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2021-2022年江苏省南京市浦口区高一数学下学期期中试卷及答案.doc

发布时间：2024-04-16 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.69M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    2021-2022 年江苏省南京市浦口区高一数学下学期期中试卷 及答案 一、选择题。本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．sin7°cos37°﹣sin83°sin37°的值为（ B ） A．﹣ B．﹣ 2．设 z＝ ，则|z|＝（ C ） A．2 B． C． C． D． D．1 3．已知 ＝（1，1）， ＝（x，1）， ⊥（ + ），则 x＝（ D ） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 4．随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得 快递行业市场规模呈现出爆发式的增长．浦口区的张先生计划在住的小区内开一家菜鸟 驿站，为了确定驿站规模的大小，他统计了隔壁小区的菜鸟驿站和快宝驿站一周的日收 件量（单位：件），得到折线图如下，则下列说法不正确的是（ D ） A．菜鸟驿站一周的日收件量的极差小于快宝驿站一周的日收件量的极差 B．菜鸟驿站星期三的日收件量小于快宝驿站星期六的日收件量 C．菜鸟驿站日收件量的平均值大于快宝驿站的日收件量的平均值 D．菜鸟驿站和快宝驿站的日收件量的方差分别记为 ， ，则 ＞ 5．在△ABC 中， ，b＝1，∠B＝30°，则∠A＝（ C ）
    A．30° B．60° C．60°或 120° D．120° 6．已知 A． ，则 B． 的值是（ A ） C． D． 7．圭表（如图 1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括 一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称 为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长 的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图 2 是一个根据北京的地理位置 设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为 26.5°，夏至正午太 阳高度角（即∠ADC）为 73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即 DB 的长）为 a， 则表高（即 AC 的长）为（ D ） A． B． C． D． 8．若函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，对任意 x∈R，都有 f（x﹣1）＝f（x+1），且当 x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，若函数 g（x）＝f（x）﹣loga（x+2）（a＞1）在区间（﹣ 1，3）恰有 3 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（ C ） A．（1，3） B．（3，5） C．（3，5] D．（1，5] 二、选择题。本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。
    （多选）9．设复数 z 在复平面内对应的点为 Z，原点为 O，i 为虚数单位，则下列说法正确 的是（ CD ） A．若|z|＝1，则 z＝±1 或 z＝±i B．若 ，则 z 的虚部为﹣2i C．若点 Z 的坐标为（﹣1，l），则 对应的点在第三象限 D．若 ，则点 Z 的集合所构成的图形的面积为π 10．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，以下说法中正确的是（ AD ） A．若 A＞B，则 sinA＞sinB B．若 a＝4，b＝5，c＝6，则△ABC 为钝角三角形 C．若 acosA＝bcosB，则△ABC 一定是等腰三角形 D．若 ，则符合条件的三角形不存在 （多选）11．若不共线向量 、 满足 ，则下列结论中正确的是（ AC ） A．向量 、 的夹角恒为锐角 B．2| |2 • C． D．|2 |＜|2 | （多选）12．在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a＝2bcosB，且 b ≠c，则（ ACD ） A．A＝2B B．角 B 的取值范围是 C．cosA 的取值范围是 D． 的取值范围是 三、填空题。本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．设一组样本数据 x1，x2，…，xn 的方差为 0.01，则数据 10x1+1，10x2+1，…，10xn+1 的 方差为 1 ． 14．已知 是单位向量， 与 的夹角是 ，且| + |＝ ，则| |＝ 2 ． 15 ． 在 菱 形 ABCD 中 ， ， P 为 菱 形 ABCD 所 在 平 面 内 的 一 点 ， 则
