2020-2021 年上海市长宁区高一数学上学期期末试卷及答案 一、填空题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，答案填在答题纸相应位置） 1. 已知全集为U  R ，集合 A  { 【答案】 (     , 3) [2, ) x ∣    3 x 2} ，则 U A = ð ________. 2. 函数 y  13 x  的定义域为________. 【答案】[1, ) 3. 若幂函数 y x 在区间 (0, ) 上是严格减函数，则实数的取值范围是________. 【答案】 (  ,0) 4. 设一元二次方程 2 6 x x   的两个实根为 1x 、 2x ，则 2 x 3 0 1 2 x 2  ________. 【答案】42 x   3 5. 已知 : 【答案】 ( ，1] m  ， : 1 x  ，若α是β充分条件，则 m的取值范围是________. 2 log ( 6. 若 2 x   ，则 x的取值范围是________. 1) 0 【答案】 2 x  7. 设 a、b都为正数，且 a b  ，则 1 a 4  的最小值为________. 1 b 【答案】1 8. 设关于 x的不等式 2 a x 1  b x 1  c 1  与 2 a x 2 0  b x 2  c 2  的解集分别为 A、B，则不等 0 式组的    a x 1 a x 2 2 2   0 b x c   1 1 0 b x c   2 2 解集可以用集合 A、B的运算表示为________. 【答案】 A B 9. 已知 lg 2 a ，10 【答案】 2(1 ) a  2 a b  b  ，试用 a、b表示 12 3 log 25  ________. 

10. 已知函数 y  2 x  2 ( ax x  [0,1]) 的最小值为-2，则实数 a=________. 【答案】  3 2 11. 设关于 x的方程| x  2 |  | 2 x | 3|   ax b a b R | ( ,   解集为 M，关于 x的不等式 ) ( x  2)(2 x  3) 0  的解集为 N，若集合 M N= ，则   a b ________. 【答案】 15 12. 若函数 y      1 2 1  x 2  1,0   x m log (1  ), 1 x    x 0 的值域为[ 1,1] ，则实数 m的取值范围为________. 【答案】1 2m  二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 13. 下列四组函数中，两个函数相同的是（ ）. A. y x 2 和 y  ( 2 x ) B. 1y  和 y 0 x C. y  ( x x  {0,1}) 和 y  2( x x  {0,1}) D. y  loga 2 x 和 2loga  y x 【答案】C 14. 函数 y  x    1 2    1 3  x A.    10, 3    【答案】B 的零点所在区间为（ ）. B.    1 1, 3 2    C.    1 2, 2 3    D.    2 ,1 3    15. 在同一直角坐标系中，二次函数 y  ax 2  与幂函数 bx b a y  x ( x  图像的关系可能 0) 为（ ） A. 

B. C. D. 【答案】A 16. 已知“非空集合 M的元素都是集合 P的元素”是假命题，给出下列四个命题： ①M的元素不都是 P的元素；②M的元素都不是 P的元素； ③存在 x P 且 x M ；④存在 x M 且 x P ； 这四个命题中，真命题的个数为（ ）． A. 1 个 【答案】B B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 三、解答题（本大题共 5 小题，共 52 分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 

 ∣ ，集合 3} 2 B  x    1 2 x  7 x    0  .求集合 A B .  17. 已知集合 A  { || x x 【答案】 ( 1,7)  18. 化简下列代数式 （1） | a |   6 a 1 2 3  3 ( a a  ； 0) （2） 2lg a  lg 2 a 10 (0   a 10) . 【答案】（1） 3a ；（2）1 lg a . 19. 甲、乙两城相距 100km，某天然气公司计划在两地之间建天然气站 P给甲、乙两城供气， 设 P站距甲城.xkm，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于 10km.已知建设 费用 y（万元）与甲、乙两地的供气距离（km）的平方和成正比（供气距离指天然气站到城 市的距离），当天然气站 P距甲城的距离为 40km 时，建设费用为 1300 万元. （1）把建设费用 y（万元）表示成 P站与甲城的距离 x（km）的函数，并求定义域； （2）求天然气供气站建在距甲城多远时建设费用最小，并求出最小费用的值. 【答案】（1） y  2 x  100 x  5000  (10  1 2 时费用最小，最小费用的值为 1250 万元. 20. 设 ( ) f x = x x 2 2 - + 1 1 .   ；（2）天然气供气站建在距甲城 50km 90) x （1）判断函数 y  ( ) f x 的奇偶性，并说明理由； （2）求证：函数 y （3）若 f (1   ) t f   1 ( ) f x 2  t 在 R上是严格增函数；  ，求 t的取值范围. 0 【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3） 1t  或 t   ． 2 21. 设 ( ) f x    x a x 2( a R ． ) （1）求不等式 ( ) f x  ( f x 1) 1   的解集 M； （2）若函数 y  ( ) f x 在 (0, ) 上最小值为 a  ，求实数 a的值； 11 4 

x （3）若对任意的正实数 a，存在 0     1 ,1   2  ，使得  0 f x m ，求实数 m的最大值. 【答案】（1）答案见解析；（2） a   或 9 4 a   ；（3） 1 2 7 6 .