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2013年湖南省长沙市中考数学真题及答案.doc

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2013 年湖南省长沙市中考数学真题及答案 一、选择题: 1.(2013 湖南长沙 第 1 题 3 分)下列实数是无理数的是( ) A.-1 B.0 【答案】D. C. 1 2 D. 3 2.(2013 湖南长沙 第 2 题 3 分)小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦,我的梦”,能搜索到与之 相关的结果的条数约为 61700000,这个数用科学记数法表示为( A.617×105 【答案】C。 D.0.617×108 C.6.17×107 B.6.17×106 ) 3.(2013 湖南长沙 第 3 题 3 分)如果一个三角形的两边长分别是 2 和 4,则第三边可能是( A.2 【答案】B. B.4 C.6 D.8 ) 4.(2013 湖南长沙 第 4 题 3 分)已知⊙O1 的半径为 1cm,⊙O2 的半径为 3cm,两圆的圆心距 O1O2 为 4cm,则 两圆的位置关系是( A.外离 B.外切 【答案】B. C.相交 D.内切 ) 5.(2013 湖南长沙 第 5 题 3 分)下列计算正确的是( A.a6÷a3=a3 【答案】A. C.(a-b)2=a2-b2 B.(a2)3=a8 ) D.a2+a2=a4 6.(2013 湖南长沙 第 6 题 3 分)某校篮球队 12 名同学的身高如下表: 身高(cm) 人数 180 1 186 2 188 5 192 3 195 1 则该校篮球队 12 名同学的身高的众数是(单位:cm) A.192 【答案】B. B.188 C.186 D.180 7.(2013 湖南长沙 第 7 题 3 分)下列个图中,∠1 大于∠2 的是( ) A (AB=AC) 2 C B 1 A 【答案】D a b 1 2 B 1 C a b 2 c A 2 C 1 D B D 8.(2013 湖南长沙 第 8 题 3 分)下列多边形中,内角和与外角和相等的是( A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形 )
【答案】A. 9.(2013 湖南长沙 第 9 题 3 分)在下列某品牌 T 恤的四个洗涤说明图案的设计中,没有运用旋转或轴对 称知识的是( ) 【答案】C. 10.(2013 湖南长沙 第 10 题 3 分)二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示,则下列关系式错误..的是( A.a>0 C.b2-4ac>0 B.c>0 D.a+b+c>0 ) 【答案】D. 二、填空题: 11.(2013 湖南长沙 第 11 题 3 分)计算: 8  2 = 【答】 8  2 =2 2 - 2 =(2-1) 2 = 2 .填 2 。 12.(2013 湖南长沙 第 12 题 3 分)因式分解:x2+2x+1= 【答】根据完全平方公式得,x2+2x+1=(x+1)2,故填(x+1)2 13.(2013 湖南长沙 第 13 题 3 分)已知∠A=670,则∠A 的余角等于 【答】230 度 14.(2013 湖南长沙 第 14 题 3 分)方程 【答案】x=1 2  1  1 x x 的解为 x= 15.(2013 湖南长沙 第 15 题 3 分)如图,BD 是∠ABC 的平分线,P 是 BD 上的一点,PE⊥BA 于点 E,PE=4cm, 则点 P 到边 BC 的距离为 cm
【答案】4. 16.(2013 湖南长沙 第 16 题 3 分)如图,在△ABC 中,点 D,E 分别是边 AB,AC 的中点,则△ADE 与△ABC 的周长之比等于 【答案】1:2(或 1 2 ) 17.(2013 湖南长沙 第 17 题 3 分)在一个不透明的盒子中装有 n 个小球,它们只有颜色上的区别,其中 有 2 个红球,每次摸球前先将盒子中的求摇匀,随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中,通过大量重复摸 球实验后发现,摸到红球的频率稳定于 0.2,那么可以推算出 n 大约是 【答案】10 18.(2013 湖南长沙 第 18 题 3 分)如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=500 若 AD=2,BC=5,则边 CD 的长是 ,∠C=800,AE∥CD 交 BC 于点 E, 【答案】3 19.(2013 湖南长沙 第 19 题 6 分)计算: 3 +(-2)2-( 5 +1)0 【解】原式=3+4-1=6。 20.(2013 湖南长沙 第 20 题 6 分)解不等式组    (2 x x )1 x  34 x  3 ① ② 并将其解集在数轴上表示出来 【 解 】 解 不 等 式 2(x+1) ≤ x+3, 得 x ≤ 1; 解 不 等 式 x-4 < 3x, 得 x > -2, 把 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 , 所以原不等式组的解集是-2<x≤1。 21.(2013 湖南长沙 第 21 题 8 分)“宜居长沙”是我们的共同愿景,空气质量备受人们关注。我市某空气 质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况,统计了 2013 年 1 月份至 4 月份若干天的空气质量情况, 并绘制了如下两幅不完整的统计图。请根据图中信息,解答下列问题:
