2013 年辽宁省沈阳市中考数学真题及答案
(满分 150 分,考试时间 120 分钟)
参考公式:抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点是(-
b
2a,
2
4ac-b
4a
),对称轴是直线 x=-
b
2a.
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个答案是正确的.每小题 3 分,共 24 分)
1. (2013 沈阳,1,3 分)2013 年第一季度,沈阳市公共财政预算收入完成 196 亿元(数据来源:4 月 16
日《沈阳日报》),将 196 亿用科学记数法表示为
A.1.96×108
B. 19.6×108
C. 1.96×1010
D. 19.6×1010
【答案】 C
2. (2013 沈阳,2,3 分)右图是一个几何体的三视图,这个几何体的名称是
A.圆柱体
B.三棱柱
C.球体
D.圆锥体
主视图
左视图
俯视图
【答案】A
3.(2013 沈阳,3,3 分)下面的计算一定正确的是
A.b3+b3=2b6
B.(-3pq)2=-9p2q2
C.5y3·3y5=15y8
D.b9÷b3=b3
【答案】C
4.(2013 沈阳,4,3 分)如果 m= 7 -1,那么 m 的取值范围是
A.0
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
A.
B.
C.
D.
【答案】C
8.( 2013 沈阳,8,3 分)如图,△ABC 中,AE 交 BC 于点 D,∠C=∠E,AD=4,BC=8,BD:DC=5:3,则 DE 的
长等于
A. 20
3
A
B. 15
4
C.16
3
D.17
4
B
C
D
E
.
【答案】B
二、填空题(每小题 4 分,满分 32 分.)
9. (2013 沈阳,9,4 分)分解因式:3a2+6a+3=
【答案】3(a+1)2
10.( 2013 沈阳,10,4 分)一组数据 2,4,x,-1 的平均数为 3,则 x的值是
【答案】7
11.( 2013 沈阳,11,4 分)在平面直角坐标系中,点 M(-3,2)关于原点的对称点的坐标是
【答案】(3,-2)
12.( 2013 沈阳,12,4 分)若关于 x 的一元二次方程 x2+4x+a=0 有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围
是
【答案】a<4
13.( 2013 沈阳,13,4 分)如果 x=1 时,代数式 2ax3+3bx+4 的值是 5,那么 x=-1 时,代数式 2ax3+3bx+4
的值是
【答案】3
14.( 2013 沈阳,14,4 分)如图,点 A、B、C、D 都在⊙O 上,∠ABC=90°,AD=3,CD=2,则⊙O 的直径的长
是
.
.
.
.
.
A
O
B
D
C
【答案】 13
15.(2013 沈阳,15,4 分)有一组等式:12+22+22=32,22+32+62=72,32+42+122=132,42+52+202=212……请你观
察它们的构成规律,用你发现的规律写出第 8 个等式为
【答案】82+92+722=732
16.(2013 沈阳,16,4 分)已知等边三角形 ABC 的高为 4,在这个三角形所在的平面内有一点 P,若
点 P 到 AB 的距离是 1,点 P 到 AC 的距离是 2,则点 P 到 BC 的最小距离和最大距离分别是
【答案】1,7
三、解答题(第 17、18 小题各 8 分,第 19 小题 10 分,共 26 分)
.
.
17.(2013 沈阳,17,8 分)计算: (1
2
1
【答案】22-6× 2
+1+2 2 -2=2 2
) -2-6sin30°+(-2)0+|2- 8 |.
18.(2013 沈阳,18,8 分)一家食品公司将一种新研发的食品免费送给一些人品尝,并让每个人按 A(不
喜欢)、B(一般)、C(比较喜欢)、D(非常喜欢)四个等级对该食品进行评价,图①和图②是该公司采集数
据后,绘制的两幅不完整的统计图.
人数(人)
80 -
60 -
40 -
20 -
O
20
A
46
B
图②
64
C
D
等级
C:a%
D:32%
A:10%
B:23%
图①
人;
请你根据以上统计图提供的信息,回答下列问题:
(1)本次调查的人数为
(2)图①中,a =
(3)请直接在答题卡中补全条形统计图.
