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2022-2023学年上海市高三上学期期中数学试题及答案.doc

发布时间：2023-11-19 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：2.48M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    2022-2023 学年上海市高三上学期期中数学试题及答案 一、填空题： A   2 x x 1. 已知集合    x  2 0 , B   x ax   1 0  ，若 B A ，则实数 a的取值组成 的集合是___________． 【答案】    1,0, 1 2    【解析】 【分析】先确定集合 A 中的元素，然后结合子集的概念，分 B   ，B两种情况讨论 即可得出结果． 【详解】集合  当 B   ，即 0     a  时，显然满足条件 B    2 0 x x A  x 2  2,1 ， B   x ax  1 0   ， A ； 当 B时，即 0a  ，则 因为 B A ，所以 1 a B    B   或 {1}     B  ，即 { 2} ，    或 2 1 a   ，解得 1 1 a a  或 1 2 a   ， 1 综上，实数 a的取值组成的集合是    1,0, 1 2    ． 故答案为：    1,0, 1 2    ． 2. 复数 z在复平面内对应的点为 ( 1,2)  ，则 5 z  ___________． 【答案】 1 2i   ## 2i 1   【解析】 【分析】由复数对应的点写出复数 z ，再应用复数除法的法则求解即可. 【详解】∵z对应的点为 ( 1,2)  ，∴ z    ， 1 2i ∴ 5 z  5 1 2i      5( 1 2i)   ( 1 2i)( 1 2i)    5( 1 2i)   5    1 2i ． 故答案为： 1 2i   ． 3. 已 知 直 线 1 l ax :  ( a  1) y   3 0, l : 2 x ay  1 0 l   ， 若 1 2 l ， 则 实 数 a 的 值 是 2 ___________．
    【答案】 0 a  或 1 a   【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得 a 的值. l 【详解】由题意可知 1 l ，故 2 2 ( a a a  1)   ，即 2 a 0 a  0 解得 0 a  或 1 a   . a  或 0 1 a   故答案为: 4. 已知数列 na 为首项为 2，公差为 2 的等差数列，设数列 na 的前 n项和为 nS ，则 S 2023 2023 【答案】 2024  ___________． 【解析】 S 【分析】根据等差数列的前 n项和公式求得 nS ，进而求得 2023 2023 1)  ， 【详解】依题意 ( n n n 1)   ( n n ． 2     S d na 1 n 1) ( n n  2 2024  ． S 所以 2023 2023  2023(2023 1)  2023 故答案为： 2024 ． 5. 在 ( x  的展开式中， 2x 的系数为______. 2) 5 【答案】 10 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 2x 的系数即可. 【详解】 5 rT  可得： 1r  ，则 2x 的系数为： 2        2x  展开式的通项公式为：  r 2 C 5  2  1 2 C 5      1 r C 5 5 10 令 5 2   x   5  r  . 1 r r r 2 5 r  2 x ， 故答案为： 10 6. 已知函数 ( ) 2 f x  x   ，则不等式 ( ) f x  的解集是___________． 0 1 x    ,0) (1, ) 【答案】 ( 【解析】 【分析】由 ( ) f x  得 2 0 x x  ，作出 1 y  和 2x y x  的图像，结合图像求得不等式 1
    ( ) f x  的解集． 0 【详解】因为 ( ) 2 f x  x   ，所以 ( ) f x  等价于 2 1 0 x x x  ， 1 在同一直角坐标系中作出 2x y  和 y x  的图像如图： 1 两函数图像的交点坐标为 (0,1),(1,2) ， 由图可知：当 0 x  或 1x  时， 2 x x  成立， 1 所以不等式 ( ) f x  的解集为： ( 0    ． ,0) (1, ) 故答案为： ( 7. 已知向量 ,a b ) ,0) (1,    ．   满足| b | 2,    与b a 的夹角为60 ，则当实数变化时，|  b  的最小值 | a 为___________． 【答案】 3 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据向量减法的模的几何意义求得最小值. 【详解】如图，设   OA a OB b     , ，  b 当 (  a a  )  时，|  b 过 B作 BE OA ，即|  因为 a 与b 的夹角为60 ， a  b a  取得最小值， |  取得最小值为| | |BE ，
    所以  BOA  60 ,   BEO  90 ,|  OB | 2  ， 所以| BE  ． 3 | 故答案为： 3 8. 已知 F为双曲线 C : 2 2 x a  2 2 y b  1( a  0, b  的右焦点，A为双曲线 C上一点，直线 AF 0) x 轴，与双曲线 C的一条渐近线交于 B，若 AB AF ，则 C的离心率 e  ___________． 【答案】 2 3 3 ## 2 3 3 【解析】 【分析】将 x c 分别代入双曲线方程和渐近线方程求得 AF ， BF ，由题意 | BF | 2 |  AF | ，由此求得 2c b ， a = 3 b ，从而得离心率. 【详解】由题意得 (c,0) F ，双曲线的渐近线方程为 y 由双曲线的对称性，不妨设 A，B均为第一象限点，   ， x b a 将 x c 代入双曲线方程 2 2 x a  2 2 y b  ，得 1 2 2 c a  2 2 y b  ，得 1 y   ，所以 2b a AF  ， 2b a 将 x c 代入渐近线方程 y  b a x ，得 y  ，所以 bc a BF  ， bc a 因为 AB AF ，所以| BF | 2 |  AF | ， 所以 bc a  22 b a ，得 2c b ，所以 a  2 c  2 b  3 b ， 所以双曲线的离心率为 e  c a  2 b 3 b  2 3 3 ． 故答案为： 2 3 3 ． 9. 已知   ,   0, π 2    ，且 sin sin    【答案】 4 3 sin( )    ，则 tan的最大值为___________
