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微环谐振器理论.pdf

发布时间：2022-06-09 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：1.62M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    第 10 章 微环谐振器 近年来，微环谐振器已引起国内外研究者的高度重视和极大兴趣，成为热点研究课题。 微环谐振器具有成本低、结构紧凑、集成度高、插入损耗小、串扰低等优点，在光信号处理、 滤波、波分复用、解复用、路由、波长变换、调制、开关、激光等方面都具有广泛的应用。 由于微环谐振器的谐振不需要腔面或光栅来提供光反馈，因此十分有利于与其他光电子元器 件的单片集成。多个微环的串联和并联的多级级联，可以有效地增大自由光谱区(FSR)，从而 可以有效地增大信道数量，所形成的近于方形的谐振光谱，使得带宽变得十分平坦。因而这 种微环阵列可以成为密集型波分复用的理想器件。当前国际上在微环谐振滤波器方面已做了 大量的理论和实验工作，用 Si/SiO2、GaAs/AlGaAs、GaInAsP/InP 等材料制成的器件已有大 量的报道，包括单环[1~4]、并联双环[5~8]、并联多环[9~15]、串联双环[16~19]、串联多环[20~25]、并 联串联多环[26~28] (即微环阵列)等结构。但对微环谐振波分复用器的研制还很少。 1999 年和 2002 年，日本 S. T. Chu、S. Suzuki 等人对其所研制的具有 8 个信道的 Si 基 Ta2O5/SiO2 微环谐振波分复用器进行了工艺研制报道[29~31]，从而使微环谐振波分复用器开始 了真正意义上的研制。他们所研制的器件，相对于中心波长为 1.55 m、波长间隔为 5.7 nm 的 8 个不同的波长，已显示出明显的分波作用。 本章将详细地阐述上述各种结构的微环谐振滤波器和一个分波单元中含有一个微环及 含有三个微环的波分复用器的工作原理，给出微环波导和信道波导截面尺寸、耦合间距、微 环半径、相邻微环间的半径差等结构参量的优化方法，并对微环的谐振级数、FSR、微环半 径与波长间的色散关系、输出光谱、插入损耗、串扰等特性进行分析。 10.1 基本原理和基本功能 10.1.1 基本结构 微环谐振器分为滤波器和波分复用器两种基本结构，最简单的结构为单环谐振器，如图 10.1 所示，其他复杂的结构是由多个单环组合而成。依据两信道的位置，可分为平行信道和 竖直信道两种结构；依据微环波导和信道波导的位置，又可分为微环和信道在同一平面内和 微环在信道之上两种结构。图 10.1(a)显示了平行信道单环谐振滤波器的结构，而图 10.1(b) 显 示了竖直信道单环谐振滤波器的结构，而图 10.1(c)则显示了竖直信道微环谐振波分复用器的 基本结构。在本章的分析中，对于微环谐振滤波器采用图 10.1(a)给出的平行信道结构，而对 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 (a) 330 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 (b)
    10 8 6 4 2 0 1 0 2 2 4 6 3 8 10 4 5 (c) 图 10.1 (a)平行信道单环谐振滤波器，(b)竖直信道单环谐振滤波器，(c)竖直信道微环谐振波分复用器 于微环谐振波分复用器则采用图 10.1(c)给出的竖直信道结构。 微环谐振滤波器只具有滤波功能，而微环谐振波分复用器可具有解复用、复用和周期性 三种基本功能，将在下面分别加以说明。 10.1.2 微环谐振方程 光在微环中传输时，只有那些绕微环传输一周时所产生的光程差为波长的整数倍的光才 能产生谐振而加强，即满足下述的微环谐振方程 c 2 m Rn   (10.1-1) 或者说，只有那些绕微环传输一周时所产生的相位差为 2π的整数倍的光才能产生谐振而加 强，此时的微环谐振方程为 R m 2  2   (10.1-2) 式中，R 为微环的谐振半径，nc 为微环波导中模的有效折射率，β为模传播常数，λ为真空中 光波长，m 为谐振级数，取正整数。微环波导的谐振级数 m 是一个重要参量，一旦谐振级数 m 确定后，则其它一些参量如微环谐振半径、半径-波长色散方程、相邻微环的半径差、FSR 等表达式也随之确定，并可由微环谐振方程推导出来。 10.1.3 微环谐振半径 由式(10.1-1)得到微环的谐振半径 R 为 R  m  2 n  c (10.1-3) 10.1.4 半径-波长色散方程 某一波长的信号光在微环中谐振时必须满足微环谐振方程(10.1-1)，不同波长的光所对应 的模有效折射率 nc 互不相同，谐振时所对应的微环半径 R 也互不相同，因此可以把 nc 看成  c 是波长的函数， 。式 (10.1-1)对波长求偏导，可得 ，而把 R 看成是谐振级数 m 和波长的函数， ,mRR  n  c n  2  Rn    c 2  dnR c d   m 由此得到 R    R 2  m 利用式(10.1-1)，上式变为 m n       1 2 c dn c d     331 (10.1-4) (10.1-5)
