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2013年辽宁省沈阳市中考数学真题及答案.doc

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2013 年辽宁省沈阳市中考数学真题及答案 (满分 150 分,考试时间 120 分钟) 参考公式:抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点是(- b 2a, 2 4ac-b 4a ),对称轴是直线 x=- b 2a. 一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个答案是正确的.每小题 3 分,共 24 分) 1. (2013 沈阳,1,3 分)2013 年第一季度,沈阳市公共财政预算收入完成 196 亿元(数据来源:4 月 16 日《沈阳日报》),将 196 亿用科学记数法表示为 A.1.96×108 B. 19.6×108 C. 1.96×1010 D. 19.6×1010 【答案】 C 2. (2013 沈阳,2,3 分)右图是一个几何体的三视图,这个几何体的名称是 A.圆柱体 B.三棱柱 C.球体 D.圆锥体 主视图 左视图 俯视图 【答案】A 3.(2013 沈阳,3,3 分)下面的计算一定正确的是 A.b3+b3=2b6 B.(-3pq)2=-9p2q2 C.5y3·3y5=15y8 D.b9÷b3=b3 【答案】C 4.(2013 沈阳,4,3 分)如果 m= 7 -1,那么 m 的取值范围是 A.0
y O x y O x y O x y O x A. B. C. D. 【答案】C 8.( 2013 沈阳,8,3 分)如图,△ABC 中,AE 交 BC 于点 D,∠C=∠E,AD=4,BC=8,BD:DC=5:3,则 DE 的 长等于 A. 20 3 A B. 15 4 C.16 3 D.17 4 B C D E . 【答案】B 二、填空题(每小题 4 分,满分 32 分.) 9. (2013 沈阳,9,4 分)分解因式:3a2+6a+3= 【答案】3(a+1)2 10.( 2013 沈阳,10,4 分)一组数据 2,4,x,-1 的平均数为 3,则 x的值是 【答案】7 11.( 2013 沈阳,11,4 分)在平面直角坐标系中,点 M(-3,2)关于原点的对称点的坐标是 【答案】(3,-2) 12.( 2013 沈阳,12,4 分)若关于 x 的一元二次方程 x2+4x+a=0 有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围 是 【答案】a<4 13.( 2013 沈阳,13,4 分)如果 x=1 时,代数式 2ax3+3bx+4 的值是 5,那么 x=-1 时,代数式 2ax3+3bx+4 的值是 【答案】3 14.( 2013 沈阳,14,4 分)如图,点 A、B、C、D 都在⊙O 上,∠ABC=90°,AD=3,CD=2,则⊙O 的直径的长 是 . . . . .
A O B D C 【答案】 13 15.(2013 沈阳,15,4 分)有一组等式:12+22+22=32,22+32+62=72,32+42+122=132,42+52+202=212……请你观 察它们的构成规律,用你发现的规律写出第 8 个等式为 【答案】82+92+722=732 16.(2013 沈阳,16,4 分)已知等边三角形 ABC 的高为 4,在这个三角形所在的平面内有一点 P,若 点 P 到 AB 的距离是 1,点 P 到 AC 的距离是 2,则点 P 到 BC 的最小距离和最大距离分别是 【答案】1,7 三、解答题(第 17、18 小题各 8 分,第 19 小题 10 分,共 26 分) . . 17.(2013 沈阳,17,8 分)计算: (1 2 1 【答案】22-6× 2 +1+2 2 -2=2 2 ) -2-6sin30°+(-2)0+|2- 8 |. 18.(2013 沈阳,18,8 分)一家食品公司将一种新研发的食品免费送给一些人品尝,并让每个人按 A(不 喜欢)、B(一般)、C(比较喜欢)、D(非常喜欢)四个等级对该食品进行评价,图①和图②是该公司采集数 据后,绘制的两幅不完整的统计图. 人数(人) 80 - 60 - 40 - 20 - O 20 A 46 B 图② 64 C D 等级 C:a% D:32% A:10% B:23% 图① 人; 请你根据以上统计图提供的信息,回答下列问题: (1)本次调查的人数为 (2)图①中,a = (3)请直接在答题卡中补全条形统计图. 【答案】(1)200; (2) 35,126 (3) ,C 等级所占的圆心角的度数为 度;
