2013 年湖南省长沙市中考数学真题及答案
一、选择题:
1.(2013 湖南长沙 第 1 题 3 分)下列实数是无理数的是(
)
A.-1
B.0
【答案】D.
C.
1
2
D. 3
2.(2013 湖南长沙 第 2 题 3 分)小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦,我的梦”,能搜索到与之
相关的结果的条数约为 61700000,这个数用科学记数法表示为(
A.617×105
【答案】C。
D.0.617×108
C.6.17×107
B.6.17×106
)
3.(2013 湖南长沙 第 3 题 3 分)如果一个三角形的两边长分别是 2 和 4,则第三边可能是(
A.2
【答案】B.
B.4
C.6
D.8
)
4.(2013 湖南长沙 第 4 题 3 分)已知⊙O1 的半径为 1cm,⊙O2 的半径为 3cm,两圆的圆心距 O1O2 为 4cm,则
两圆的位置关系是(
A.外离
B.外切
【答案】B.
C.相交
D.内切
)
5.(2013 湖南长沙 第 5 题 3 分)下列计算正确的是(
A.a6÷a3=a3
【答案】A.
C.(a-b)2=a2-b2
B.(a2)3=a8
)
D.a2+a2=a4
6.(2013 湖南长沙 第 6 题 3 分)某校篮球队 12 名同学的身高如下表:
身高(cm)
人数
180
1
186
2
188
5
192
3
195
1
则该校篮球队 12 名同学的身高的众数是(单位:cm)
A.192
【答案】B.
B.188
C.186
D.180
7.(2013 湖南长沙 第 7 题 3 分)下列个图中,∠1 大于∠2 的是(
)
A
(AB=AC)
2
C
B
1
A
【答案】D
a
b
1
2
B
1
C
a
b
2
c
A
2
C
1
D
B
D
8.(2013 湖南长沙 第 8 题 3 分)下列多边形中,内角和与外角和相等的是(
A.四边形
B.五边形
C.六边形
D.八边形
)
【答案】A.
9.(2013 湖南长沙 第 9 题 3 分)在下列某品牌 T 恤的四个洗涤说明图案的设计中,没有运用旋转或轴对
称知识的是(
)
【答案】C.
10.(2013 湖南长沙 第 10 题 3 分)二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示,则下列关系式错误..的是(
A.a>0
C.b2-4ac>0
B.c>0
D.a+b+c>0
)
【答案】D.
二、填空题:
11.(2013 湖南长沙 第 11 题 3 分)计算:
8
2
=
【答】
8
2
=2 2 - 2 =(2-1) 2 = 2 .填 2 。
12.(2013 湖南长沙 第 12 题 3 分)因式分解:x2+2x+1=
【答】根据完全平方公式得,x2+2x+1=(x+1)2,故填(x+1)2
13.(2013 湖南长沙 第 13 题 3 分)已知∠A=670,则∠A 的余角等于
【答】230
度
14.(2013 湖南长沙 第 14 题 3 分)方程
【答案】x=1
2
1
1
x
x
的解为 x=
15.(2013 湖南长沙 第 15 题 3 分)如图,BD 是∠ABC 的平分线,P 是 BD 上的一点,PE⊥BA 于点 E,PE=4cm,
则点 P 到边 BC 的距离为
cm
【答案】4.
16.(2013 湖南长沙 第 16 题 3 分)如图,在△ABC 中,点 D,E 分别是边 AB,AC 的中点,则△ADE 与△ABC
的周长之比等于
【答案】1:2(或
1
2
)
17.(2013 湖南长沙 第 17 题 3 分)在一个不透明的盒子中装有 n 个小球,它们只有颜色上的区别,其中
有 2 个红球,每次摸球前先将盒子中的求摇匀,随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中,通过大量重复摸
球实验后发现,摸到红球的频率稳定于 0.2,那么可以推算出 n 大约是
【答案】10
18.(2013 湖南长沙 第 18 题 3 分)如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=500
若 AD=2,BC=5,则边 CD 的长是
,∠C=800,AE∥CD 交 BC 于点 E,
【答案】3
19.(2013 湖南长沙 第 19 题 6 分)计算: 3 +(-2)2-( 5 +1)0
【解】原式=3+4-1=6。
20.(2013 湖南长沙 第 20 题 6 分)解不等式组
(2
x
x
)1
x
34
x
3
①
②
并将其解集在数轴上表示出来
【 解 】 解 不 等 式 2(x+1) ≤ x+3, 得 x ≤ 1; 解 不 等 式 x-4 < 3x, 得 x > -2, 把 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 ,
所以原不等式组的解集是-2<x≤1。
21.(2013 湖南长沙 第 21 题 8 分)“宜居长沙”是我们的共同愿景,空气质量备受人们关注。我市某空气
质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况,统计了 2013 年 1 月份至 4 月份若干天的空气质量情况,
并绘制了如下两幅不完整的统计图。请根据图中信息,解答下列问题:
天的空气质量情况。
(1)统计图共统计了
(2)请将条形统计图补充完整,并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数。
(3)从小源所在班级的 40 名同学中,随机选取一名同学去该空气质量监测点参观,则恰好选到小源的概
率是多少?