    R     m n  2 c 2    n c   dn c d     由此得到微环谐振器的半径-波长色散方程为 R     mn g 2 2 n  c 式中 ng 为波导的群折射率，定义为 n g  n c   n d c d  (10.1-6) (10.1-7) (10.1-8) 10.1.5 相邻微环半径差 令谐振级数改变 m 、谐振波长改变时，微环谐振半径改变为ΔR，由于 ,mRR   ， 由式(10.1-3)、(10.1-7)可得 R    R  m    m R   1 n  2 c      m g mn n c      (10.1-9) 式中 m  0, 1, 2, …。上式说明，R 与m 或呈线性关系，即当微环谐振级数每改变m、 同时信号光的谐振波长每改变时，则要求微环波导的谐振半径改变R，即等间隔波长的信 号光从输入信道波导输入后，将分别耦合进入具有等间隔半径的不同微环波导中发生谐振， 然后耦合进入相应的输出信道波导中输出，从而实现分波功能，参见图 10.1(c)。称为波长 间隔，R 称为相邻微环半径差。 1m 10.1.6 FSR 光谱中两个相邻的谐振峰之间的波长差称为 FSR。令这两个谐振峰所对应的谐振级数分 别为 m 和 1m ，由式(10.1-1)可以看出，m 减小时，波长增大，因此一个 FSR 所对应的谐振 。当某一波长为的信号光在半径为 R 的微环中谐振时，必须满足微环谐振 级数差 方程(10.1-1)。此时 R 保持定值， ，式(10.1-1)对波长 求微分，可得 dnR c d  1m (10.1-10)     mm  c m  ，由于 n  c  FSR ，  m m  n 2    m m 于是得到 FSR   1   mm 利用式(10.1-1)，上式变为    1  R 2  m dn  c  d  FSR  n  c m   n c   1  dn  c  d  利用式(10.1-8)，由上式则可得到 FSR 为 FSR  n mn c g (10.1-11) (10.1-12) (10.1-13) 10.1.7 输出信道波导数 不同波长的信号光，可能从相同的端口输出，FSR 也就是这样波长的间隔范围，所以 FSR 决定了最大可能的输出信道波导数 Nmax，为 332
    FSR    N max int    10.1.8 基本功能 1．微环谐振滤波器    int      n   c  mn    g (10.1-14) 10 8 6 4 2 0 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 如图 10.1(a)、(b)所示，含有不同波长的复信号光从主信道输入端口输入并耦合进入微环 后，其中只有某一特定波长的光能满足谐振条件而在微环中引起谐振，耦合进入下信道或竖 直信道的光以这一谐振波长的输出光强为最大，从而完成了滤波功能。 2． 微环谐振波分复用器 10 8 6 4 2 0 1 0 2 2 4 6 3 8 10 4 5 我们在主信道输入端口输入 N 个波长的信号光，令相邻波长的信号光的波长差为Δλ，则  ,2,1  , N ， 1为初始波长。 第 i 个波长为  1   i    1  i i (1) 解复用 如图 10-1(c)所示，含有不同波长的复信号光从主信道输入端口输入并耦合进入不同半径 的微环后，每个微环中只有一个波长的光能满足谐振条件而引起谐振，不同半径的微环中谐 振光的波长也互不相同，因而耦合进入不同的竖直信道后具有最大输出光强的光的波长也互 不相同，从而完成了解复用功能。 (2) 复用 反之，从不同的竖直信道端口输入不同波长的信号光耦合进入不同半径的微环谐振后， 再耦合进入主信道后的输出光为这些波长的复合光，从而完成了复用功能。 (3) 周期性 FSR 对于  N 的器件，波长为i 和i+N  FSR 的信号光将从同 的器件则无周期性。如图 10-1(c)所示， 一端口输出，这种性质称为周期性。对于 此时 N = 5，令从主信道输入的1，-2，3，4，5 五个波长的信号光分别从第 1，2，3，4， 5 条竖直信道输出。如果输入的信号光为0，1，2，3，4，5 六个波长，其中波长为1， 2，3，4 的信号光仍分别从第 1，2，3，4 条竖直信道输出，对于波长为0 和5 的两个信号   Ni i  N Ni   FSR    333
