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分数阶系统研究现状综述.docx

发布时间：2022-06-08 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.15M 资料格式：docx 举报 版权申诉
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    分数阶系统研究现状综述
    一、引言
    二、分数阶系统思想研究
    三、分数阶系统稳定性
    四、分数阶控制器设计
    五、分数阶控制的应用
    六、结语
    研究生课程论文 《分数阶系统研究现状综述》 课程名称 姓 学 专 名 号 业 任课教师 开课时间 教师评阅意见： 文献检索 朱海燕 1611301045 检测技术与自动化装置 聂卓赟 2016-2017 学年第二学期 论文成绩 评阅日期 课程论文提交时间：2017 年 5 月 14 日
    分数阶系统研究现状综述 摘要：针对目前国内外关于分数阶系统研究现状进行概述。介绍了分数阶系统稳 定性分析方面的研究成果和分数阶系统常用的几种控制器，分别列举了对频域和 时域系统不同的控制器设计方法。最后对当前分数阶理论应用领域进行介绍。 关键词：分数阶 稳定性 控制器 不确定系统 一、引言 分数阶系统是基于分数阶微积分及分数阶微分方程理论，描述实际系统的数 学模型。分数阶微积分能够积累函数一定范围内的整体信息，这称为长记忆性， 这种特性在物理、化学和工程领域都有的所应用。整数阶微积分仅由函数的局部 特征所决定，而分数阶微积分是以加权形式包含了函数的全体信息。通常采用分 数阶微积分模型，能够更为准确地描述系统的动态响应特性，进而提高对系统的 分析和控制能力。近一些年分数阶微积分的理论成功应用到各大领域中，人们逐 渐发现分数阶微积分能够刻画自然科学以及工程应用领域一些非经典现象。目前 分数阶微积分比较热门领域包括电力分形网络、分数阶正弦振荡器、分形理论、 分数阶 PID 控制器设计。但是由于分数阶微积分具有历史依赖性与全域相关性， 增加了分数阶导数方程的数值计算复杂性。 整数阶微分系统表征的是对象属性(或状态)的瞬时变化特性，而分数阶微分 系统表征的是对象属性（或状态）的变化[1].对比整数阶，分数阶导数主要具有 以下优势：1.分数阶导数具有全局相关能较好地体现系统函数发展的历史依赖过 程；而整数阶导数具有局部性，不适合描述有历史依赖过程；2.分数阶导数模型 克服了经典整数阶微分模型理论与实验结果吻合不好的严重缺点，使用较少几个 参数就可获得很好的效果；3.在描述复杂物理力学问题时，与非线性模型比较， 分数阶模型的物理意义更清晰，表述更简洁。以 PID 调节器为代表的实用工业控 制器都是基于这种控制策略来做成的；二是“基于内部机理描述的控制方法”的 控制策略，即以对象数学模型为研究的“归宿”的现代控制理论方法。在工程实 际中，控制目标与对象实际行为之间的误差很容易获取而且是能够加以适当处理 的，因而“基于误差来消除误差”的控制策略原形——PID 控制器在工业控制实 际中得到了广泛的应用。 二、分数阶系统思想研究 （一）分数阶系统数学背景 分数阶微积分诞生于 1695 年，几乎和经典微积分同时出现，其微分、积分
