2015 年湖南省株洲市中考数学真题及答案
一.选择题(每小题 3 分,共 24 分)
1.(3 分)(2015•株洲)2 的相反数是(
A. ﹣2
B. 2
)
C.
﹣
D.
2.(3 分)(2015•株洲)已知∠α=35°,那么∠α的余角等于(
)
A. 35°
B. 55°
C. 65°
D. 145°
3.(3 分)(2015•株洲)下列等式中,正确的是(
)
A. 3a﹣2a=1
B. a2•a3=a5
C. (﹣2a3)2=﹣4a6 D. (a﹣b)2=a2﹣b2
4.(3 分)(2015•株洲)下列几何图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(
)
A. 等腰三角形
B. 正三角形
C. 平行四边形
D. 正方形
5.(3 分)(2015•株洲)从 2,3,4,5 中任意选两个数,记作 a 和 b,那么点(a,b)在函数 y= 图象上
的概率是(
)
A.
B.
C.
D.
6.(3 分)(2015•株洲)如图,圆 O 是△ABC 的外接圆,∠A=68°,则∠OBC 的大小是(
)
A. 22°
B. 26°
C. 32°
D. 68°
7.(3 分)(2015•株洲)如图,已知 AB、CD、EF 都与 BD 垂直,垂足分别是 B、D、F,且 AB=1,CD=3,那么
EF 的长是(
)
A.
B.
C.
D.
8.(3 分)(2015•株洲)有两个一元二次方程 M:ax2+bx+c=0;N:cx2+bx+a=0,其中 a•c≠0,a≠c.下列四
个结论中,错误的是(
)
A. 如果方程 M 有两个相等的实数根,那么方程 N 也有两个相等的实数根
B. 如果方程 M 的两根符号相同,那么方程 N 的两根符号也相同
C.
如果 5 是方程 M 的一个根,那么 是方程 N 的一个根
D. 如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根,那么这个根必是 x=1
二.填空题(每小题 3 分,共 24 分)
9.(3 分)(2015•株洲)如果手机通话每分钟收费 m 元,那么通话 n 分钟收费
元.
10.(3 分)(2015•株洲)在平面直角坐标系中,点(﹣3,2)关于 y 轴的对称点的坐标是
.
11.(3 分)(2015•株洲)如图,l∥m,∠1=120°,∠A=55°,则∠ACB 的大小是
.
12.(3 分)(2015•株洲)某大学自主招生考试只考数学和物理.计算综合得分时,按数学占 60%,物理占
40%计算.已知孔明数学得分为 95 分,综合得分为 93 分,那么孔明物理得分是
分.
13.(3 分)(2015•株洲)因式分解:x2(x﹣2)﹣16(x﹣2)=
.
14.(3 分)(2015•株洲)已知直线 y=2x+(3﹣a)与 x 轴的交点在 A(2,0)、B(3,0)之间(包括 A、B
两点),则 a 的取值范围是
.
15.(3 分)(2015•株洲)如图是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形,
四边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形.如果 AB=10,EF=2,那么 AH 等于
.
16.(3 分)(2015•株洲)“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式,公式表达式为 S=a+ ﹣
1,孔明只记得公式中的 S 表示多边形的面积,a 和 b 中有一个表示多边形边上(含顶点)的整点个数,另
一个表示多边形内部的整点个数,但不记得究竟是 a 还是 b 表示多边形内部的整点个数,请你选择一些特
殊的多边形(如图 1)进行验证,得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是
个公式求得图 2 中多边形的面积是
.
,并运用这
三.解答题(共 7 小题,共 52 分)
17.(4 分)(2015•株洲)计算:|﹣3|+(2015﹣π)0﹣2sin30°.
18.(4 分)(2015•株洲)先化简,再求值:(
﹣
)•
,其中 x=4.
19.(6 分)(2015•株洲)为了举行班级晚会,孔明准备去商店购买 20 个乒乓球做道具,并买一些乒乓球拍
做奖品.已知乒乓球每个 1.5 元,球拍每个 22 元.如果购买金额不超过 200 元,且买的球拍尽可能多,那
么孔明应该买多少个球拍?
