2013 年辽宁省鞍山市中考数学真题及答案
一.选择题(共 8 小题,每小题 2 分,满分 16 分)
1.(2013 鞍山)3﹣1 等于(
)
A.3
B.﹣ C.﹣3
D.
考点:负整数指数幂.
专题:计算题.
分析:根据负整数指数幂:a﹣p= (a≠0,p 为正整数),进行运算即可.
解答:解:3﹣1= .
故选 D.
点评:此题考查了负整数指数幂,属于基础题,关键是掌握负整数指数幂的运算法则.
2.(2013 鞍山)一组数据 2,4,5,5,6 的众数是(
)
A.2
B.4
C.5
D.6
考点:众数.
分析:根据众数的定义解答即可.
解答:解:在 2,4,5,5,6 中,5 出现了两次,次数最多,
故众数为 5.
故选 C.
点评:此题考查了众数的概念﹣﹣﹣﹣一组数据中,出现次数最多的数位众数,众数可以有多个.
3.(2013 鞍山)如图,已知 D、E 在△ABC 的边上,DE∥BC,∠B=60°,∠AED=40°,则∠A 的度数为(
)
A.100°
B.90° C.80° D.70°
考点:平行线的性质;三角形内角和定理.
专题:探究型.
分析:先根据平行线的性质求出∠C 的度数,再根据三角形内角和定理求出∠A 的度数即可.
解答:解:∵DE∥BC,∠AED=40°,
∴∠C=∠AED=40°,
∵∠B=60°,
∴∠A=180°﹣∠C﹣∠B=180°﹣40°﹣60°=80°.
故选 C.
点评:本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理,先根据平行线的性质求出∠C 的度数是解答此题的
关键.
4.(2013 鞍山)要使式子
有意义,则 x 的取值范围是(
)
A.x>0 B.x≥﹣2
C.x≥2 D.x≤2
考点:二次根式有意义的条件.
分析:根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解.
解答:解:根据题意得,2﹣x≥0,
解得 x≤2.
故选 D.
点评:本题考查的知识点为:二次根式的被开方数是非负数.
5.(2013 鞍山)已知:如图,OA,OB 是⊙O 的两条半径,且 OA⊥OB,点 C 在⊙O 上,则∠ACB 的度数为
(
)
A.45° B.35° C.25° D.20°
考点:圆周角定理.
专题:探究型.
分析:直接根据圆周角定理进行解答即可.
解答:解:∵OA⊥OB,
∴∠AOB=90°,
∴∠ACB= ∠AOB=45°.
故选 A.
点评:本题考查的是圆周角定理,即在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对
的圆心角的一半.
6.(2013 鞍山)已知 b<0,关于 x 的一元二次方程(x﹣1)2=b 的根的情况是(
)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.有两个实数根
考点:解一元二次方程-直接开平方法.
分析:根据直接开平方法可得 x﹣1=± ,被开方数应该是非负数,故没有实数根.
解答:解:∵(x﹣1)2=b 中 b<0,
∴没有实数根,
故选:C.
点评:此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法,根据法则:要把方程化为“左平方,右常数,先
把系数化为 1,再开平方取正负,分开求得方程解”来求解.
7.(2013 鞍山)甲、乙、丙、丁四位选手各 10 次射击成绩的平均数和方差如下表:
则这四人中成绩发挥最稳定的是(
)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
考点:方差.
专题:图表型.
分析:根据方差的定义,方差越小数据越稳定.
2>S 乙
2,方差最小的为乙,所以本题中成绩比较稳定的是乙.
解答:解:因为 S 甲
故选 B.
点评:本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均
数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数
越小,即波动越小,数据越稳定.
8.(2013 鞍山)如图所示的抛物线是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列结论:①abc>0;②b+2a=0;
③抛物线与 x 轴的另一个交点为(4,0);④a+c>b;⑤3a+c<0.
其中正确的结论有(
2>S 丁
2>S 丙
)
A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个
考点:二次函数图象与系数的关系.
分析:由开口方向、与 y 轴交于负半轴以及对称轴的位置,即可确定 a,b,c 的正负;由对称轴 x=﹣ =1,
可得 b+2a=0;由抛物线与 x 轴的一个交点为(﹣2,0),对称轴为:x=1,可得抛物线与 x 轴的另一个交点
为(4,0);当 x=﹣1 时,y=a﹣b+c<0;a﹣b+c<0,b+2a=0,即可得 3a+c<0.
