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2021-2022年江苏省宿迁市沭阳县高一数学下学期期中试卷及答案.doc
2021-2022 年江苏省宿迁市沭阳县高一数学下学期期
中试卷及答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
sin
sin
： ：
中，若 sin
1．在 ABC△
A． 30
A
B
B． 60
C
3 5 7
：： ，则 C （
）
C．120
D．150
2．若|
|
a
A． 1
2 |
| 1
，
b ，且 a
b ，则 (
a b b 的值为（
)
）
B．1
C． 2
D． 3
m ，则 cos的值为（
）
3．已知等腰三角形的一个底角为，顶角为 ，且 cos
C． 1
A． 1
B． 1+
m
2
m
2
m
2
D．
1 2m
2
4．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做
引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为
60 ，每只胳膊的拉力大小均为 350N ，则该学生的体重（单位：kg ）
约为（
）
（参考数据：取重力加速度大小为
g
10m / s
=
2
，
3 1.732
）
A．55
B．61
C．66
D．71
5．已知
0
）
（
A． 16
65
， ，
2
2
， ，若
sin
3
5
cos
，
5
13
，则 sin的值为
B． 33
65
C． 56
65
D． 63
65
6．复数
z
1
2
3 i(
2
i 为虚数单位），则 2022
z
（
）
A．1
B． 1
C． 1
2
3 i
2
D． 1
2
3 i
2
7．在菱形 ABCD 中，
AB ， E 是 BC 的中点， F 是 AB 上一点，
BF
0
4
AF
且
A． 3
5
BAD
60
，则 BD EF
B． 3
5
，
（
2
）
C． 17
5
D． 17
5
8．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景” 之一，得名“月泉
晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段
2π
3
的外接圆和以 AB 为直径的圆的一部分，若
圆弧可以看成是 ABC△
ACB
，
南北距离 AB 的长大约 60 3m ，则该月牙泉的面积约为（
，
）
B
3.14
）（参考数据：
3 1.73
2
A．
B．
C．
D．
572m
1448m
1828m
2028m
2
2
2
A
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。
9． 下列命题中，正确的是（
）
A．若|
|a
b ，则 a
|
|
b 或 a
b
B．若|
|a
b ，则 a
|
|
b
C．若 a
b//
10．下列等式成立的是（
b ，则 a
A．
sin15
cos15
2
）
1
2
C．
cos 24 cos36
cos66 cos54
1
2
D．若|
| 0a ，则 0
a
B． 1 tan15
1 tan15
D． 2cos10
cos20
3
3
sin 20
3
3
11． ie
cos
（R ，i 是虚数单位，e 是自然对数的底）称为欧拉公式，
被称为世界上最完美的公式，在复分析领域内占重要地位，它将三角函数与复
isin
数指数函数相关联．根据欧拉公式，下列说法正确的是（
A．对任意的R ， ie
1
B． ie 在复平面内对应的点在第
）
一象限
C． iπe
1 0
D． i
e e
i
i( + )
e
12．对于 ABC△
，有如下命题，其中正确的是（
A．若 cos 2
cos 2
A
B
，则 ABC△
中， sin
B．在 ABC△
A
2
C．若 2
cos
sin
sin
B
A
2
AB
AC AB
B
是 ABC△
1
，则 ABC△
，则 ABC△
cos
2
C
D．若
是等腰三角形
为钝角三角形
）
为锐角三角形的充要条件
为钝角三角形
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．菱形 ABCD 中，
AC
2
k BD
， ，
2
k
，
3
，则实数 k 的值为
14．在 ABC△
15．已知复数 z 满足|
中，已知 tan
A
z
tan
3 4i | 1
，则|
B
B
A
3 tan tan
|z 的最大值为
，则 C
3
.
.
.
16．如图，为测量山高 MN，选择 A和另一座山的山顶 C为测量观
测点．从 A点测得 M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角
∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从 C点测得∠MCA＝60°，已知山高 BC＝100 m，
则山高 MN＝________m．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。
17．（10 分）
已知复数 2
（ a R ， i 为虚数单位）．
a
z
i
（1）若 (1 2i)z
z
3 i
（2）若
为纯虚数，求复数 z ；
，且复数所对应的点位于第一象限，求 a 的范围．
18．（12 分）
已知 ( 2 1)
A
， ， ， ， ， ， ， ，且 AB CD
( 3
(2
2)
(3
5)
D
C
B
x
)
．
（1）求实数 x 的值；
（2）求 AD
在 AB
上的投影向量（用坐标表示）．
19．（12 分）
如图，三个全等的矩形相接，且 AB a AD b
，
（1）若 3
a
b ，求 tan(
2
) 的值；
（2）已知
，求 b
a
的值．
．
D
A
C
α
B
β
γ
20．（12 分）
如图，在扇形 POQ 中，半径
OP ，圆心角
2
POQ
矩形 ABCD 内接于扇形．其中 CD在半径 OQ上，记 BOC
（1）若
，求阴影部分（曲边三角形 BCQ ）的面积；
4
（2）若
CD
3
BC
，求 sin 2的值．
