2021-2022 学年北京通州区初三第一学期数学期末试卷及答
案
一、选择题
y
2
ax
bx c a
0
的图象如图所示,关于 a,c 的符号判断正确的是
1. 已知二次函数
(
)
A. a>0,c>0
B. a>0,c<0
C. a<0,c>0
D. a<0,c
<0
【答案】B
【解析】
【分析】根据开口方向可得 a 的符号,根据对称轴在 y 轴的哪侧可得b 的符号,根据抛物线
与 y 轴的交点可得 c 的符号.
【详解】解: 抛物线开口向上,
0a ,
抛物线的对称轴在 y 轴的左侧,
b ,
抛物线与 y 轴交于负半轴,
0c .
故选:B.
【点睛】考查二次函数图象与系数的关系,解题的关键是掌握抛物线的开口向上, 0
对称轴在 y 轴左侧, a ,b 同号;抛物线与 y 轴的交点即为 c 的值.
a ;
0
2. 如图, 的顶点位于正方形网格的格点上,若
tan
,则满足条件的 是(
2
3
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正切点定义逐一判断即可得答案.
【详解】A.
tan
,故该选项不符合题意,
3
2
,故该选项符合题意,
B.
tan
C.
tan
D.
tan
2
3
1
2
1
3
,故该选项不符合题意,
,故该选项不符合题意,
故选:B.
【点睛】本题考查三角函数的定义,在直角三角形中,锐角的正切是锐角的对边与邻边的比
值;熟练掌握各三角函数的定义是解题关键.
3. 在半径为 6cm 的圆中,120 的圆心角所对弧的弧长是(
A. 12cm
【答案】C
B. 3cm
C. 4cm
)
D. 6cm
【解析】
【分析】直接根据题意及弧长公式可直接进行求解.
【详解】解:由题意得:120 的圆心角所对弧的弧长是
n r
180
120 6
180
;
4
故选 C.
【点睛】本题主要考查弧长计算,熟练掌握弧长计算公式是解题的关键.
4. 如图,点 A,B,C 均在⊙O 上,连接 OA,OB,AC,BC,如果 OA⊥OB,那么∠C 的度数为
(
)
B. 45°
C. 90°
D. 67.5°
A. 22.5°
【答案】B
【解析】
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得.
【详解】解:∵OA OB ,
∴
90
,
AOB
45
,
AOB
1
2
故选:B.
C
∴
【点睛】题目主要考查圆周角定理,准确理解,熟练运用圆周角定理是解题关键.
5. 如图,在 ABCD
中,E 为 BC 的中点,DE、AC 交于点 F,则
EF
DF
的值为(
)
B.
1
3
C.
2
3
D.
1
2
A. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由题意易得 AD∥BC,AD=BC,则有△ADF∽△CEF,AD=BC=2EC,进而根据相似三角
形的性质可求解.
【详解】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴△ADF∽△CEF,
∵E 为 BC 的中点,
∴AD=BC=2EC,
∴
EF
DF
EC
AD
;
1
2
故选 D.
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定,熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题
的关键.
6. 如图, AB 是 O 的直径,点 D 在 AB 的延长线上,DC 切 O 于点C .若
CD
,则 AC 等于(
2 3
).
D
30
,
B. 4
C. 2 3
D. 3
A. 6
【答案】C
【解析】
【分析】连结 BC,OC,根据 CD 为切线,可得 OC⊥DC,利用锐角三角函数可求
OC=CDtan∠OAC= =2 ,可求∠DOC=60°根据三角形外角性质∠A=∠OCA= 30°,由 AB 为直径,
可得∠BCA=90°,利用 AC=ABcos30°= 2 3 即可.
【详解】解:连结 BC,OC,
∵CD 为切线,
∴OC⊥DC,
在 Rt△DOC 中,
∵
D
30
,
CD
2 3
,
∴OC=CDtan∠OAC=
2 3
3
3
=2
,
∴OB=OA=OC=2,∠DOC=90°-∠D=90°-30°=60°
∴∠A=∠OCA=
1
2
DOC
30
∵AB 为直径,
∴∠BCA=90°
在 Rt△ABC 中,
∵AB=2OA=4,∠A=30°,
∴AC=ABcos30°=
4
3
2
=2 3
.
故选择 C.