解答:解:∵开口向上,
∴a>0,
∵与 y 轴交于负半轴,
∴c<0,
∵对称轴 x=﹣ >0,
∴b<0,
∴abc>0;
故①正确;
∵对称轴 x=﹣ =1,
∴b+2a=0;
故②正确;
∵抛物线与 x 轴的一个交点为(﹣2,0),对称轴为:x=1,
∴抛物线与 x 轴的另一个交点为(4,0);
故③正确;
∵当 x=﹣1 时,y=a﹣b+c<0,
∴a+c<b,
故④错误;
∵a﹣b+c<0,b+2a=0,
∴3a+c<0;
故⑤正确.
故选 B.
点评:主要考查图象与二次函数系数之间的关系.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
二.填空题(共 8 小题,每小题 2 分,满分 16 分)
9.(2013 鞍山)分解因式:m2﹣10m=
考点:因式分解-提公因式法.
分析:直接提取公因式 m 即可.
解答:解:m2﹣10m=m(m﹣10),
故答案为:m(m﹣10).
点评:此题主要考查了提公因式法分解因式,关键是找准公因式.
10.(2013 鞍山)如图,∠A+∠B+∠C+∠D=
度.
.
考点:多边形内角与外角.
分析:根据四边形内角和等于 360°即可求解.
解答:解:由四边形内角和等于 360°,可得∠A+∠B+∠C+∠D=360 度.
故答案为:360.
点评:考查了四边形内角和等于 360°的基础知识.
11.(2013 鞍山)在一次函数 y=kx+2 中,若 y 随 x 的增大而增大,则它的图象不经过第
考点:一次函数图象与系数的关系.
专题:探究型.
分析:先根据函数的增减性判断出 k 的符号,再根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可.
解答:解:∵在一次函数 y=kx+2 中,y 随 x 的增大而增大,
∴k>0,
∵2>0,
∴此函数的图象经过一、二、三象限,不经过第四象限.
故答案为:四.
点评:本题考查的是一次函数的图象与系数的关系,即一次函数 y=kx+b(k≠0)中,当 k>0,b>0 时,函
数的图象经过一、二、三象限.
象限.
12.(2013 鞍山)若方程组
,则 3(x+y)﹣(3x﹣5y)的值是
.
考点:解二元一次方程组.
专题:整体思想.
分析:把(x+y)、(3x﹣5y)分别看作一个整体,代入进行计算即可得解.
解答:解:∵
,
∴3(x+y)﹣(3x﹣5y)=3×7﹣(﹣3)=21+3=24.
故答案为:24.
点评:本题考查了解二元一次方程组,计算时不要盲目求解,利用整体思想代入计算更加简单.
13.(2013 鞍山)△ABC 中,∠C=90°,AB=8,cosA= ,则 BC 的长
.
考点:锐角三角函数的定义;勾股定理.
分析:首先利用余弦函数的定义求得 AC 的长,然后利用勾股定理即可求得 BC 的长.
解答:解:∵cosA= ,
∴AC=AB•cosA=8× =6,
∴BC=
=
=2 .
故答案是:2 .
点评:本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比
斜边,正切为对边比邻边.
14.(2013 鞍山)刘谦的魔术表演风靡全国,小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒,当任意实数对(a,b)
进入其中时,会得到一个新的实数:a2+b﹣1,例如把(3,﹣2)放入其中,就会得到 32+(﹣2)﹣1=6.现
将实数对(﹣1,3)放入其中,得到实数 m,再将实数对(m,1)放入其中后,得到实数是
考点:代数式求值.
专题:应用题.
分析:观察可看出未知数的值没有直接给出,而是隐含在题中,需要找出规律,代入求解.
解答:解:根据所给规则:m=(﹣1)2+3﹣1=3
∴最后得到的实数是 32+1﹣1=9.
点评:依照规则,首先计算 m 的值,再进一步计算即可.隐含了整体的数学思想和正确运算的能力.
15.(2013 鞍山)如图,两根铁棒直立于桶底水平的木桶中,在桶中加入水后,一根露出水面的长度是它的
.
,另一根露出水面的长度是它的 .两根铁棒长度之和为 220cm,此时木桶中水的深度是
cm.
考点:二元一次方程组的应用.
分析:设较长铁棒的长度为 xcm,较短铁棒的长度为 ycm.因为两根铁棒之和为 220cm,故可的方程:x+y=220,
又知两棒未露出水面的长度相等,又可得方程 x= y,把两个方程联立,组成方程组,解方程组可得较长
的铁棒的长度,用较长的铁棒的长度× 可以求出木桶中水的深度.
解答:解:设较长铁棒的长度为 xcm,较短铁棒的长度为 ycm.
因为两根铁棒之和为 220cm,故可列 x+y=220,
又知两棒未露出水面的长度相等,故可知 x= y,
据此可列:
,
解得:
,
因此木桶中水的深度为 120× =80(cm).
故答案为:80.
点评:此题主要考查了二元一次方程组的应用,关键是弄清题意,找出合适的等量关系,列出方程组.