    ，则波长为0 和5 的两个信号光都能 光，根据周期性， 从第 5 个端口输出。如果输入波长中没有0，则从第 5 个端口输出的只是波长为5 的信号光。  0 ，即有  50  0  5 5   5   10.2 波导间的弯曲耦合 微环谐振器中光的传输是靠微环波导与微环波导之间或微环波导与信道波导之间的耦 合来实现的，因此对两条弯曲波导间的耦合或弯曲波导与直波导间的耦合的研究就显得十分 重要。由于两条波导中至少有一条波导是弯曲的，不再是第 9 章中所讨论的两条平行直波导 定向耦合的情况，但是可以把两条平行直波导定向耦合的结果推广应用到这种波导间弯曲耦 合的情况。下面我们运用传输矩阵法对两条弯曲波导间的耦合加以分析[32]，而弯曲波导与直 波导间的耦合可以看成是两条弯曲波导间耦合的一种特殊情况。 微环谐振器中两波导的弯曲耦合如图 10-2 所示, 图中的矩形表示在 z = 0 处两波导的波 导芯横截面。两波导的耦合情况依据二者的相对位置可分为四种情况：微环波导与微环波导 之间、微环波导与信道波导之间的侧向耦合(图 10-2a、b)及竖直耦合(图 10-2c、d)。侧向耦合 时，两波导处于同一平面内，而竖直耦合时，一条波导在另一条波导之上。我们在下面对各 种结构的微环谐振器的分析中，皆忽略弯曲对波导模式传播常数的影响，并假设通过适当选 择信道波导和微环波导的截面尺寸和折射率分布使得二者的模式传播常数相同。 R-n 0 2 R-n+1 4 z-n+1 z-n=-L z-n+1 S-n+1 S-n S 2i 10 8 6 6 4 2 R0 0 8 0 S0 R2 10 Ri zi zi Si R1 1i x (a) b a Rn zn=L z Sn 0 2 z z=z l 10 8 6 4 2 0 6 8 10 R S z=0 a1 b1 d  b2 a2 4  x (b) 334
    0 2 4 6 -z0 z=z 10 R2 l z0 R1 S 10 z=0 8 6 20 4 2 2 0 a1 b1 8   a2 b2 10 1 x (c) 0 2 4 6 z -z0 S z=0 z=z 10 8 6 4 2 10 0 a1 b1 8  l  a2 b2 0  R x (d) z0 z 图 10-2 微环波导与微环波导之间和微环波导与信道波导之间的(a，b)侧向耦合及(c，d)竖直耦合示意图. , 1 nz 10.2.1 耦合模方程及其解 在图 10-2(a)中，我们把两条圆弧波导沿 z 方向，在 z = 0 的两侧各分为 n 小段，其长度 nz ，令两条圆弧波导在 z 轴上投影的长度为 2L，  处两波导的初始输入振幅分别为 ，并令在 nz z  处两波导的输出振幅分别为 nR 、 nS ，在各小段分界点处两波导的振幅 1nS , …, 分别为 各小段在 z 轴上投影的长度为 nR 、 nS  ，在 , 依次为 0z , …, z  1 nz , z 1 i 1nS 。 2 nz 0S ,…, 1nR 1nR , , …, 0R , nz z z i i 波导的弯曲导致沿 z 轴上的各点处两波导间的垂直距离互不相同，因而两波导间耦合系 数互不相同。由于我们所分割的各个小段很小，以至可把每个小段内两波导间的垂直距离各 自近似看成是常数，进而可把每个小段内两波导间的耦合系数 Ki 各自近似看成是常数。每个 小段内两波导在 z 轴上的投影则可看成是直波导间的方向耦合，这种同向耦合的耦合模方程 仍由式(9.6-25)、(9.6-26)给出，为  zSK 12 (10.2-1)   zR    j j   j   zS  j  zRK 21 (10.2-2)   zR d z d   zS d z d   式中 2  1 (10.2-3) 自耦系数 M1、M2 和耦合系数 K12、K21 由式(9.6-7)、(9.6-8)、(9.6-11)、(9.6-12)定义，K12、K21 MM     2 2   1  的关系为 K 21 K   12 。 这里 我们 令两 条波 导完 全相 同， 因此 两波 导的 传播 常数 相同 ，则 有  ， ，此时耦合系数变为正实数，由式(10.2-3)可知 0 。在第 i KK   1   2   1 MMM 小段上耦合模方程(10.2-1)、(10.2-2)则可写为 12 K ， 21 2 335
      zR d z d   zS d z d  j  zSK i  j  zRK i 式(10.2-4)、(10.2-5)两端对 z 求导，再利用这两式，可得 d d 2   zR 2 z d   2 zS 2 z d   zRK   0  2 i zSK   0  2 i (10.2-4) (10.2-5) (10.2-6) (10.2-7) 其通解可以写成     CzR zK z cos   i i i 1     C zS zK z cos   i 处，   1 iz zR R   i 1 2 i i 在 z 则可定出 i R C  i 1 1      D z zK sin   i i i 1      D z zK sin   i 1 2   ，  S zS ，利用式(10.2-8)、(10.2-9)及式(10.2-4)、(10.2-5)，   i 1 (10.2-8) (10.2-9) 1  1  1   i i i i 1  1  D i 1  j S i 1  C 2 i S  i 1 D 2 i  j R i 1  (10.2-10) 代入式(10.2-8)、(10.2-9)有   R zK   i i 1    R zK j