天的空气质量情况。 (1)统计图共统计了 (2)请将条形统计图补充完整,并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数。 (3)从小源所在班级的 40 名同学中,随机选取一名同学去该空气质量监测点参观,则恰好选到小源的概 率是多少? 【解】(1)100;(2)优的天数是 20 天,图略,空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数是 720;(3) 1 40 。 22.(2013 湖南长沙 第 22 题 8 分)如图,△ABC 中,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D,∠DBC=∠BAC. (1)求证:BC 是⊙O 的切线; (2)若⊙O 的半径为 2,∠BAC=300,求图中阴影部分的面积。 【解】(1)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB=900,∴∠ABD+∠BAC=900,∵∠DBC=∠BAC,∴∠ABD+∠DBC=900,∴BC 是⊙O 的切线;(2)连接 OD,∵∠BAC=300,∴∠BOD=600,∵OB=OD,∴△OBD 是等边三角形,∴S 阴影=S 扇形 OBD-S△ OBD= 60 2 2   360 2  1 2 3  2  3  3 . 23.(2013 湖南长沙 第 23 题 9 分)为方便市民出行,减轻城市中心交通压力,长沙市正在修建贯穿星城 南北、东西的地铁 1、2 号线。已知修建地铁 1 号线 24 千米和 2 号线 22 千米共需投资 265 亿元;若 1 号线 每千米的平均造价比 2 号线每千米的平均造价多 0.5 亿元。 (1)求 1 号线、2 号线每千米的平均造价分别是多少亿元? (2)除 1、2 号线外,长沙市政府规划到 2018 年还要再建 91.8 千米的地铁线网。据预算,这 91.8 千米地 铁线网每千米的平均造价是 1 号线每千米的平均造价的 1.2 倍,则还需投资多少亿元? 【解】(1)设 1 号线每千米的平均总价是 x 亿元,则 2 号线每千米的平均总价是(x-0.5)亿元,根据题意, 得 24x+22(x-0.5)=265,解得 x=6.所以 x-0.5=5.5(亿元)。答:1 号线、2 号线每千米的平均造价分别是 6 亿 元、5.5 亿元。(2)91.8×1.2×6=660.96(亿元)。 24.(2013 湖南长沙 第 24 题 9 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别是 AD,BC 的中点,∠AND=900, 连接 CM 交 DN 于点 O. (1)求证:△ABN≌△CDM; (2)过点 C 作 CE⊥MN 于点 E,交 DN 于点 P,若 PE=1,∠1=∠2,求 AN 的长。 【解】(1)∵平行四边形 ABCD,∴∠ABN=∠CDM,AB=CD,BC=AD,∵M,N 分别是 AD,BC 的中点,∴BN= 1 2 ∴BN=DM,∴△ABN≌△CDM;(2)由(1)易证四边形 CDMN 是平行四边形,∵∠AND=900,AM=DM,∴MN= AD=DM, BC,DM= 1 2 AD, 1 2
∴四边形 CDMN 是菱形,∴∠1=∠MND=∠CND=∠2,∴PN=PC,∵∠NEP=∠CEN,∴△NEP∽△CEN,∴EN2=EP·EC, 设 PN=x=PC,则 NE2=1·(x+1),∵CE⊥MN,∴x2=12+(x+1),解得 x=2 或 x=-1(舍去),由勾股定理求的 NE= 3 , ∵PE=1= 1 2 PN,∴∠1=∠MND=∠CND=∠2=300,∴△CMN 是等边三角形,∴CM=CN=2 3 ,由(1)得△ABN≌△CDM, ∴AN=CM=2 3 . 25.(2013 湖南长沙 第 25 题 10 分)设 a,b 是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量 x 与函数值 y 满足:当 m≤ x≤n 时,有 m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m.n]上的“闭函数”. (1)反比例函数 y= 2013 x 是闭区间[1,2013]上的“闭函数”吗?请判断并说明理由; (2)若一次函数 y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”,求此函数的解析式; (3)若二次函数 y= 1 5 x2- 4 5 x- 7 5 是闭区间[a,b]上的“闭函数”,求实数 a,b 的值。 【解】(1)是。