【答案】(1)200;
(2) 35,126
(3)
,C 等级所占的圆心角的度数为
度;
人数(人)
80 -
60 -
40 -
20 -
O
20
A
46
B
图②
70
64
C
D
等级
19. (2013 沈阳,19,10 分)如图,△ABC 中,AB=BC,BE⊥AC 于点 E,AD⊥BC 于点 D,,AD 与 BE 交于点 F,
连接 CF.
(1)求证:BF=2AE;
(2)若 CD= 2 ,求 AD 的长.
A
F
E
B
D
C
【答案】(1)证明:∵AD⊥BC, ∠BAD=45°,
∴∠ABD=∠BAD=45°.
∴AD=BD,
∵AD⊥BC, BE⊥AC,
∴∠CAD+∠ACD=90°,
∠CBE +∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠CBE.
又∵∠CDA=∠BDF=90°,
∴△ADC≌△BDF.
∴AC=BF.
∵AB=BC,BE⊥AC,
∴AE=EC 即 AC=2AE,
∴BF=2AE;
(2)解:∵△ADC≌△BDF
∴DF=CD= 2 ,
∴在 Rt△CDF 中,CF=
DF
2 CD
+
2
2=
,
∵BE⊥AC, AE=EC,
∴AF=FC=2,
∴AD=AF+DF=2+ 2 .
四、(每小题 10 分,共 20 分)
20.(2013 沈阳,20,10 分)在一个不透明的盒子中放有三张卡片,每张卡片上写有一个实数,分别为 3,
2 , 2 +6.(卡片除了实数不同外,其余均相同)
(1)从盒子中随机抽取一张卡片,请直接写出卡片上实数是 3 的概率;
(2)先从盒子中随机抽取一张卡片,将卡片上的实数作为被减数; 卡片不放回,再随机抽取一张卡片,
将卡片上的实数作为减数.请你用列表法或树状图(树形图)法,求出两次抽取的卡片上的实数之差为有理
数的概率.
1
【答案】(1) 3
(2)画树状图得:
3
2
2 +6
2
2 +6
3
2 +6
3
2
开
始
由树状图可知,共有 6 种可能出现的结果,每种结果出现的可能性相同,其中两次抽取的卡片上的实数之
差为有理数的结果有两种,因此,两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率是
2
6
=
1
3
.
五、(本题 10 分)
21.(2013 沈阳,21,10 分)身高 1.65 米的兵兵在建筑物前放风筝,风筝不小心挂在了树上.在如图所示
的平面图形中,矩形 CDEF 代表建筑物,兵兵位于建筑物上方的树枝点 B 处,风筝挂在建筑物上方的树枝点
G 处(点 G 在 FE 的延长线上).经测量,兵兵与建筑物的距离 BC=5 米,建筑物底部宽 FC=7 米,风筝所在点
G 与建筑物顶点 D 及风筝线在手中的点 A 在同一条直线上,点 A 距地面的高度 AB=1.4 米,风筝线与水平线
夹角为 37°.
(1)求风筝距地面的高度 GF;
(2)在建筑物后面有长 5 米的梯子 MN,梯脚 M 在距墙 3 米处固定摆放,通过计算说明:若兵兵充分利用梯子
和一根 5 米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝?
(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
G
E
N
M
F
D
C
37°
A
B
【答案】(1)过点 A 作 AP⊥GP 于 P,由题意得 AP=BF=12,AB=PF=14,∠GAP=37°
GP
在 Rt△PAG 中,tan∠GAP= AP
,
∴GP=AP·tan37°≈12×0.75=9,
∴GF=GP+PF=9+1.4=10.4.
答:风筝距地面的高度为 10.4 米.
(2)由题意可知 MN=5,MF=3,
∴在 Rt△MNF 中,NF=
MN -
2 MF
4=2
,
∵10.4-5-1.65=3.75<4
∴能触到挂在树上的风筝.
22.(2013 沈阳,22,10 分)如图,OC 平分∠MON,点 A 在射线 OC 上,以点 A 为圆心,半径为 2 的⊙A 与
OM 相切于点 B,连接 BA 并延长交⊙A 于点 D,交 ON 于点 E.