人数(人) 80 - 60 - 40 - 20 - O 20 A 46 B 图② 70 64 C D 等级 19. (2013 沈阳,19,10 分)如图,△ABC 中,AB=BC,BE⊥AC 于点 E,AD⊥BC 于点 D,,AD 与 BE 交于点 F, 连接 CF. (1)求证:BF=2AE; (2)若 CD= 2 ,求 AD 的长. A F E B D C 【答案】(1)证明:∵AD⊥BC, ∠BAD=45°, ∴∠ABD=∠BAD=45°. ∴AD=BD, ∵AD⊥BC, BE⊥AC, ∴∠CAD+∠ACD=90°, ∠CBE +∠ACD=90°, ∴∠CAD=∠CBE. 又∵∠CDA=∠BDF=90°, ∴△ADC≌△BDF. ∴AC=BF. ∵AB=BC,BE⊥AC, ∴AE=EC 即 AC=2AE, ∴BF=2AE; (2)解:∵△ADC≌△BDF ∴DF=CD= 2 , ∴在 Rt△CDF 中,CF= DF 2 CD + 2 2= ,
∵BE⊥AC, AE=EC, ∴AF=FC=2, ∴AD=AF+DF=2+ 2 . 四、(每小题 10 分,共 20 分) 20.(2013 沈阳,20,10 分)在一个不透明的盒子中放有三张卡片,每张卡片上写有一个实数,分别为 3, 2 , 2 +6.(卡片除了实数不同外,其余均相同) (1)从盒子中随机抽取一张卡片,请直接写出卡片上实数是 3 的概率; (2)先从盒子中随机抽取一张卡片,将卡片上的实数作为被减数; 卡片不放回,再随机抽取一张卡片, 将卡片上的实数作为减数.请你用列表法或树状图(树形图)法,求出两次抽取的卡片上的实数之差为有理 数的概率. 1 【答案】(1) 3 (2)画树状图得: 3 2 2 +6 2 2 +6 3 2 +6 3 2 开 始 由树状图可知,共有 6 种可能出现的结果,每种结果出现的可能性相同,其中两次抽取的卡片上的实数之 差为有理数的结果有两种,因此,两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率是 2 6 = 1 3 . 五、(本题 10 分) 21.(2013 沈阳,21,10 分)身高 1.65 米的兵兵在建筑物前放风筝,风筝不小心挂在了树上.在如图所示 的平面图形中,矩形 CDEF 代表建筑物,兵兵位于建筑物上方的树枝点 B 处,风筝挂在建筑物上方的树枝点 G 处(点 G 在 FE 的延长线上).经测量,兵兵与建筑物的距离 BC=5 米,建筑物底部宽 FC=7 米,风筝所在点 G 与建筑物顶点 D 及风筝线在手中的点 A 在同一条直线上,点 A 距地面的高度 AB=1.4 米,风筝线与水平线 夹角为 37°. (1)求风筝距地面的高度 GF; (2)在建筑物后面有长 5 米的梯子 MN,梯脚 M 在距墙 3 米处固定摆放,通过计算说明:若兵兵充分利用梯子 和一根 5 米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝? (参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
G E N M F D C 37° A B 【答案】(1)过点 A 作 AP⊥GP 于 P,由题意得 AP=BF=12,AB=PF=14,∠GAP=37° GP 在 Rt△PAG 中,tan∠GAP= AP , ∴GP=AP·tan37°≈12×0.75=9, ∴GF=GP+PF=9+1.4=10.4. 答:风筝距地面的高度为 10.4 米. (2)由题意可知 MN=5,MF=3, ∴在 Rt△MNF 中,NF= MN - 2 MF 4=2 , ∵10.4-5-1.65=3.75<4 ∴能触到挂在树上的风筝. 22.(2013 沈阳,22,10 分)如图,OC 平分∠MON,点 A 在射线 OC 上,以点 A 为圆心,半径为 2 的⊙A 与 OM 相切于点 B,连接 BA 并延长交⊙A 于点 D,交 ON 于点 E. (1)求证:ON 是⊙A 的切线; (2)若∠MON=60°,求图中阴影部分的面积.(结果保留π) O B A D E M N C 【答案】(1)证明:过点 A 作 AF⊥ON 于 F. ∵⊙A 与 OM 相切于点 B, ∴AB⊥OM, ∵OC 平分∠MON, ∴AF=AB=2, ∴ON 是⊙A 的切线; (2) ∵∠MON=60°,AB⊥OM,