    的阶次可以是任意的，包括分数、无理数、复数。这一概念的出现扩展了人们现 有的整数阶微积分的描述能力。 分 数 阶 微 积 分 理 论 的 发 展 过 程 中 出 现 了 许 多 种 定 义 ， 包 括 Grunwald-Letnikov 分数阶微积分定义、Cauchy 积分公式、Riemann-Liouville 分数阶定义及 Caputo 定义等。其中 Riemann-Liouville 分数阶定义和 Caputo 定义使用较为常见，当 1 , n n   n  N 时，它们的定义如下：  D f (t)  R t  0 t n 1 )     f ( )   d   ， . 1 ( n   )  1 ( n   )  n n d dt   0 t   C D f (t)  t n 1 )     f ( ) n ( )   d 其中  +     ( ) 0 1 .    x e dx x 一般而言，对于光滑且具有零初始条件的函数 ( ) t ， f 这些定义是相互等价的。因此有时也不加区分地写为 ( ) t 。 D f （二）分数阶系统描述形式 与整数阶系统相似，分数阶系统也可以釆用微分方程、传递函数和状态空间 方程来描述。实际被控对象，可以根据对象具体特性和控制要求，选择合适的数 学描述形式。 一般为了便于从频域的角度分析和研究分数阶系统的动态特性，使用分数阶 系统的传递函数描述，令 s 则可以将所描述的同元次分数阶系统传递函数转 换成为一个整数阶系统传递函数为对应分数阶线性定常系统的稳定性分析提供 了思路。传递函数作为描述线性系统动态特性的基本数学工具之一，仅适用于线 性定常分数阶系统，而对于线性时变或非线性分数阶系统会采取其它方法分析其 动态特性。 对于多变量分数阶系统，通常采用状态空间模型描述动态特性。现代控制理 论中一个非常重要的概念就是状态空间，状态空间的引入使得极点配置、镇定、 动态解耦、静态解耦渐进跟踪和扰动抑制等得以实现。虽然传统的状态观测器在 工程应用中存在缺陷和不足，但是状态观测理论的发展丰富了控制理论，也为更 为实用的控制技术提供了理论依据。根据对象的不同结构特征将非整数阶对象进 斤分类。按照阶次关系将分数阶系统分为非等比例和等比例分数阶对象，按照线 性关系将分数阶对象分为线性和非线性分数阶对象。 分数阶系统的能控性是研究系统的状态能否通过输入被控，能观性则考察能 否通过输出数据观测状态，这些是研究分数阶系统内部结构的重要概念，也是研 究分数阶系统的控制和滤波问题所必需的基础，相关定义与整数阶的完全一致。
    三、分数阶系统稳定性 整数阶系统稳定性理论无论是线性系统还是非线性均有比较成熟的理论。然 而，对分数阶系统的稳定理论研究还存在不足。和整数阶系统一样, 传递函数模 型也是描述分数阶系统的重要模型. 一般对分数阶系统稳定性的分析远比整数 阶复杂, 其中一个重要原因是分数阶系统的传递函数一般不是复变量 s 的有理 函数, 因而目前还没有什么有效的多项式判据可以用来分析其稳定性. 法国学者 Matignon 于 1996 年对分数阶系统的稳定性、能控性与能观性的理论研究 作了开创性工作[2]给出并证明了基于分数阶状态方程所描述系统的渐近稳定性、可控性、 可观性，并于 1998 年在控制会议上提出针对 Caputo 定义下的分数阶线性时不变系统 (FO-LTIs)稳定性结果[3] ，文中对阶次位于(0,2)时的两类 FO-LTIs（commensurate 系统 和 incommensurate 系统）分别提出了系统渐近稳定性判据。