理由:根据“闭区间”和“闭函数”的规定,当 1≤x≤2013 时, 1 2013  11  x 1 ,  2013 x  2013 , 即 1≤y≤2013,所以反比例函数 y= 2013 x 是闭区间[1,2013]上的“闭函数”;(2)因为一次函数 y=kx+b(k ≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”,所以 k>0,由 m≤x≤n,得 km+b≤kx+b≤kn+b,根据“闭函数”的规 定有 km kn mb  n b     ,方程相减得 k(m-n)=m-n,由于 m≠n,所以 k=1,把 k=1 代入任一方程,b=0,此函数解析 式是 y=x;(3)y= 1 5 (x-2)2- 11 5 ,对称轴是 x=2,顶点是(2,- 11 5 )。分三种情况:①当 a<b<2 时,y 随 x 增大而减小,当 a≤x≤b 时, 1 5 b2- 4 5 b- 7 5 ≤y≤ 1 5 a2- 4 5 a- 7 5 ,由规定可得       1 5 1 5 2 a  2 b  4 5 4 5 a b   7 5 7 5 b a ,方程相减 得 1 5 (a+b)(a-b)- 4 5 (a-b)=-(a-b),由于 a≠b,得 a+b=-1,a=-b-1,代入第二个方程得 b2+b-2=0,解得 b=-2 或 b=1,由于 a<b,b=1,此时 a=-2.故 a   b  2  1  .②当 a<2<b 时,函数的最小值为- 11 5 ,根据闭函数的意义 有 当 a ≤ x ≤ b 时 , - 11 5 ≤ y ≤ 1 5 a2- 4 5 a- 7 5 或 - 11 5 ≤ y ≤ 1 5 b2- 4 5 b- 7 5 , 于 是       11 5 4 5  a  1 5 2 a 或 a  7 5 b
      11 5 4 5  ,解得 b  7 5 b a     b   a  1 5 2 b  11 5 26 5 或 a     b    9  11 5  109 2 (其中 a     b    9  11 5  109 2 舍去);③当 2<a<b 时,y  随 x 增 大 而 增 大 , 当 a ≤ x ≤ b 时 , 1 5 a2- 1 5 a2- 4 5 a- 7 5 =a, 1 5 b2- 4 5 b- 7 5 =b,即 a、b 是 1 5 s2- 9 5 s- 4 5 7 5 b- b2- 1 5 9  4 5 109 2 a- 7 5 ≤ y ≤ 7 5 , 根 据 规 定 有 , =0 的两个根,s= ,不合题意,应舍去. 综上所述:a、b 的值为 a   b  2  1  或 a     b    11 5 26 5 或 a     b    9  11 5  109 2 .  26.(2013 湖南长沙 第 26 题 10 分)如图,在平面直角坐标系中,直线 y=-x+2 与 x 轴,y 轴分别交于点 A, 点 B,动点 P(a,b)在第一象限,由点 P 向 x 轴,y 轴所作的垂线 PM,PN(垂足为 M,N)分别与直线 AB 相较 于点 E,点 F,当点 P(a,b)运动时,矩形 PMON 的面积为定值 2. (1)求∠OAB 的度数; (2)求证△AOF∽△BEO; (3)当点 E,F 都在线段 AB 上时,由三条线段 AE,EF,BF 组成一个三角形,记此三角形的外接圆面积为 S1, △OEF 的面积为 S2.试探究:S1+S2 是否存在最小值?若存在,请求出该最小值;若不存在,请说明理由. 【解】(1)当 x=0 时,y=2,当 y=0 时,x=2,所以点 a 坐标为(2,0),点 B 坐标为(0,2),OA=OB,所以∠ OAB=450;(2)方法一:因为矩形 OMNPN 的面积是 2,所以点 P 坐标为(a, 2 a ),点 E 坐标为(a,-a+2),点 F 坐标为( 2  a 2 a , 2 a ),AF= 22 a ,BE= 2 a,∵ OA BE  2  2 a 2 a , AF OB  22 a 2  2 a ,∴ OA  BE AF OB , ∵∠OAF=∠EBO=450,∴△AOF∽△BEO;方法二:先求各点坐标,A(2,0),B(0,2),E(a,2-a),F(2-b,b),∵ OA·OB=4,AF·BE= 2 b  2 a  2 ab  4 ,∴OA·OB=AF·BE,∴ ∽ △ BEO ; ( 3 ) ∵ AE= 2 (2-a),BF= OA  BE 2 AF OB ,∵∠OAF=∠EBO=450,∴△AOF (2-b),EF= 2 (a+b-2), ∴ AE2+BF2=[ 2 (2-a)]2+[ 2 (2-b)]2=2a2+2b2-8a-8b+16,EF2=[ 2 (a+b-2)]2=2(a+b-2)2=2a2+2b2-8a-8b+16,∴
AE2+BF2=EF2,∴所构成的三角形是直角三角形,EF 是斜边,∴S1=π【 (2  ba )2 2 ]2=  2 (a+b-2)2,过点 O 作 EF 边 上 的 高 , 易 求 得 高 为 2 , S2= 1  ,对称轴是 x=- [(a+b-2)+ 1 2  2 ]2- = 2   (2  ba 1 2 ,抛物线的开口向上。由基本不等式知 a+b≥2 ab =2 2 ,a+b-2 (a+b-2)2+ ( a+b-2 ) =a+b-2; ∴ S1+S2=  2 )2 1  1  ≥2 2 -2>- 2+2 2 -2。 ,根据二次函数的性质,当 a+b-2=2 2 -2 时,S1+S2 的值最小,最小值为  2 (2 2 -2)
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