16.(2013 鞍山)如图,D 是△ABC 内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、
BD 的中点,则四边形 EFGH 的周长是
.
考点:三角形中位线定理;勾股定理.
分析:利用勾股定理列式求出 BC 的长,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出
EH=FG= AD,EF=GH= BC,然后代入数据进行计算即可得解.
解答:解:∵BD⊥CD,BD=4,CD=3,
∴BC=
=
=5,
∵E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点,
∴EH=FG= AD,EF=GH= BC,
∴四边形 EFGH 的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC,
又∵AD=6,
∴四边形 EFGH 的周长=6+5=11.
故答案为:11.
点评:本题考查了三角形的中位线定理,勾股定理的应用,熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第
三边的一半是解题的关键.
三.计算题(共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分)
17.(2013 鞍山)先化简,再求值:
,其中 x=
.
考点:分式的化简求值.
专题:计算题.
分析:将括号内的部分通分后相减,再将除法转化为后解答.
解答:解:原式= ÷(
﹣
)﹣1
= ÷
﹣1
=
=
•
﹣1
﹣1.
当 x=
时,原式=
﹣1,
= ﹣1
= ﹣1.
点评:本题考查了分式的化简求值,能正确进行因式分解是解题的关键.
18.(2013 鞍山)某商场购进一批单价为 4 元的日用品.若按每件 5 元的价格销售,每月能卖出 3 万件;若
按每件 6 元的价格销售,每月能卖出 2 万件,假定每月销售件数 y(件)与价格 x(元/件)之间满足一次
函数关系.
(1)试求 y 与 x 之间的函数关系式;
(2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少?
考点:二次函数的应用.
分析:(1)利用待定系数法求得 y 与 x 之间的一次函数关系式;
(2)根据“利润=(售价﹣成本)×售出件数”,可得利润 W 与销售价格 x 之间的二次函数关系式,然后
求出其最大值.
解答:解:(1)由题意,可设 y=kx+b,
把(5,30000),(6,20000)代入得:
,
解得:
,
所以 y 与 x 之间的关系式为:y=﹣10000x+80000;
(2)设利润为 W,则 W=(x﹣4)(﹣10000x+80000)
=﹣10000(x﹣4)(x﹣8)
=﹣10000(x2﹣12x+32)
=﹣10000[(x﹣6)2﹣4]
=﹣10000(x﹣6)2+40000
所以当 x=6 时,W 取得最大值,最大值为 40000 元.
答:当销售价格定为 6 元时,每月的利润最大,每月的最大利润为 40000 元.
点评:本题主要考查利用函数模型(二次函数与一次函数)解决实际问题的能力.要先根据题意列出函数
关系式,再代数求值.解题关键是要分析题意根据实际意义求解.注意:数学应用题来源于实践用于实践,
在当今社会市场经济的环境下,应掌握一些有关商品价格和利润的知识.
四.应用题(共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分)
19.(2013 鞍山)小明和小亮玩一种游戏:三张大小,质地都相同的卡片上分别标有数字 1,2,3,现将标
有数字的一面朝下,小明从中任意抽取一张,记下数字后放回洗匀,然后小亮从中任意抽取一张,计算小
明和小亮抽得的两个数字之和,如果和为奇数,则小明胜,若和为偶数则小亮胜.
(1)用列表或画树状图等方法,列出小明和小亮抽得的数字之和所有可能出现的情况.
(2)请判断该游戏对双方是否公平?并说明理由.
考点:游戏公平性;列表法与树状图法.
分析:(1)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件
的概率.
(2)游戏是否公平,求出游戏双方获胜的概率,比较是否相等即可
解答:解:法一,列表
法二,画树形图
(1)从上面表中(树形图)可看出小明和小亮抽得的数字之和可能有是:2,3,4,5,6;
(2)因为和为偶数有 5 次,和为奇数有 4 次,所以 P(小明胜)= ,P(小亮胜)= ,
所以:此游戏对双方不公平.
点评:本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可
能的结果,适合于两步完成的事件.游戏双方获胜的概率相同,游戏就公平,否则游戏不公平.用到的知
识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
20.(2013 鞍山)如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾斜度由 45°降为
30°,已知原滑滑板 AB 的长为 5 米,点 D、B、C 在同一水平地面上.
求:改善后滑滑板会加长多少?(精确到 0.01)(参考数据: =1.414, =1.732, =2.449)
考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
分析:在 Rt△ABC 中,根据 AB=5 米,∠ABC=45°,求出 AC 的长度,然后在 Rt△ADC 中,解直角三角形求
AD 的长度,用 AD﹣AB 即可求出滑板加长的长度.
解答:解:在 Rt△ABC 中,
∵AB=5,∠ABC=45°,