20.(6 分)(2015•株洲)某学校举行一次体育测试,从所有参加测试的中学生中随机的抽取 10 名学生的成
绩,制作出如下统计表和条形图,请解答下列问题:
(1)孔明同学这次测试的成绩是 87 分,则他的成绩等级是
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)已知该校所有参加这次测试的学生中,有 60 名学生成绩是 A 等,请根据以上抽样结果,估计该校参
加这次测试的学生总人数是多少人.
等;
编号 成绩 等级 编号 成绩 等级
①
②
③
④
⑤
95
78
72
79
92
A
B
C
B
A
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
76
85
82
77
69
B
A
B
B
C
21.(6 分)(2015•株洲)P 表示 n 边形对角线的交点个数(指落在其内部的交点),如果这些交点都不重合,
那么 P 与 n 的关系式是
P=
(n2﹣an+b)(其中 a,b 是常数,n≥4)
(1)填空:通过画图可得:
四边形时,P=
(2)请根据四边形和五边形对角线的交点个数,结合关系式,求 a 和 b 的值.(注:本题中的多边形均指
凸多边形)
(填数字);五边形时,P=
(填数字)
22.(8 分)(2015•株洲)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BD 是△ABC 的一条角平分线.点 O、E、F 分别
在 BD、BC、AC 上,且四边形 OECF 是正方形.
(1)求证:点 O 在∠BAC 的平分线上;
(2)若 AC=5,BC=12,求 OE 的长.
23.(8 分)(2015•株洲)已知 AB 是圆 O 的切线,切点为 B,直线 AO 交圆 O 于 C、D 两点,CD=2,∠DAB=30°,
动点 P 在直线 AB 上运动,PC 交圆 O 于另一点 Q.
(1)当点 P 运动到使 Q、C 两点重合时(如图 1),求 AP 的长;
(2)点 P 在运动过程中,有几个位置(几种情况)使△CQD 的面积为 ?(直接写出答案)
(3)当△CQD 的面积为 ,且 Q 位于以 CD 为直径的上半圆,CQ>QD 时(如图 2),求 AP 的长.
2015 年湖南省株洲市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(每小题 3 分,共 24 分)
1.(3 分)(2015•株洲)2 的相反数是(
A. ﹣2
B. 2
)
C.
﹣
D.
考点:相反数. 菁优网版 权所有
分析:根据相反数的定义即可求解.
解答:解:2 的相反数等于﹣2.
故选 A.
点评:本题考查了相反数的知识,属于基础题,注意熟练掌握相反数的概念是关键.
2.(3 分)(2015•株洲)已知∠α=35°,那么∠α的余角等于(
)
A. 35°
B. 55°
C. 65°
D. 145°
考点:余角和补角. 菁优网版 权所有
分析:根据余角的定义:如果两个角的和等于 90°(直角),就说这两个角互为余角计算.
解答:解:∵∠α=35°,
∴它的余角等于 90°﹣35°=55°.
故选 B.
点评:本题考查了余角的定义,解题时牢记定义是关键.
3.(3 分)(2015•株洲)下列等式中,正确的是(
)
A. 3a﹣2a=1
B. a2•a3=a5
C. (﹣2a3)2=﹣4a6 D. (a﹣b)2=a2﹣b2
考点:幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法;完全平方公式.菁优网版 权所有
分析:结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公
式等运算,然后选择正确选项.
解答:解:A、3a﹣2a=a,原式计算错误,故本选项错误;
B、a2•a3=a5,原式计算正确,故本选项正确;
C、(﹣2a3)2=4a6,原式计算错误,故本选项错误;
D、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,原式计算错误,故本选项错误.
故选 B.
点评:本题考查了幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式等知
识,掌握运算法则是解答本题关键.
4.(3 分)(2015•株洲)下列几何图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(
)
A. 等腰三角形
B. 正三角形
C. 平行四边形
D. 正方形
考点:中心对称图形;轴对称图形.菁优网版 权所有
分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
解答:解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误;
C、不是轴对称图形,是中心对称图形.故错误;
D、既是轴对称图形,又是中心对称图形.故正确.
故选 D.
点评:本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图
形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后与
原图重合.
5.(3 分)(2015•株洲)从 2,3,4,5 中任意选两个数,记作 a 和 b,那么点(a,b)在函数 y= 图象上
的概率是(
)
A.
B.
C.
D.
考点:列表法与树状图法;反比例函数图象上点的坐标特征. 菁优网版 权所有
分析:首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与点(a,b)在函数
y= 图象上的情况,再利用概率公式即可求得答案.