【解】(1)100;(2)优的天数是 20 天,图略,空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数是 720;(3)
1
40
。
22.(2013 湖南长沙 第 22 题 8 分)如图,△ABC 中,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D,∠DBC=∠BAC.
(1)求证:BC 是⊙O 的切线;
(2)若⊙O 的半径为 2,∠BAC=300,求图中阴影部分的面积。
【解】(1)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB=900,∴∠ABD+∠BAC=900,∵∠DBC=∠BAC,∴∠ABD+∠DBC=900,∴BC
是⊙O 的切线;(2)连接 OD,∵∠BAC=300,∴∠BOD=600,∵OB=OD,∴△OBD 是等边三角形,∴S 阴影=S 扇形 OBD-S△
OBD=
60
2
2
360
2
1
2
3
2
3
3
.
23.(2013 湖南长沙 第 23 题 9 分)为方便市民出行,减轻城市中心交通压力,长沙市正在修建贯穿星城
南北、东西的地铁 1、2 号线。已知修建地铁 1 号线 24 千米和 2 号线 22 千米共需投资 265 亿元;若 1 号线
每千米的平均造价比 2 号线每千米的平均造价多 0.5 亿元。
(1)求 1 号线、2 号线每千米的平均造价分别是多少亿元?
(2)除 1、2 号线外,长沙市政府规划到 2018 年还要再建 91.8 千米的地铁线网。据预算,这 91.8 千米地
铁线网每千米的平均造价是 1 号线每千米的平均造价的 1.2 倍,则还需投资多少亿元?
【解】(1)设 1 号线每千米的平均总价是 x 亿元,则 2 号线每千米的平均总价是(x-0.5)亿元,根据题意,
得 24x+22(x-0.5)=265,解得 x=6.所以 x-0.5=5.5(亿元)。答:1 号线、2 号线每千米的平均造价分别是 6 亿
元、5.5 亿元。(2)91.8×1.2×6=660.96(亿元)。
24.(2013 湖南长沙 第 24 题 9 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别是 AD,BC 的中点,∠AND=900,
连接 CM 交 DN 于点 O.
(1)求证:△ABN≌△CDM;
(2)过点 C 作 CE⊥MN 于点 E,交 DN 于点 P,若 PE=1,∠1=∠2,求 AN 的长。
【解】(1)∵平行四边形 ABCD,∴∠ABN=∠CDM,AB=CD,BC=AD,∵M,N 分别是 AD,BC 的中点,∴BN=
1
2
∴BN=DM,∴△ABN≌△CDM;(2)由(1)易证四边形 CDMN 是平行四边形,∵∠AND=900,AM=DM,∴MN=
AD=DM,
BC,DM=
1
2
AD,
1
2
∴四边形 CDMN 是菱形,∴∠1=∠MND=∠CND=∠2,∴PN=PC,∵∠NEP=∠CEN,∴△NEP∽△CEN,∴EN2=EP·EC,
设 PN=x=PC,则 NE2=1·(x+1),∵CE⊥MN,∴x2=12+(x+1),解得 x=2 或 x=-1(舍去),由勾股定理求的 NE= 3 ,
∵PE=1=
1
2
PN,∴∠1=∠MND=∠CND=∠2=300,∴△CMN 是等边三角形,∴CM=CN=2 3 ,由(1)得△ABN≌△CDM,
∴AN=CM=2 3 .
25.(2013 湖南长沙 第 25 题 10 分)设 a,b 是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式 a≤x≤b 的实数
x 的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量 x 与函数值 y 满足:当 m≤
x≤n 时,有 m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m.n]上的“闭函数”.