    【解析】 【分析】利用三角恒等变换的知识化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式以及一元 二次不等式的解法求得正确答案. 【详解】因为sin )     sin sin(   sin   sin       sin cos cos sin        sin sin cos      cos sin  2 1 2 sin sin 2    cos  1 cos2   2 sin sin 2      cos2 cos   cos 2 cos    cos 2     2 ， 所以 2sin   cos   cos(2 )    ， 则 cos(2 )     cos   2sin  ， 所以 (cos  2sin )  2 1  ，即 2 cos 2 4sin     2 cos sin     4sin cos 2   1 ，  1 ，即 3tan 2   4tan  ， 0 解得 0  tan  ，所以 tan的最大值为 4 3 ． 即 2 1 4 tan  tan  4 tan   2 1   4 3 故答案为： 4 3 10. 将 1，2，3，4，5，6，7，8 八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均不 大于 2，则这样的排列方式共有_______种.（用数字作答） 【答案】16 【解析】 【分析】根据题意可将该排列问题看成一个圆环上有 1，2，3，4，5，6，7，8 八个数字使 其满足题意要求进行摆放，有两种情形，然后再将此圆环分别从某一个数字处剪开排成一列， 一个作为头一个作为尾，由此即可求出结果.
    【详解】根据题意可将该排列问题看成一个圆环上有 1，2，3，4，5，6，7，8 八个数字使 其满足题意要求进行摆放，有两种情形，如下图所示: 然后再将此圆环分别从某一个数字处剪开排成一列，一个作为头一个作为尾，则每一个圆环 有 8 种剪开方式情况，故满足题意的有 2 8 16 故答案为：16 .   种.   11. 若 P 、 Q 、 R 是棱长为1的正四面体棱上互不相同的三点，则 PQ QR 的取值范围是 _______. 【答案】    11, 4    【解析】 【分析】设点 P 、Q 、 R 分别棱长为1的正三棱锥 A BCD   点，设 BQ  BC ，其中  0,1 ，利用三角不等式推导出 的棱 AD 、 BC 、 BD 上的动  PQ  1 ，利用平面向量数量    QP QR QM  MP 2  2     1 4 ， 积的性质可求得   PQ QR   1 ，取 PR 的中点 M ，可得出   即可得出 PQ QR 的取值范围. 【详解】如下图所示，由任意性，设点 P 、Q 、R 分别棱长为1的正三棱锥 A BCD BC 、 BD 上的动点，  的棱 AD 、
      PQ PB       PC PB   ，  设 BQ 所以，  BC  PQ  PQ   1     ，其中  ，则 0,1   PC PB  ，   PC PB    1    所以， max   当且仅当线段 PQ 与棱 AB 或 CD 重合时，等号成立，即 PQ       1    PB  PC ,    PB PC   的最大值为1， 1 ，   PQ QR     QP QR        QP QR    1 ，当且仅当Q 与点 B 或C 重合， P 、 R 重合于 点 A 或点 D 时，等号成立， 但 P 、 Q 、 R 为不同的三点，则   PQ QR   1 ，  由上可知 PR 的最大值为1，取线段 PR 的中点 M ，    QP QR QM MP QM MP        则    QM 2   MP 2 0     2    1 2      当且仅当线段 PR 与棱 AB 重合且 Q 为棱 AB 的中点时，等号成立，则 综上所述，   PQ QR   1   1 4 . 故答案为：    11, 4    . ， 1 4   PQ QR  1 4 . 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中向量数量积的取值范围，解题的关键在于充分利 用几何性质推导出  PQ  1 ， 要注意题中条件的限制.    QP QR QM   2   MP 2 ，注意取最值时取等的条件，但也 12. 已知， ,a b R ，函数  f x   2 x  4    3   x 2 cos x .若不等式   f x  ax b  对于任意实数 x 恒成立，则 ab 的最小值是_______，最大值是_______.
    【答案】 ①. 2 ②.  12 【解析】 【分析】数形结合，由图可得不等式  f x   ax b  恒成立的充要条件是 f f     3   a b   3 a        程组表示的平面区域，再数形结合即可求解 b ，化简得到一组关于的二元一次方程，在平面直角坐标系中作出该方 【详解】 如图所示，在同一直角坐标系中作出 y   f x   ax b  恒成立的充要条件是 f f     b    b    即 b a         3 a b     即 作图如下 a        3 a    和 y  ax b  的图象，则   f x     3   a b   3 a    b
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