数字信号处理课后习题答案（姚天任，江太辉）第三版.doc

发布时间：2022-06-13 发布人：admin 分类：说明书资料大小：5.52M 资料格式：doc 举报版权申诉

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(a) y(0)=x(O)h(0)=1

(b) x(n)=2(n)-

2.3 计算线性线性卷积

2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h(n)和

2.6 试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。

|y(n)|=|2x(n)+3|≤|2M+3|<∞

|y(n)|=|x(n)sin[(n-k)+

（3）设 y1(n)= ，y2(n)=

（4）设 y1(n)= ，y2(n)=

≠T[x(n-t)]=

(5)设y(n)=x

2.8 讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性

2.10 已知y(n)+2y(n-1)+

2.12 一系统的框图如图P2.12所示，试求该系统的单位取样响应h(n)和单位阶跃响应

2.14 设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述

=δ(n)+ δ(n-1)+ δ(n-2)

2）将代入

由于是线性的非移变系统，故对上式递推计算得出：

H()=

2.16 (1)一个线性非移变系统的单位冲激响应为h(n)=a

Y(e)=H(e

2.18 当需要对带限模拟信号滤波时，经常采用数字滤波器，如图P2.18所示，图中T表示取样周期，假

（2）对＝20kHz，重复（1）的计算

＝625 Hz

（2）X(z)＝

R＝

X(n)是左边序列，它的Z变换的收敛域是半径围+的圆的

（5）

＝＝

(2)

X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为

X(n)还是右边序列，可以有，故收敛域为

X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为

（4）

X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为

X(n)还是因果序列，可以有，故收敛域为

X(z)=

2.21 用三种方法求下列Z变化的逆变换

2.22 求下列Z变换的逆变换

2.24 试确定X(z)=z是否代表某个序列得

2.27解

(2)

2.30(1)根据极－零点图得到x(n)的Z变换

2.32(1)，

（1）

(2)求差分方程两边的Z变换

①

（2）

（3）

H(z)=

或

(4)的自相关序列为

(5)因＝0，所以

＝2

＝

（1）

（2）

（3）

（4）

（

数字信号处理（姚天任江太辉）第三版课后习题答案 1

2.1 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。第二章（1）x(n)=Acos( （2）x(n)= 8 （3）x(n)=Asin( n 5  8 6 ( ne j ) ) 3  4 3 n ) 解 (1)对照正弦型序列的一般公式 x(n)=Acos(  n )，得出  是周期序列。最小周期等于 N= 16 5 k  (16 取k )5 。（2）对照复指数序列的一般公式 x(n)=exp[  j ]n,得出 5 8 。因此 2    16 5 是有理数，所以 1 。因此 8 2   16   是无理数，所以不是周期序列。（3）对照正弦型序列的一般公式 x(n)=Acos( 1 6 ) ，得出  3 4 。因此 n 3  4 (8 取k )3 ＝ Acos( N= 8 3 k   n 2  8  3  )，又 x(n)=Asin( 3  4 3 n )＝Acos(  2  3  4 3 n ) 是有理数，所以是周期序列。最小周期等于 2.2 在图 2.2 中，x(n)和 h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列的 x(n)和 h(n)的线性卷积以得到系统的输出 y(n)，并画出 y(n)的图形。 2

解利用线性卷积公式 y(n)=  k  ()( knhkx  ) 按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算 y(n)的每一个取样值。 (a) y(0)=x(O)h(0)=1 y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3 y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n≥2 (b) x(n)=2(n)-(n-1) h(n)=-(n)+2(n-1)+ (n-2) y(n)=-2(n)+5(n-1)= (n-3) =  ( knu  (c) y(n)=  ku a )( kn  ) k   kna = 1  1 1  a n a  u(n) k  2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)= n u(n)*u(n) ()( knuku  )  解：(1) y(n)=  k   =  ()( knuku 0 k   ) =(n+1),n≥0 即 y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=  k ()( knuku  k  ) 3

= k  0 k knuku  ()( = ) 1n  1   1   ,n≥0 即 y(n)= 1n u(n) 1    1   2.4 图 P2.4 所示的是单位取样响应分别为 h 1 (n)和 h 2 (n)的两个线性非移变系统的级联，已知 x(n)=u(n), h 1 (n)=(n)-(n-4), h 2 (n)=a n u(n),|a|<1,求系统的输出 y(n). 解 (n)=x(n)*h 1 (n) =  k ku )( [(n-k)-(n-k-4)] =u(n)-u(n-4) y(n)=(n)*h 2 (n) =  k k )( kua [u(n-k)-u(n-k-4)] =  3nk  ka ,n≥3 2.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为 h(n)=a n u(-n),0