(1)反比例函数 y=
2013
x
是闭区间[1,2013]上的“闭函数”吗?请判断并说明理由;
(2)若一次函数 y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”,求此函数的解析式;
(3)若二次函数 y=
1
5
x2-
4
5
x-
7
5
是闭区间[a,b]上的“闭函数”,求实数 a,b 的值。
【解】(1)是。理由:根据“闭区间”和“闭函数”的规定,当 1≤x≤2013 时,
1
2013
11
x
1
,
2013
x
2013
,
即 1≤y≤2013,所以反比例函数 y=
2013
x
是闭区间[1,2013]上的“闭函数”;(2)因为一次函数 y=kx+b(k
≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”,所以 k>0,由 m≤x≤n,得 km+b≤kx+b≤kn+b,根据“闭函数”的规
定有
km
kn
mb
n
b
,方程相减得 k(m-n)=m-n,由于 m≠n,所以 k=1,把 k=1 代入任一方程,b=0,此函数解析
式是 y=x;(3)y=
1
5
(x-2)2-
11
5
,对称轴是 x=2,顶点是(2,-
11
5
)。分三种情况:①当 a<b<2 时,y 随 x
增大而减小,当 a≤x≤b 时,
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
≤y≤
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
,由规定可得
1
5
1
5
2
a
2
b
4
5
4
5
a
b
7
5
7
5
b
a
,方程相减
得
1
5
(a+b)(a-b)-
4
5
(a-b)=-(a-b),由于 a≠b,得 a+b=-1,a=-b-1,代入第二个方程得 b2+b-2=0,解得 b=-2
或 b=1,由于 a<b,b=1,此时 a=-2.故
a
b
2
1
.②当 a<2<b 时,函数的最小值为-
11
5
,根据闭函数的意义
有 当 a ≤ x ≤ b 时 , -
11
5
≤ y ≤
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
或 -
11
5
≤ y ≤
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
, 于 是
11
5
4
5
a
1
5
2
a
或
a
7
5
b
11
5
4
5
,解得
b
7
5
b
a
b
a
1
5
2
b
11
5
26
5
或
a
b
9
11
5
109
2
(其中
a
b
9
11
5
109
2
舍去);③当 2<a<b 时,y
随 x 增 大 而 增 大 , 当 a ≤ x ≤ b 时 ,
1
5
a2-
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
=a,
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
=b,即 a、b 是
1
5
s2-
9
5
s-
4
5
7
5
b-
b2-
1
5
9
4
5
109
2
a-
7
5
≤ y ≤
7
5
, 根 据 规 定 有 ,
=0 的两个根,s=
,不合题意,应舍去.
综上所述:a、b 的值为
a
b
2
1
或
a
b
11
5
26
5
或
a
b
9
11
5
109
2
.
26.(2013 湖南长沙 第 26 题 10 分)如图,在平面直角坐标系中,直线 y=-x+2 与 x 轴,y 轴分别交于点 A,
点 B,动点 P(a,b)在第一象限,由点 P 向 x 轴,y 轴所作的垂线 PM,PN(垂足为 M,N)分别与直线 AB 相较
于点 E,点 F,当点 P(a,b)运动时,矩形 PMON 的面积为定值 2.
(1)求∠OAB 的度数;
(2)求证△AOF∽△BEO;
(3)当点 E,F 都在线段 AB 上时,由三条线段 AE,EF,BF 组成一个三角形,记此三角形的外接圆面积为 S1,
△OEF 的面积为 S2.试探究:S1+S2 是否存在最小值?若存在,请求出该最小值;若不存在,请说明理由.
【解】(1)当 x=0 时,y=2,当 y=0 时,x=2,所以点 a 坐标为(2,0),点 B 坐标为(0,2),OA=OB,所以∠
OAB=450;(2)方法一:因为矩形 OMNPN 的面积是 2,所以点 P 坐标为(a,
2
a
),点 E 坐标为(a,-a+2),点 F
坐标为(
2
a 2
a
,
2
a
),AF=
22
a
,BE= 2 a,∵
OA
BE
2
2
a
2
a
,
AF
OB
22
a
2
2
a
,∴
OA
BE
AF
OB
,
∵∠OAF=∠EBO=450,∴△AOF∽△BEO;方法二:先求各点坐标,A(2,0),B(0,2),E(a,2-a),F(2-b,b),∵
OA·OB=4,AF·BE=
2
b
2
a
2
ab
4
,∴OA·OB=AF·BE,∴
∽ △ BEO ; ( 3 ) ∵ AE=
2
(2-a),BF=
OA
BE
2
AF
OB
,∵∠OAF=∠EBO=450,∴△AOF
(2-b),EF=
2
(a+b-2), ∴
AE2+BF2=[ 2 (2-a)]2+[ 2 (2-b)]2=2a2+2b2-8a-8b+16,EF2=[ 2 (a+b-2)]2=2(a+b-2)2=2a2+2b2-8a-8b+16,∴
AE2+BF2=EF2,∴所构成的三角形是直角三角形,EF 是斜边,∴S1=π【
(2
ba
)2
2
]2=
2
(a+b-2)2,过点 O
作 EF 边 上 的 高 , 易 求 得 高 为 2 , S2=
1
,对称轴是 x=-
[(a+b-2)+
1
2
2
]2-
=
2
(2
ba
1
2
,抛物线的开口向上。由基本不等式知 a+b≥2 ab =2 2 ,a+b-2
(a+b-2)2+ ( a+b-2 )
=a+b-2; ∴ S1+S2=
2
)2
1
1
≥2 2 -2>-
2+2 2 -2。
,根据二次函数的性质,当 a+b-2=2 2 -2 时,S1+S2 的值最小,最小值为
2
(2 2 -2)