解答:解:画树状图得:
∵共有 12 种等可能的结果,点(a,b)在函数 y= 图象上的有(3,4),(4,3);
∴点(a,b)在函数 y= 图象上的概率是: = .
故选 D.
点评:此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况
数之比.
6.(3 分)(2015•株洲)如图,圆 O 是△ABC 的外接圆,∠A=68°,则∠OBC 的大小是(
)
A. 22°
B. 26°
C. 32°
D. 68°
考点:圆周角定理. 菁优网版 权所有
分析:先根据圆周角定理求出∠BOC 的度数,再根据等腰三角形的性质即可得出结论.
解答:解:∵∠A 与∠BOC 是同弧所对的圆周角与圆心角,∠A=68°,
∴∠BOC=2∠A=136°.
∵OB=OC,
∴∠OBC=
故选 A.
=22°.
点评:本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都
等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.
7.(3 分)(2015•株洲)如图,已知 AB、CD、EF 都与 BD 垂直,垂足分别是 B、D、F,且 AB=1,CD=3,那么
EF 的长是(
)
A.
B.
C.
D.
考点:相似三角形的判定与性质. 菁优网版 权所有
分析:
易证△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD,根据相似三角形的性质可得 = , = ,从
而可得 +
=
+
=1.然后把 AB=1,CD=3 代入即可求出 EF 的值.
解答:解:∵AB、CD、EF 都与 BD 垂直,
∴AB∥CD∥EF,
∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD,
∴ = , = ,
∴ +
=
+
=
=1.
∵AB=1,CD=3,
∴ +
=1,
∴EF= .
故选 C.
点评:
本题主要考查的是相似三角形的判定与性质,发现 +
=1 是解决本题的关键.
8.(3 分)(2015•株洲)有两个一元二次方程 M:ax2+bx+c=0;N:cx2+bx+a=0,其中 a•c≠0,a≠c.下列四
个结论中,错误的是(
)
A. 如果方程 M 有两个相等的实数根,那么方程 N 也有两个相等的实数根
B. 如果方程 M 的两根符号相同,那么方程 N 的两根符号也相同
C.
如果 5 是方程 M 的一个根,那么 是方程 N 的一个根
D. 如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根,那么这个根必是 x=1
考点:根的判别式;一元二次方程的解;根与系数的关系.菁优网版 权所有
分析:利用根的判别式判断 A;利用根与系数的关系判断 B;利用一元二次方程的解的定义
判断 C 与 D.
解答:解:A、如果方程 M 有两个相等的实数根,那么△=b2﹣4ac=0,所以方程 N 也有两个
相等的实数根,结论正确,不符合题意;
B、如果方程 M 的两根符号相同,那么方程 N 的两根符号也相同,那么△=b2﹣4ac≥0,
>0,所以 a 与 c 符号相同, >0,所以方程 N 的两根符号也相同,结论正确,不
符合题意;
C、如果 5 是方程 M 的一个根,那么 25a+5b+c=0,两边同时除以 25,得 c+ b+a=0,
所以 是方程 N 的一个根,结论正确,不符合题意;
D、如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根,那么 ax2+bx+c=cx2+bx+a,(a﹣c)x2=a﹣c,
由 a≠c,得 x2=1,x=±1,结论错误,符合题意;
故选 D.
点评:本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系:△>0⇔方程有两个不相等的
实数根;△=0⇔方程有两个相等的实数根;△<0⇔方程没有实数根.也考查了根与
系数的关系,一元二次方程的解的定义.
二.填空题(每小题 3 分,共 24 分)
9.(3 分)(2015•株洲)如果手机通话每分钟收费 m 元,那么通话 n 分钟收费 mn 元.
考点:列代数式.菁优网版 权所有
分析:通话时间×通话单价=通话费用.
解答:解:依题意得 通话 n 分钟收费为:mn.
故答案是:mn.
点评:本题考查了列代数式.解决问题的关键是读懂题意,找到所求的量的等量关系.
10.(3 分)(2015•株洲)在平面直角坐标系中,点(﹣3,2)关于 y 轴的对称点的坐标是 (3,2) .
考点:关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标.菁优网版 权所有
分析:根据关于 y 轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数,可得答案.
解答:解:在平面直角坐标系中,点(﹣3,2)关于 y 轴的对称点的坐标是(3,2),
故答案为:(3,2).
点评:本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标