Chen 于 2001 年研究了一类 延迟分数阶动力学系统的稳定性问题[4];王振滨等运用 Laplace 变换和留数定理讨论了 分数阶线性定常系统内部稳定性和外部稳定性(BIBO)条件,并讨论了其相互关系的 3 个 推论[5]. Radwan A.G 利用变量替换的方法, 将分数阶系统的分母函数变换为多项式的形 式,通过判断这个多项式的特征根相角的绝对值是否大于 πα/2 来检验分数阶系统的 稳定性[6];Mihailo 利用 Gronwall 不等式方法讨论了分数阶线性时滞系统的有限时间稳 定问题[7]并得到系统参数满足特定不等式的条件。 对于状态空间描述的线性分数阶系统, 一般利用 Kronecker 积的方法来判 断系统矩阵的特征值是否在稳定的扇形区内以检验稳定性[8]. 对于含有区间不 确定的分数阶系统,Lu 等针对阶次位于(0,1)的区间 FO-LTIs(即系数矩阵是位于 某个区间的不确定系统)讨论了其稳定性问题[9]，以及对阶次位于(1,2)的不确定 FO-LTIs 的稳定性问题进行了研究，并基于 LMI 方法设计了一个反馈控制器实现 被控系统的镇定[10] 陈阳泉等人首次给出了能量 V 函数方法(类似于 Lyapunov 直接法中的 V 函 数),研究了分数阶非线性系统的 Mittag-Leffler 稳定(类似指数渐近稳定）问题 [11]这是目前利用整数阶系统 Lyapunov 稳定性直接判别方法的思想研究一般分数 阶非线性系统类似指数稳定的理论基础。Delavari 就一般分数阶非线性系统利 用 Bellman-Gronwa 不等式得到了系统 Lyapunov 稳定判别的有意义的结果[12]并利 用分数阶系统解析解特性证明了所提出策略的正确性。文献[12]和[13]可看成是目前 一般分数阶非线性系统稳定性分析最好且最基本的结论，可见对分数阶非线性系 统稳定性分析的研究还有很多基本性工作要做。关于分数阶时滞系统的研究目前 已有一些理论结果见诸报道。赵灵冬[13]对一类分数阶非线性时滞系统进行了研究 就如何建立正定函数 V 的扩展函数，并对该扩展函数求整数阶导数的分数阶系统 Lyapunov-Krasovskii 泛函方法，得出了一些有意义的结果。这对今后分数阶线 性时滞系统的研究有一定的促进作用。 在频域上,整数阶区间不确定系统的鲁棒判别方法最早是围绕 Kharitonov
    多项式稳定进行研究的[14] 。Barmish 等根据除零原理，对于 Kharitonov 定理在 整数阶区间稳定性上的应用做出了大量的研究工作。对于区间分数阶系统,除零 原理仍然成立, 但是区间分数阶系统的值集不再是矩形.Moornani K A 利用 Minko-wski 和, 给出了区间分数阶系统值集的构造方法[15]，此外,还给出了当同 元阶次α 满足 1<α<2 时, 类似于整数阶系统 Kharitonov 定理的区间分数阶系统 稳定的判别方法.也就是说,如果值集顶点对应的关于 s 的函数稳定,则区间分数 阶系统是稳定的.Petras 在 2010 年研究了以传递函数形式给出的参数不确定 FO-LTI 系统的稳定性判据[16]，使用类 Kharitonov 理论将系统的特征方程化成若 干个确定的 Kharitonov 多项式的方法。I.Kheirizad 讨论了阶次位于 (1,1.5) 以状态空间描述的 FO-LTI 系统 BIBO 稳定问题[17]。Liao Z 讨论了分数阶阶次为区 间不确定时的鲁棒稳定性以及阶次和参数耦合对系统稳定性的影响[18]. 高哲在 2011 年分析了分数阶系统稳定性与传递函数分母相角增量的关系的 基础上，提出了一种线性分数阶系统稳定性的频域判别准则[19]，定义了关于分数 阶系统分母各项系数的两个函数，通过分析正实数解的大小关系及解的数目与分 母最高阶的关系，将 Hermite-Biehler 定理推广到分数阶系统给出了系统稳定所 需的条件。