∴∠OEB=30°, ∵AF⊥ON, ∴∠FAE=60° FE 在 Rt△AEF 中,tan∠FAE= AF , , ∴EF=AF·tan60°= 32 1 ∴S 阴=S△AEF-S 扇形 ADF= 2 60 AF·EF- 360 πAF2= 32 2 - 3 π 六、(本题 12 分) 23.(2013 沈阳,23,12 分)某市对火车站进行了大规模的改建,改建后的火车站除原有的普通售票窗口 外,新增了自动打印车票的无人售票窗口.某日,从早 8 点开始到上午 11 点,每个普通售票窗口售出的车 票数 y1(张)与售票时间 x(小时)的正比例函数关系满足图①中的图象,每个无人售票窗口售出的车票数 y2(张)与售票时间 x(小时)的函数关系满足图②中的图象. (1)图②中图象的前半段(含端点)是以原点为顶点的抛物线的一部分,根据图中所给数据确定抛物线的表 达式为 (2)若当天共开放 5 个无人售票窗口,截至上午 9 点,两种窗口共售出的车票数不少于 1450 张,则至少需 要开放多少个普通售票窗口? (3)上午 10 点时,每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同,试确定图②中图象的后 半段一次函数的表达式. ,其中自变量 x 的取值范围是 ; y2(张) 240 - 180 - 120 - 60 O 1 2 3 x(小时) 图② y1(张) 240 - 160 - 80 O 2 3 x(小时) 1 图① 3 【答案】(1)y=60x2,0≤x≤ 2 (2)上午 9 点 y1=80,y2=60. 设需要开放 x 个普通售票窗口. 依题意得 80x+60×5≥1450, 3 x≥14 8 . ∵x 为整数,∴x 取 15. 答:至少需要开放 15 个普通售票窗口.、 (3)设 y1= k1x,把(1,80)代入得 80= k1 ∴y1= 80x. 当 x=2 时,y1= 160,
上午 10 点,y2= y1=160, 时,y2=135, ,135)、(2,160) k2+b=135,2k2+b=160, 3 由(1)得当 x= 2 3 ∴图②中一次函数过点( 2 设一次函数表达式为 y2= k2x+b, 3 2 解得:k2=50,b=60, ∴一次函数表达式为 y2= 50x+60. 七、(本题 12 分) 24.(2013 沈阳,24,12 分)定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”. 性质:如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等. 理解:如图①,在△ABC 中,CD 是 AB 边上的中线,那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”,并且 S△ACD=S△BCD. 应用:如图②,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=6,点 E 在 AD 上,点 F 在 BC 上,AE=BF,AF 与 BE 交于点 O. (1) 求证:△AOB 和△AOE 是“友好三角形”; (2) 连接 OD,若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”,求四边形 CDOF 的面积. 探究:在△ABC 中,∠A=30°,AB=4, 点 D 在线段 AB 上,连接 CD,△ACD 和△BCD 是“友好三角形”,将 1 △ACD 沿 CD 所在直线翻折,得到△A′CD,若△A′CD 与△ABC 重合部分的面积等于△ABC 面积的 4 ,请直 A B E O F 图② D C 接写出△ABC 的面积. C A B D 图① 【答案】(1)证明:∵ 四边形 ABCD 为矩形, ∴AD∥BC, ∴∠EAO=∠BFO, 又∵∠AOE=∠FOB,AE=BF, ∴△AOE≌△FOB, ∴EO=BO. ∴△AOB 和△AOE 是“友好三角形”. (2)∵△AOE 和△DOE 是“友好三角形”, 1 ∴S△AOE=S△DOE,AE=ED= 2 AD=3.
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