    的最小值为 ﹣1 ． 16．已知函数 ．当 时，关于 x 的方程[f（x）]2 ﹣（2m+1）f（x）+m2+m＝0 恰有三个不同的实数根，则 m 的取值范围是 [﹣1，0] ． 四、解答题。本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．若复数 z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣m﹣2）i，当实数 m 为何值时 （1）z 是实数； （2）z 是纯虚数； （3）z 对应的点在第二象限． 解：（1）由题意可得：m2﹣m﹣2＝0， 解得：m＝﹣1 或 2； （2）由题意可得：m2+m﹣6＝0，且 m2﹣m﹣2≠0， ∴m＝2 或﹣3，且 m≠﹣1 且 m≠2， ∴m＝﹣3； （3）由题意可得： ， 解得：﹣3＜m＜﹣1． 18．在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 acosC+ccosA＝2bcosB． （1）求角 B 的大小； （2）b＝2，求△ABC 周长的取值范围． 解：（1）∵acosC+ccosA＝2bcosB， 由正弦定理，得 sinAcosC+sinCcosA＝2sinBcosB， ∴sin（A+C）＝sinB＝2sinBcosB， ∵sinB＞0，∴ ，得 ； （2）根据（1）中所求， ，又 b＝2， 由余弦定理可得 b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣3ac＝4， 则（a+c）2﹣4＝3ac ，即 a+c≤4， 当且仅当 a＝c 时取得等号，又 a+c＞b＝2，∴4＜a+c+b≤6， △ABC 周长的取值范围为（4，6]．
    19．南京市某报社发起过建党 100 周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章， 打算从众多文章中选取 60 篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在[15， 65]之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图： （1）求频率分布直方图中 m 的值； （2）为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，从这 60 篇文 章中抽出 20 篇文章，并邀请相应作者参加座谈会．求从年龄在[15，35）的作者中选出 参加座谈会的人数； （3）根据频率分布直方图，求这 60 位作者年龄的样本平均数 （同一组数据用该区间的 中点值作代表）和 80 百分位数（结果保留一位小数）． 解：（1）频率分布直方图知：10×（0.01+0.015+m+0.03+0.01）＝1， ∴m＝0.035． （2）按分层抽样抽出的 20 篇最佳文章的作者， 年龄落在[15，25）的有 2 人， 年龄落在[25，35）的有 3 人，共 5 人． （3）样本平均数 岁， 参赛作者年龄的第 80 百分位数为 ． 20．如图，在边长为 4 的正△ABC 中，E 为 AB 的中点，D 为 BC 中点， ＝3 ，令 ＝ ， ＝ ． （1）试用 、 表示向量 ； （2）延长线段 EF 交 AC 于 P，求 的值．
    解：（1） ＝ （2）设 ＝ ； ， ， 由 与 共线，可知存在 k 使得 ，即 ， 即 ，则 ，解得 ，即 ， ＝ ， 所以 ＝ ． 21．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛 B 与小岛 A、小岛 C 相距都为 5 nmile，与小岛 D 相距为 ．∠BAD 为钝角，且 ． （1）求小岛 A 与小岛 D 之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积； （2）记∠BDC 为α，∠CBD 为β，求 sin（2α+β）的值．
    解：（1）∵sinA＝ ，且 A 为钝角，∴cosA＝ ， 在△ABD 中，由余弦定理可得 BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•cosA， ∴ ，即 AD2+8AD﹣20＝0， 解得：AD＝3 或 AD＝﹣10（舍去）． ∴小岛 A 与小岛 D 之间的距离为 2 nmile． ∵A、B、C、D 四点共圆，∴A 与 C 互补，则 sinC＝ ， cosC＝cos（180°﹣A）＝﹣cosA＝ ． 在△BDC 中，由余弦定理得：CD2+CB2﹣2CD•CB•cosC＝BD2， ∴ ，得 CD2﹣8CD﹣20＝0， 解得 CD＝﹣2（舍去）或 CD＝10． ∴S 四边形 ABCD＝S△ABD+S△BCD＝ AB•AD•sinA+ CB•CD•sinC ＝ ×5×2× + ×5×10× ＝3+15＝18（平方 nmile）； （2）在△BDC 中，由正弦定理得： ， 即 ，解得 sinα＝ ． ∵DC2+DB2＞BC2，∴α为锐角，则 cosα＝ ， 又∵sin（α+β）＝sin（180°﹣C）＝sinC＝ ， cos（α+β）＝cos（180°﹣C）＝﹣cosC＝﹣ ， ∴sin（2α+β）＝sin[α+（α+β）]＝sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β） ＝ ＝ ．
    22．已知平面向量 ＝（1，x）， ＝（|x2﹣1|，x+k），函数 f（x）＝ • ，x∈R． （1）若 k＝1，求方程 f（x）＝0 的实数解； （2）若 f（x）在（0，2）上有两个零点 x1、x2，求实数 k 的取值范围，并证明： + ＜4． 解：（1）f（x）＝ ＝|x2﹣1|+x2+kx，x∈R， 若 k＝1，则 f（x）＝|x2﹣1|+x2+x，得方程|x2﹣1|+x2+x＝0， 当 x≤﹣1 或 x≥1 时，解方程 2x2+x﹣1＝0，得 x＝﹣1 或 x＝ （舍）， 当﹣1＜x＜1 时，解方程 x+1＝0，得 x＝﹣1（舍）， 综上所述，x＝﹣1； （2）证明：当 x∈（0，2）时， ， 当 x∈（0，1]时，f（x）是单调函数，f（x）至多只有一个零点， 当 x∈（1，2）时，假设 f（x）有两个零点 x1、x2，则 x1x2＝﹣ ＜0，出现矛盾， 因此必有 0＜x1≤1＜x2＜2， 由 f（x1）＝0，得 k＝﹣ ，所以 k≤﹣1， 由 f（x2）＝0，得 k＝ ﹣2x2， 显然函数 y＝ ﹣2x 在（1，2）上递减，故﹣ ＜k＜﹣1， 故实数 k 的取值范围是﹣ ＜k＜﹣1， 又由 k＝﹣ 以及 k＝ ﹣2x2，消去 k，整理得 2x1x2 2﹣x1﹣x2＝0， 即 + ＝2x2，
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