并于 2012 年针对同元阶次在 0 和 1 之间的区间分数阶系统, 提出 了类似 Kharitonov 定理的鲁棒稳定性判别准则[20]. 研究了区间分数阶系统分母 的主分支函数值集不包含原点所需满足的条件. 此外, 王振滨[21]直接从复分析中的辐角原理出发,推导出了分数阶线性定常 系统的两个稳定性判据:分数阶奈奎斯特判据和分数阶对数频率判据,不需求取 闭环特征根，用图形方法即可判断系统数阶系统的稳定性.汪纪锋[22]在对分数阶 系统频率域分析研究的基础上,提出了扩展频率域法,并据之改进和扩展了 Nyquist 判据,能够直观判断任意阶次系统的稳定性.宋晓娜[23]针对带有输入时 滞的分数阶线性时滞系统利用 Reciprocal Projection 引理和线性矩阵不等式给 出闭环系统稳定性分析及相应的输入输出反馈控制律存在的充分条件。 四、分数阶控制器设计 目前分数阶控制器主要有 4 种,一为由 B.J .Lurie 提出的 TID[24]控制器,它 由积分环节、微分环节和一个分数阶环节并联组成,结构简单,参数较少,调节方 便,闭环对参数变化不敏感,更抗干扰,但系统的参数整定方法仍需提供和检验, 很难达到理想效果。二为分数阶控制系统 Oustaloup 提出的 CRONE 控制器[25], 因 其基于人们习惯的设计方法( Bode 图、Nichols 图)和清晰的解释而被认为是一 个比较好的选择,且已有很好的工业应用范例,并得到了 Matlab 控制工具箱的 支持,已成功运用于实际,是控制器的一种理想选择。三是 Podlubny 提出的分数 阶 PIλDμ控制器[26] ,它的提出可看作是线性系统分数阶控制器研究的具有里程碑 意义的思想，为分数阶控制理论的发展奠定了基础使得研究者的视角在对分数阶
    控制基本理论建立和发展的同时, 转移到应用研究上。四是超前滞后校正补偿器, 它同样能取得很好的控制效果, 但需更系统的设计方法[27]。 其中采用分数阶 PIλDμ控制器控制分数阶描述的被控对象可以获得更优的 动态性能和鲁棒性。与 TID 相比,它可获得更精确的控制性能,但结构较为复杂, 参数较多。与工业应用中流行的常规 PID 控制器相比,多了 2 个控制参数λ和 μ,在设计上也多了 2 个自由度, 因此 PIλDμ的提出为系统获得更优性能提供了 新的可能性。且其在一定范围内对本身和被控对象的参数变化也不敏感， 鲁棒 性好。但是, 由于 Iλ和 Dμ导致 PIλDμ本身成为一个无穷维的滤波器, 其 5 个参 数的整定和优化也变得困难得多.目前研究热点主要集中在 PIλDμ的算法改进与 设计技巧及其工程应用上。PIλDμ控制器设计方法可归纳为主导极点法、 幅值裕 量和相位裕量法 , 优化方法等。 Podlubny 和王振滨已经证明了在稳定性和动态性能方面分数阶 PIλDμ控制 器较整数阶 PID 控制器具有不可比拟的优势[28-29]。实际分数阶被控系统在整数阶 PID 控制器控制下,其动态性能要比在分数阶 PIλDμ控制器控制下差很多,系统 调节时间长, 超调大,且对于参数变化很敏感,系统稍变动将影响系统特性,甚至 使整个控制系统不稳定,所以要更好地控制实际分数阶系统,应采用分数阶控制 器。由于分数阶控制理论尚处于理论研究阶段，对分数阶 PIλDμ控制器参数整定 的指导性原则还很少，整定分数阶 PIλDμ控制器参数已经成为国内外研究的热点 和难点。Caponetto、Zhao 等基于对称优化方法对文献[30]中提出的方法进行了改 进[31-32]。Maione 和 Lino 等提出了相似的对称优化方法设计分数阶 PIλ控制器[33]。 