【点睛】本题考查切线性质,锐角三角函数,三角形外角性质,掌握切线性质,锐角三角函
数,三角形外角性质是解题关键.
7. 如图,某停车场入口的栏杆从水平位置 AB 绕点O 旋转到 A B
若栏杆的旋转角
,则栏杆端点 A 上升的垂直距离 A H 为(
AOA
47
)
的位置.已知
AO 米,
4
A. 4sin 47 米
B. 4 cos 47 米
C. 4 tan 47 米
D.
4
米
sin 47
【答案】A
【解析】
【分析】过点 A′作 A′H⊥AB 于 H,由题意得 OA′=OA=4 米,根据sin
A OH
A H
OA
求出
答案.
【详解】解:如图,过点 A′作 A′H⊥AB 于 H,
由题意得 OA′=OA=4 米,
在 Rt△OA′H 中,∠A′OH=47°,sin A OH A H
OA
A OH OA
∴栏杆端点 A 上升的垂直距离
A H
sin
,
4sin 47
米,
故选:A.
【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用,正确理解题意构建直角三角形是解题的关键.
8. 某同学将如图所示的三条水平直线 1m , 2m , 3m 的其中一条记为 x 轴(向右为正方向),
三条竖直直线 4m , 5m , 6m 的其中一条记为 y 轴(向上为正方向),并在此坐标平面内画出
了二次函数
y
ax
2 2
ax
1
a
的图象,那么她所选择的 x 轴和 y 轴分别为直线(
0
)
B.
2m , 5m
C.
3m , 6m
D.
2m ,
A.
1m , 4m
4m
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线开口向上可知 0
a ,由抛物线配方为
y
(
a x
1)
2
a
1
a
,可得
0
抛物线的对称轴为 1x ,顶点纵坐标为
a
【详解】解: 抛物线
(
a x
1a ,据此结合图象可得答案.
1
的开口向上下
1)
0
a
y
2
0
a ,
ax
y
y
2
2
1)
(
a x
2
ax
1
抛物线的对称轴为直线 1x ,
应选择的 y 轴为直线 4m ;
顶点坐标为 (1,
a ,抛物线
1)
a
1
,
y
(
a x
1)
2
a
1
a
与 y 轴的交点为(0,1),而
0
1 1
a ,
应选择的 x 轴为直线 2m ,
故选:D.
【点睛】本题考查了二次函数的图象,解题的关键是理解掌握二次函数的图象与各系数的关
系是解题的关键,同时注意数形结合思想的运用.
二、填空题
9. 如图,在量角器的圆心O 处下挂一铅锤,制作了一个简易测倾仪,从量角器的点 A 处观
测,当量角器的 0 刻度线 AB 对准旗杆顶端时,铅垂线对应的度数是 40 ,则此时观测旗杆
顶端的仰角度数是__.
【答案】50
【解析】
【分析】如图,过点O 作OC OD
由此求得∠BOC 的度数即可.
【详解】根据题意可知:如图,
,根据仰角的定义,∠BOC 即为观测旗杆顶端的仰角,
过点O 作OC OD
,
,
90
COD
40
AOD
50
BOC
,
,
答:此时观测旗杆顶端的仰角度数是50 .
故答案 为:50 .
【点睛】本题考查了仰角的定义,熟练运用仰角的定义是解决问题的关键.
10. 如图,在 ABC 中,∠C=90°,AB=10,在同一平面内,点 O 到点 A,B,C 的距离均等
于 a(a 为常数).那么常数 a 的值等于________.
【答案】5
【解析】
【分析】直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.
【详解】解:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,
即可知道点O 到点 A,B,C 的距离相等,
如下图:
OA OB OC
1
2
AB
,
5
5a ,
故答案是:5.
【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆的外心,解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半即可求解.
11. 在 ABC 中,
C
90
,
tan
A ,
4
3
BC ,那么 AC 的长为________.
8
【答案】6
【解析】
【分析】根据解三角形可直接进行求解.
【详解】解:∵在 ABC 中,
C
90
,
tan
A ,
4
3
BC ,
8
∴
AC
BC
tan
A
故答案为 6.
38
;
4
6
【点睛】本题主要考查解直角三角形,熟练掌握三角函数是解题的关键.
12. 已知 P( 1x ,1),Q( 2x ,1)两点都在抛物线
y
2
x
4
x
x
1
上,那么 1
x
2
________.