证明（1）交换律 X(n) * y(n) =  ()( knykx  ) k  令 k=n-t,所以 t=n-k,又- 

(1)y(n)= 2x(n)+3 (2)y(n)= x(n)sin[ 2 3 n+  6 ] (3)y(n)=  k )( kx (5)y(n)= x(n)g(n) (4)y(n)=  )( kx n nk  0 解（1）设 y 1 (n)=2x1(n)+3,y 2 (n)=2x 2 (n)+3,由于 y(n)=2[x1(n)+x 2 (n)]+3 ≠y 1 (n)+ y 2 (n) =2[x1(n)+x 2 (n)]+6 故系统不是线性系统。由于 y(n-k)=2x(n-k)+3,T[x(n-k)]=2x(n-k)+3,因而 y(n-k) = T[x(n-k)] 故该系统是非移变系统。设|x(n)|≤M，则有 |y(n)|=|2x(n)+3|≤|2M+3|<∞ 故该系统是稳定系统。因 y(n)只取决于现在和过去的输入 x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。（2）设 y1(n)=ax1(n)sin[ y2(n)=bx2(n)sin[ 2 3 2 3 n+ ] n+ ]  6  6 由于 y(n)=T[ax1(n)+ bx2(n)] =[ax1(n)+bx2(n)]sin[ =ax1(n)sin[ 2 3 =ay1(n)+by2(n) n+  6 2 3 n+  6 ] ]+bx2(n)sin[ 2 3 n+  6 ] 故该系统是线性系统。由于 y(n-k)=x(n-k)sin[ 2 3 (n-k)+  6 ] T[x(n-k)]=x(n-k)sin[ 2 3 T[x(n-k)]≠y(n-k) n+ ]  6 因而有帮该系统是移变系统。设 |x(n)|≤M，则有 |y(n)|=|x(n)sin[ 2 3 (n-k)+ ]|  6 2 3 =|x(n)|| sin[ (n-k)+  6 ]| 6

≤M|sin[ 2 3 (n- k)+  6 ]|≤M 故系统是稳定系统。因 y(n)只取决于现在和过去的输入 x(n),不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。（3）设 y1(n)=  )(1 kx n k  n ，y2(n)=  k  )(2 ，由于 kx y(n)=T[ax1(n)+ bx2(n)]=  )(ax[ k 1 (bx  2 k )] n k  n =a  k  )(1 kx n + b  k  )(2 kx =ay1(n)+by2(n) 故该系统是线性系统。因 tn y(n-k)=  )( kx k  n =  m  ( tmx  ) 所以该系统是非移变系统。 =T[x(n-t)] 设 x(n)=M<∞ n y(n)=  k  M =∞，所以该系统是不稳定系统。因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。（4）设 y1(n)=  )( ，y2(n)=  kx 1 kx )( ，由于 2 n nk  0 n nk  0 y(n)=T[ax1(n)+ bx2(n)]=  )(ax[ k 1 (bx  2 k )] n nk  0 n = a  nk  0 )( kx 1 n +b  nk  0 )( kx 2 =ay1(n)+by2(n) 故该系统是线性系统。因 tn y(n-k)=  nk  0 )( kx n =  nm  0 ( tmx  t  ) ≠T[x(n-t)]=  ( tmx  ) n nk  0 所以该系统是移变系统。设 x(n)=M,则 lim n y(n)= lim n (n-n 0 )M=  ,所以该系统不是稳定系统。显而易见，若 n≥n 0 。则该系统是因果系统；若 n

y(n)=T[ax 1 (n)+bx 2 (n)]=(ax 1 (n)+bx 2 (n))g(n) =ax 1 (n)g(n)+b 2 (n)=ay 1 (n)+by 2 (n) 故系统是线性系统。因 y(n-k)=x(n-k),而 T[x(n-k)]=x(n-k)g(n)≠y(n-k) 所以系统是移变系统。设|x(n)|≤M<  ,则有 |y(n)|=|x(n)g(n)|=M|g(n)| 所以当 g(n)有限时该系统是稳定系统。因 y(n)只取决于现在和过去的输入 x(n)，不取决于本来的输入，故该系统是因果系统。 2.8 讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性 1 2 （1）h(n)=2 n u(-n) (4) h(n)=( ) n u(n) (2) h(n)=-a n u(-n-1) (5) h(n)= u(n) 1 n (3) h(n)=(n+n 0 ), n 0 ≥0 (6) h(n)= 2 n R n u(n) 解（1）因为在 n<0 时，h(n)= 2 n ≠0,故该系统不是因果系统。因为 S=  |h(n)|=  |2 n |=1<  ，故该系统是稳定系统。  n   0n  (2) 因为在 n1 时才是稳定系统。 (3) 因为在 n

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