,那 么孔明应该买多少个球拍? 20.(6 分)(2015•株洲)某学校举行一次体育测试,从所有参加测试的中学生中随机的抽取 10 名学生的成 绩,制作出如下统计表和条形图,请解答下列问题: (1)孔明同学这次测试的成绩是 87 分,则他的成绩等级是 (2)请将条形统计图补充完整; (3)已知该校所有参加这次测试的学生中,有 60 名学生成绩是 A 等,请根据以上抽样结果,估计该校参 加这次测试的学生总人数是多少人. 等; 编号 成绩 等级 编号 成绩 等级 ① ② ③ ④ ⑤ 95 78 72 79 92 A B C B A ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 76 85 82 77 69 B A B B C
21.(6 分)(2015•株洲)P 表示 n 边形对角线的交点个数(指落在其内部的交点),如果这些交点都不重合, 那么 P 与 n 的关系式是 P= (n2﹣an+b)(其中 a,b 是常数,n≥4) (1)填空:通过画图可得: 四边形时,P= (2)请根据四边形和五边形对角线的交点个数,结合关系式,求 a 和 b 的值.(注:本题中的多边形均指 凸多边形) (填数字);五边形时,P= (填数字) 22.(8 分)(2015•株洲)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BD 是△ABC 的一条角平分线.点 O、E、F 分别 在 BD、BC、AC 上,且四边形 OECF 是正方形. (1)求证:点 O 在∠BAC 的平分线上; (2)若 AC=5,BC=12,求 OE 的长. 23.(8 分)(2015•株洲)已知 AB 是圆 O 的切线,切点为 B,直线 AO 交圆 O 于 C、D 两点,CD=2,∠DAB=30°, 动点 P 在直线 AB 上运动,PC 交圆 O 于另一点 Q. (1)当点 P 运动到使 Q、C 两点重合时(如图 1),求 AP 的长; (2)点 P 在运动过程中,有几个位置(几种情况)使△CQD 的面积为 ?(直接写出答案) (3)当△CQD 的面积为 ,且 Q 位于以 CD 为直径的上半圆,CQ>QD 时(如图 2),求 AP 的长.
2015 年湖南省株洲市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一.选择题(每小题 3 分,共 24 分) 1.(3 分)(2015•株洲)2 的相反数是( A. ﹣2 B. 2 ) C. ﹣ D. 考点:相反数. 菁优网版 权所有 分析:根据相反数的定义即可求解. 解答:解:2 的相反数等于﹣2. 故选 A. 点评:本题考查了相反数的知识,属于基础题,注意熟练掌握相反数的概念是关键. 2.(3 分)(2015•株洲)已知∠α=35°,那么∠α的余角等于( ) A. 35° B. 55° C. 65° D. 145° 考点:余角和补角. 菁优网版 权所有 分析:根据余角的定义:如果两个角的和等于 90°(直角),就说这两个角互为余角计算. 解答:解:∵∠α=35°, ∴它的余角等于 90°﹣35°=55°. 故选 B. 点评:本题考查了余角的定义,解题时牢记定义是关键. 3.(3 分)(2015•株洲)下列等式中,正确的是( ) A. 3a﹣2a=1 B. a2•a3=a5 C. (﹣2a3)2=﹣4a6 D. (a﹣b)2=a2﹣b2 考点:幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法;完全平方公式.菁优网版 权所有 分析:结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公 式等运算,然后选择正确选项. 解答:解:A、3a﹣2a=a,原式计算错误,故本选项错误; B、a2•a3=a5,原式计算正确,故本选项正确; C、(﹣2a3)2=4a6,原式计算错误,故本选项错误; D、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,原式计算错误,故本选项错误. 故选 B. 点评:本题考查了幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式等知 识,掌握运算法则是解答本题关键. 4.(3 分)(2015•株洲)下列几何图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A. 等腰三角形 B. 正三角形 C. 平行四边形 D. 正方形 考点:中心对称图形;轴对称图形.菁优网版 权所有
分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 解答:解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误; B、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误; C、不是轴对称图形,是中心对称图形.故错误; D、既是轴对称图形,又是中心对称图形.故正确. 故选 D. 点评:本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图 形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后与 原图重合. 5.(3 分)(2015•株洲)从 2,3,4,5 中任意选两个数,记作 a 和 b,那么点(a,b)在函数 y= 图象上 的概率是( ) A. B. C. D. 考点:列表法与树状图法;反比例函数图象上点的坐标特征. 菁优网版 权所有 分析:首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与点(a,b)在函数 y= 图象上的情况,再利用概率公式即可求得答案. 解答:解:画树状图得: ∵共有 12 种等可能的结果,点(a,b)在函数 y= 图象上的有(3,4),(4,3); ∴点(a,b)在函数 y= 图象上的概率是: = . 故选 D. 点评:此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况 数之比. 6.(3 分)(2015•株洲)如图,圆 O 是△ABC 的外接圆,∠A=68°,则∠OBC 的大小是( ) A. 22° B. 26° C. 32° D. 68°