(1)求证:ON 是⊙A 的切线;
(2)若∠MON=60°,求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
O
B
A
D
E
M
N
C
【答案】(1)证明:过点 A 作 AF⊥ON 于 F.
∵⊙A 与 OM 相切于点 B,
∴AB⊥OM,
∵OC 平分∠MON,
∴AF=AB=2,
∴ON 是⊙A 的切线;
(2) ∵∠MON=60°,AB⊥OM,
∴∠OEB=30°,
∵AF⊥ON,
∴∠FAE=60°
FE
在 Rt△AEF 中,tan∠FAE= AF
,
,
∴EF=AF·tan60°=
32
1
∴S 阴=S△AEF-S 扇形 ADF= 2
60
AF·EF- 360
πAF2=
32
2
- 3
π
六、(本题 12 分)
23.(2013 沈阳,23,12 分)某市对火车站进行了大规模的改建,改建后的火车站除原有的普通售票窗口
外,新增了自动打印车票的无人售票窗口.某日,从早 8 点开始到上午 11 点,每个普通售票窗口售出的车
票数 y1(张)与售票时间 x(小时)的正比例函数关系满足图①中的图象,每个无人售票窗口售出的车票数
y2(张)与售票时间 x(小时)的函数关系满足图②中的图象.
(1)图②中图象的前半段(含端点)是以原点为顶点的抛物线的一部分,根据图中所给数据确定抛物线的表
达式为
(2)若当天共开放 5 个无人售票窗口,截至上午 9 点,两种窗口共售出的车票数不少于 1450 张,则至少需
要开放多少个普通售票窗口?
(3)上午 10 点时,每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同,试确定图②中图象的后
半段一次函数的表达式.
,其中自变量 x 的取值范围是
;
y2(张)
240 -
180 -
120 -
60
O
1
2
3
x(小时)
图②
y1(张)
240 -
160 -
80
O
2
3
x(小时)
1
图①
3
【答案】(1)y=60x2,0≤x≤ 2
(2)上午 9 点 y1=80,y2=60.
设需要开放 x 个普通售票窗口.
依题意得 80x+60×5≥1450,
3
x≥14 8
.
∵x 为整数,∴x 取 15.
答:至少需要开放 15 个普通售票窗口.、
(3)设 y1= k1x,把(1,80)代入得 80= k1
∴y1= 80x.
当 x=2 时,y1= 160,
上午 10 点,y2= y1=160,
时,y2=135,
,135)、(2,160)
k2+b=135,2k2+b=160,
3
由(1)得当 x= 2
3
∴图②中一次函数过点( 2
设一次函数表达式为 y2= k2x+b,
3
2
解得:k2=50,b=60,
∴一次函数表达式为 y2= 50x+60.
七、(本题 12 分)
24.(2013 沈阳,24,12 分)定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.
性质:如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.
理解:如图①,在△ABC 中,CD 是 AB 边上的中线,那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”,并且 S△ACD=S△BCD.
应用:如图②,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=6,点 E 在 AD 上,点 F 在 BC 上,AE=BF,AF 与 BE 交于点 O.
(1) 求证:△AOB 和△AOE 是“友好三角形”;
(2) 连接 OD,若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”,求四边形 CDOF 的面积.
探究:在△ABC 中,∠A=30°,AB=4, 点 D 在线段 AB 上,连接 CD,△ACD 和△BCD 是“友好三角形”,将
1
△ACD 沿 CD 所在直线翻折,得到△A′CD,若△A′CD 与△ABC 重合部分的面积等于△ABC 面积的 4
,请直
A
B
E
O
F
图②
D
C
接写出△ABC 的面积.
C
A
B
D
图①
【答案】(1)证明:∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴AD∥BC,
∴∠EAO=∠BFO,
又∵∠AOE=∠FOB,AE=BF,
∴△AOE≌△FOB,
∴EO=BO.
∴△AOB 和△AOE 是“友好三角形”.
(2)∵△AOE 和△DOE 是“友好三角形”,
1
∴S△AOE=S△DOE,AE=ED= 2
AD=3.