汪纪锋等提出了分数阶频域扩展法从分数阶系统零极点的角度直接分析系统性 能与分数阶控制器参数的对应关系，提出了更为简易的 P(ID)μ控制器和具有可 分离特性的分数阶超前滞后校正器［34］。Chen 等利用敏感度函数和补充敏感度函 数的最大值约束积分增益优化(F-MI-GO)算法，研究了分数阶 PIλ控制器设计[35]， 并进行了实验验证。Monje 等根据相角裕度、幅值裕度、敏感度和补偿敏感度函 数等约束条件，采用 Matlab 工具箱中的非线性优化方法，设计分数阶 PIλDμ控 制器[36]。Barbosa 和 Bettou 采用传统 Ziegler-Nichols 方法来整定分数阶 PIλDμ 控制器参数[37]。Gude 等采用改进的 Ziegler-Nichols 法来进行分数阶 PIλDμ控制 器参数整定［38］。Luo 等基于相位裕度、幅值裕度及参数鲁棒稳定性条件结合Ｄ分 解法开展了分数阶 PIλDμ控制器参数整定方法和数值计算方法的研究[39-40]。 而针对状态空间描述的时域系统，为确保不同的控制目标的实现效果，需要 设计不同形式的控制系统对被控对象加以控制。Aghababa 针对分数阶陀螺仪系 统，设计了一个分数阶非线性控制器,实现了被控系统的有限时间稳定[41]。Zhang 等基于滑模控制技术， 设计了参数自适应更新律和非线性控制器，成功实现整 个分数阶系统的未知参数辨识和系统稳定[42]。Yin 设计了一个鲁棒控制器,能很 好处理受到未建模动态和外界干扰影响的分数阶非线性系统稳定性问题[43]。Chen
    等设计了一个反馈控制器，实现了分数阶网络的全局 MIttag-Leffler 稳定和同 步[44]。Fu 等通过构建一个整数阶响应系统来实现原始系统的脉冲控制[45]。结合 已有的研究文献可以发现，当前仅有的一些关于分数阶非线性系统的研究，大部 分局限在一类特殊形式的分数阶非线性系统——分数阶混沌系统的研究中，研究 人员通常采用的做法是在控制器中引入相应项来抵消原始系统中非线性项的影 响，然后再进行控制器的进一步设计。这样设计出的控制器结构复杂，实现困难， 控制代价大。所以如何设计简单易实现的控制器来实现状态空间描述的一般形式 的分数阶非线性系统的稳定是当前研究上的热点问题。 五、分数阶控制的应用 随着分数阶微积分理论的日趋完善，分数阶控制器的迭代更新，在传统的 PID 控制器已经不能提供更好的控制效果基础上，分数阶 PIλDμ控制器（FOPID 控 制器）也逐渐加入到了一些常见被控对象的控制结构、策略中。 郭伟,徐金成,温路成等[46]指出在逆变器中出现的波形控制问题，导致了输出 电压质量不佳，从而指出了传统 PI 控制器的缺陷，并且提出了一种新型的分数 阶 PIλ控制器。相比于传统的 PI 控制器，分数阶 PIλ控制器多出了一个可调阶 次,使控制器的设计更加灵活，性能得到了显著提高。最后仿真结果显示，相比 于传统的 PI 控制器，分数阶 PIλ控制器提高了逆变器输出电压的稳态精度，增 加了系统的抗干扰能力以及提高了动态响应效果。 张浩,叶永强,杨峰等[47]指出传统的重复控制器在系统采样频率和期望输出 频率的比值是非整数时，它将无法准确的跟踪输入信号，从而引起了输出静差的 增加，更影响了系统的稳定性。文献提出了一种分数阶次延迟的思路，基于拉格 朗日插值的分数阶次重复控制的理论，通过仿真验证了分数阶次的重复控制器应 用在逆变器控制中的可行性。 王瑞萍,史步海,皮佑国[48]为了实现交流永磁同步电机高性能的速度跟踪性 能，提出了一种分数阶比例积分控制器。