，B是扇形弧上的动点，
3
．
21．（12 分）
如图，在等腰梯形 ABCD 中，|
（1）若 k AB AD
与 AC
AB
| 2 |
DC
| 4
，
DAB
4
．
（2）若 P 为 AD 边上的动点，求 (
共线，求 k 的值；
PA PB PC
)
的最大值．
22．（12 分）
在 ABC△
（1）求角 B 的大小；
（2）求 sin
（3）如图所示，当 sin
（ D 与 B 在 AC 两侧），使得线段
取值范围；
sin
sin
C
C
A
A
中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 2
a
2
c
2
b
．
ac
取得最大值时，在 ABC△
所在平面内取一点 D
DC ，
2
DA ，求 BCD△
1
面积的最大值．
1~8 CBAB DABD
9．AC
10．AB
11．ABD
12．ACD
13． 4 或 1
17．解：解：（1）复数 2
14．120
z
15．6
16．150
i(
a a
R ，
)
(1 2i)
z
(1 2i)(2
i)
a
2 2
a
(
a
， …………………………………2
4)i
分
分
分
(1 2 )i z
为纯虚数，
2 2
0
a
0
4
a
，解得 1a ，
z ；…………………5
2 i
（2）
z
3 i
i
2
a
3 i
(2
i)(3 i)
(3 i)(3 i)
a
(6
a
)
2)i
(3
a
10
， …………………7
因为复数所对应的点位于第一象限，
所以
6
0
a
3
2 0
a
，解得 2
3
，
a
6
所以 a 的范围为 2 6
3
， ．…………………………………………………………
12 分
18．解：因为
AB
(4
， ，
3)
CD
(6
x
，
5)
， AB CD
所以 4 6 3(
x
5)
4 分
，解得： 3
x ； ……………………………………………
0
（2）由（1）知， (3 3)
D ， ，所以
AD
(5 2)
，
AB
2
4
( 3)
2
5
，……………
6 分
设 AD
与 AB
的夹角为，则
AD AB
AD AB
||
cos
|
4 5 ( 3) 2
5
29
14
5 29
|
， ………8 分
所以 AD
在 AB
上的投影向为
|
12 分
AD
|cos
|
AB
AB
|
14
25
(4
，
3)
(
56
25
42
，
25
)
………
19．解：（1）如图，若 3
a
b ，则
2
tan
1
2
tan
，
3
4
……………………………2
所以
分
分
6 分
tan(
)
tan
tan
1 tan tan
1 3+
2 4
1
3
2 4
1
2
……………………………4
……………………………
（2）如图可得， tan
b
3
a
tan
，
b
2
a
tan
，
b
a
，
tan(
)
因为
，所以
分
tan
tan
1 tan tan
=tan
b
即 3
a
1
b
3
a
b
2
a
b
2
a
b
a
……8
化简得， 2
a
2
b ，所以 a
所
以
b ，
b
a
的
值
为
1
……………………………12 分
20．解：（1）在 Rt OBC△
中，
BC
2sin 45
，
2
OC
2cos 45
2
.
所以阴影部分面积
S
S
扇形
OBQ
S
△
OBC
1
2
2
r
（2）在 Rt OBC△
中，
1
2
BC
2
2
OC
，
………………4 分
2cos
.
在 Rt ADO△
中，
AD
OD
tan
所以
，所以
3
OD
1
3
AD
1
3
BC
2 sin
3
，
2
2
2sin
3
CD OC OD
2cos
2
3
sin
……………………………7 分
由
CD
3
BC
，得
2cos
2
3
sin =2 3sin
，即
cos
4
3
sin
，
所以
tan
，
3
4
10 分
……………………………
所以
sin 2
2sin cos
2sin cos
2
cos
sin
2
2tan
tan
1
2
3
2
3
16
8 3
19
1
………12
分
不共线，以它们为基底，
AB
，
1
2
21．解：（1） ,AB AD
由已知
AC AD DC AD
又 k AB AD
k AB AD
AC
与 AC
1
AD
2
AB
，
共 线 ， 所 以 存 在 实 数 ， 使 得
即
1
k
2
1
，解得
6 分
k
1
1
2
；
……………………………
（2）等腰梯形 ABCD 中，
AB
2
DC
，
4
BAD
45
，则
AD ，
2
AP xAD x
PA PB
2
设
则
， ， ，
[0 1]
PA AB AB
xAD PC PD DC
,
(1
)
x AD
2
PA PB PC
)
(
AB
(
xAD
) [
2
(1
)
x AD
]
AB
1
2
AB
2
1
2
(1 2 )
2 (1
x
)
x AD
2
，
AB
1
2
x AB AD
1
2
2
4
…10 分
(1 2 ) 4
x
2 cos 45
2 (1
x
x
) 2
2
4
x
12
x
12
4(
x
3
2
2
)
，
3
所以 0
x 时，(
12 分
PA PB PC
)
取得最大值 12．
……………………………
22．解：（1）因为 2
a
2
c
2
b
，
ac
所以在 ABC△
中，由余弦定理得
cos
B
2
a
2
b
2
c
2
ac
，
1
2
又
B
0 180
， ，所以 60
B
；
……………………………2 分
（2）由（1）得，
所以
sin +sin
A
C
A C
sin +sin 120
A
120
，得 0
A
A
120
A
，
sin +sin120 cos
A
cos120 sin
A
3
2
sin
A
3
2
cos
A
3sin
A
30
，
……………………………4 分
由 30
A
30
150
，所以
sin
A
+30
≤ ，
1
1
2
所以 sin sinA
C 的取值范围是 3
2
， ；
3
……………………………6 分
（3）当 sin sinA
C 取得最大值时， +30
A
90
，解得 60
A
；
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