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2016年云南昆明理工大学高等代数考研真题A卷.doc

发布时间：2022-09-16 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.17M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    2016 年云南昆明理工大学高等代数考研真题 A 卷 一、填空题（每小题 4 分，共 32 分） 1. 当 ,m n 满足 时， 2 x mx   1| 3 x  2 nx  5 x  2. 2. 设 A 是 n 阶方阵，且| | 5A  ，则 | 2 A 1   * A | = 。  3. 设向量组 1  ( ,0, ), a c  2  ( , b c ,0),  3  (0, , ) a b 线性无关， 则 , ,a b c 必满足关系 式 。 4. 已知方阵 A 满足 2 A   A 3 E O  ，则 1A = 。 ( , f x x x 3 , 1 2 )  2 x 1  x 2 2  5 2 x 3  4 x x 1 3  2 tx x 2 3 是正定 5. 当t 满足 时，二次型 的。 x 6. 线性方程 1     x 2 x 2   x 3 x 3   x 4 x 4   0 0 的解空间的维数是 ，基是 。 。 7. 已知3 阶方阵 A 的特征值为 1,0,1  , 令 B A  3  22 A  , 则| E |B  8. 欧氏空间 3R 中一组基 1 1 1             0 , 1 , 1             0 1       0 的度量矩阵是 。 二、计算题（共 108 分） 1.（13 分）计算 n 阶行列式 x a  1 a 1  a 1 x a 2 a  2  a 2     a n a a n   n . x 2.（15 分）当取何值时，下列线性方程组   2 x 1   x 2 x 2  2 x 1 x 1  2 x 2       x 3 x 3 x 3 2     2   有解？ 并求其通解。 3.（15 分）求一个正交变换, 将二次型 化成标准型二次型。 ( , f x x x 3 , 1 2 )  T x Ax  2 x 1  2 2 x 2  2 2 x 3  4 x x 1 3 4. （ 15 分 ） 在 线 性 空 间 4p 中 有 两 个 向 量 为 1   T (1,1,0,0) ,  2  T (0,1,1,1) . 令
    W L   2  ( , 1 1 ) W 和 2  {( , x x x x 1 , , 2 3 ) | x 1 4  x 3  x 2  x 4 }. (1) 求 1 W W 的维数和一组基； 2 (2) 求 1 W W 的维数。 2 5. (15 分) 已知 4 维向量空间 4P 的两组基为 （I）   1    2    3    4     (5,2,0,0) (2,1,0,0) (0,0,8,5) (0,0,3,2) , （II）   1    2    3    4     (1,0,0,0) (0,2,0,0) (0,1,2,0) (1,0,1,1) . (1) 求由基（I）到基（II）的过渡矩阵； (2) 求向量     3   3 2 1 2  在基（I）下的坐标。 6. (15 分） 设V 为 4 维欧氏空间， 1     为V 的一个标准正交基，子空间 , , , 3 4 2 W L   2  ( , 1 ) ，其中 1        3  ，求 W  。     1 2 2 1 2 , 7. （20 分）设 1 2 3 ,   是欧氏空间V 的一组标准正交基，T 是V 的线性变换。已知 , T (          1 3 2 , 3 T T 2       ) ( ) ( , 1 2 2 1 2 3 ) 2      1 3   2 . (1) 证明T 是一个对称变换； (2) 求V 的一组标准正交基，使T 在这组基下的矩阵为对角矩阵。 三、证明题 （共 10 分） 设T 是 n 维欧氏空间V 的一个线性变换，满足对于任意 , ,V 有 [ ( T     [   ), T ] ( , )]. (1) 若是T 的一个特征值， 证明： 0; (2) 证明：V 中存在一组标准正交基，使得 2T 在此组基下得矩阵为对角矩阵。
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