通过频域设计方法设计出的分数阶 PIλ 控制器与具有最优参数的整数阶 PI 控制器进行控制效果的对比，仿真结果验证 了分数阶 PIλ控制器的控制性能更加优越，并使系统具有更强的鲁棒性。 张碧陶,皮佑国[49]同样提出了对交流永磁同步电机速度进行高精度跟踪的方 法，但是除去常规的分数阶 PDμ控制器，又提出了另外一种改进型的分数阶比例 微分控制器(Cs =(1+))。文章的侧重点在于对比两种分数阶控制器和常 规整数阶控制器在跟踪性能和能耗上的差别，并且通过仿真实验得出常规的整数 阶控制器的控制效果是其中最差的，改进的分数阶控制器的控制效果是最好的， 而未改进的分数阶控制器是最节能的。 续丹, 雒焕强,房念兴[50]指出传统一阶滑模控制中存在抖震和模糊控制系统
    静差的问题。结合滑模控制和模糊控制的优点，引入了分数阶微积分理论，提出 了一种永磁同步电机速度控制系统。通过仿真和实验，得出了新型的模糊分数阶 滑模控制系统有更好的控制性能，而且具有更好的鲁棒性等结论。 潘运亮,姜久龙,杜军[51]设计了一种分数阶 PIλDμ控制器与滑模变结构进行 复合控制的控制器。该复合控制器通过使用一个可变加权因子将分数阶控制器与 滑膜变结构控制结构统一协调起来。该控制器继承了两种控制策略的优点，通过 仿真得出了该控制器使得永磁同步电机控制系统的鲁棒性、快速性、稳定性等得 到了显著提高。 Changmao Q, Naiming Q [52] 通过将分数阶微积分理论加入到自抗扰控制器 特有的扩张状态观测器中，并且与分数阶 PDμ控制器结合设计出了新的分数阶次 自抗扰控制器。该控制器结合了两种控制器的优点。最后，通过对某涡扇发动机 主供油量对风扇转速的线性化学数学模型的控制，得出该控制器比单独的应用两 种控制方式以及常规的 PID 控制器控制效果要出色。 李大字,刘展,曹娇[53]提出了一种基于内模控制结构的分数阶 PIλDμ控制器 的设计方法，首先将分数阶次系统模型降阶，其次将内模整数阶 PID 设计方法 推广至分数阶系统，对其进行设计，最后通过仿真得到分数阶模型更加逼近原系 统，并且该控制器有更好的控制效果。 戚志东,周茜[54]针对氢气在扩散过程中的分数阶特性,建立 PEMFC 系统的温 度和输出电压分数阶模型. 基于此模型,将分数阶 PIλDμ控制与模糊控制相结合, 提出一种模糊分数阶 PIλDμ控制器,控制氢气流量实现负载扰动下电堆的输出电 压最佳。仿真结果表明, 模糊分数阶 PIλDμ控制系统在提高控制系统的实时性和 抗干扰性的同时, 能够改善系统的稳态性. 那景童,徐驰[55]针对分数阶被控对象,提出一种基于内模思想的分数阶控制 器设计方法 ,所得分数阶内模控制器仅有一个可调节参数,通过对该参数的调节 能够实现对一类分数阶被控对象快速控制。仿真结果证明所提分数阶内模控制器 具良好的动、静态控制品质与鲁棒性。 张莹,都琳,岳晓乐,许勇[56]基于滑模控制原理,研究了近距离追踪航天器与 目标航天器交会对接时,相对运动轨道的控制问题.设计了整数阶 PD 控制器和分 数阶 PDμ控制器;最后,分别运用整数阶和分数阶控制器对未扰和受扰系统实施 控制.数值仿真结果表明,整数阶与分数阶控制器均能实现对未扰和受扰系统的 控制,验证了方法的有效性.同时发现,在时效性上,分数阶控制器明显优于整数 阶控制器;在能效性上,达到相同控制目标时,分数阶控制器的能量消耗大于整数 阶控制器. 六、结语 分数阶控制是现代控制理论中正在兴起的一个方向，相关研究在人们对控制
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