考点:圆周角定理. 菁优网版 权所有 分析:先根据圆周角定理求出∠BOC 的度数,再根据等腰三角形的性质即可得出结论. 解答:解:∵∠A 与∠BOC 是同弧所对的圆周角与圆心角,∠A=68°, ∴∠BOC=2∠A=136°. ∵OB=OC, ∴∠OBC= 故选 A. =22°. 点评:本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都 等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键. 7.(3 分)(2015•株洲)如图,已知 AB、CD、EF 都与 BD 垂直,垂足分别是 B、D、F,且 AB=1,CD=3,那么 EF 的长是( ) A. B. C. D. 考点:相似三角形的判定与性质. 菁优网版 权所有 分析: 易证△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD,根据相似三角形的性质可得 = , = ,从 而可得 + = + =1.然后把 AB=1,CD=3 代入即可求出 EF 的值. 解答:解:∵AB、CD、EF 都与 BD 垂直, ∴AB∥CD∥EF, ∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD, ∴ = , = , ∴ + = + = =1. ∵AB=1,CD=3, ∴ + =1, ∴EF= . 故选 C. 点评: 本题主要考查的是相似三角形的判定与性质,发现 + =1 是解决本题的关键.
8.(3 分)(2015•株洲)有两个一元二次方程 M:ax2+bx+c=0;N:cx2+bx+a=0,其中 a•c≠0,a≠c.下列四 个结论中,错误的是( ) A. 如果方程 M 有两个相等的实数根,那么方程 N 也有两个相等的实数根 B. 如果方程 M 的两根符号相同,那么方程 N 的两根符号也相同 C. 如果 5 是方程 M 的一个根,那么 是方程 N 的一个根 D. 如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根,那么这个根必是 x=1 考点:根的判别式;一元二次方程的解;根与系数的关系.菁优网版 权所有 分析:利用根的判别式判断 A;利用根与系数的关系判断 B;利用一元二次方程的解的定义 判断 C 与 D. 解答:解:A、如果方程 M 有两个相等的实数根,那么△=b2﹣4ac=0,所以方程 N 也有两个 相等的实数根,结论正确,不符合题意; B、如果方程 M 的两根符号相同,那么方程 N 的两根符号也相同,那么△=b2﹣4ac≥0, >0,所以 a 与 c 符号相同, >0,所以方程 N 的两根符号也相同,结论正确,不 符合题意; C、如果 5 是方程 M 的一个根,那么 25a+5b+c=0,两边同时除以 25,得 c+ b+a=0, 所以 是方程 N 的一个根,结论正确,不符合题意; D、如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根,那么 ax2+bx+c=cx2+bx+a,(a﹣c)x2=a﹣c, 由 a≠c,得 x2=1,x=±1,结论错误,符合题意; 故选 D. 点评:本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系:△>0⇔方程有两个不相等的 实数根;△=0⇔方程有两个相等的实数根;△<0⇔方程没有实数根.也考查了根与 系数的关系,一元二次方程的解的定义. 二.填空题(每小题 3 分,共 24 分) 9.(3 分)(2015•株洲)如果手机通话每分钟收费 m 元,那么通话 n 分钟收费 mn 元. 考点:列代数式.菁优网版 权所有 分析:通话时间×通话单价=通话费用. 解答:解:依题意得 通话 n 分钟收费为:mn. 故答案是:mn. 点评:本题考查了列代数式.解决问题的关键是读懂题意,找到所求的量的等量关系. 10.(3 分)(2015•株洲)在平面直角坐标系中,点(﹣3,2)关于 y 轴的对称点的坐标是 (3,2) . 考点:关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标.菁优网版 权所有 分析:根据关于 y 轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数,可得答案. 解答:解:在平面直角坐标系中,点(﹣3,2)关于 y 轴的对称点的坐标是(3,2), 故答案为:(3,2). 点评:本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标
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