sin  i i 1  z  处，    ，  zR R zS i   zR   zS cos i z i   i 在 iz 可得到      S j i 1  S    zK sin  i   zK cos z  i 1  z i  ，代入式(10.2-11)、(10.2-12)，并利用 1  S 1   i i 1   1  z i i i R S R  i j   cos sin  zK  i i  zK  i i   S j i 1  S  i 1   sin cos i zK  i  i zK  i 1  R i 1  写成矩阵的形式为 i R i S i       M i    R i S i 1  1     式中 Mi 称为波导弯曲耦合的传输矩阵，为  zK  i zK   cos sinj   zK  i i  zK  i sinj   cos M   i i i i    i      (10.2-11) (10.2-12)  ，则 z i z i z  1 i (10.2-13) (10.2-14) (10.2-15) (10.2-16) 依次运用传输矩阵(10.2-16)，则可得到在每个小段上的模式振幅为     sinj      n k k i MM i  1 M  i n- 1  R S     n            k  zK cos    k n 1  i  sinj   zK  n 1   k k  i k  zK  n 1  i zK  n 1   k k              k    R S  n  n       k  cos   k R i S i       令所划分的小段无限多，以至每个小段的长度 (10.2-17) ，上式中的求和变为积分，则有 0 iz lim z 0  k k i  n 1  zK  k k z   L   zK d z ，  zK 为 z 点处两波导间的弯曲耦合系数，是 z 的函数。由上 336
    式则可得到两条弯曲波导中 z 点处的模式振幅  zR 、  zS 满足的矩阵方程为   zR   zS       z  cos   sinj       、  S       L      z zK d   L z   z zK d L  nR  式中    nR  LR 上式两端取转置共轭后左乘上式，可得  2 L  LR    zR   zS      S  2 2 2  sinj  cos          z   z   z zK d L   zK d z  LR   S L                     L 为两波导初始端的输入振幅。 (10.2-18) (10.2-19) 上式说明两波导在各点处的传输功率之和保持为常数，等于两波导初始端的总输入功率，不 随传输距离而改变，体现了功率守恒。 由式(10.2-18)可以看出，如果两波导的初始输入振幅相等，   LR   zR    zS  A   cos    z   L   zK d z    sinj     z  L   zK d z      上式说明在这种情况下两波导在各点处的振幅及功率对应相等。   S   L  A  ，则有 (10.2-20) 10.2.2 振幅耦合比率 令 Lz  ，由式(10.2-18)则可得到两条弯曲波导的输入/输出振幅之间的关系为   LR   LS           t j   j    t      LR   S L      式中，t 分别称为振幅耦合比率和振幅透射比率，为 sin    z zK d   t  cos   L  L   zK z d   L L    1  。 显然有 2  t 2 (10.2-21) (10.2-22) 通过微环中心和耦合点做截面 S，通过上述截面时模式的输入/输出振幅分别为 1a 、 1b 及 2a 、 2b 。在弯曲半径较小及耦合间距较大的情况下，当两波导进行弯曲耦合时，与弯曲半 径相比，只有在 z = 0 处的界面 S 附近一个很小的范围内才能发生明显的耦合而使模式的振 幅发生变化，因此可以认为在界面 S 两侧模式的振幅不随传输距离 z 而变化，分别等于截面 S 两侧模式的输入/输出振幅，即令   ，代入式  (10.2-21)得到     ，   1b LS 及   LR j    t  (10.2-23) ，  S  t j  LR a 1 a b 1 b 2 2a 2b             1a L       2 或为  1 j ta b 1 b 2 j a  2 a ta   1 (10.2-24a) (10.2-24b) 式(10.2-23)或式(10.2-24)称为振幅耦合方程，在以下对各种结构的微环谐振器的分析中经常 用到。  2 振幅耦合比率在微环与微环间、微环与信道间的耦合中起到非常重要的作用，对微环的 滤波和分波作用具有相当大的影响。我们对图 10-2 给出的四种情况的振幅耦合比率分别加 以讨论。 337
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