logo资料库

张量分析及其场论（详细解读）.pdf

发布时间：2022-06-09 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.92M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
第1页 / 共89页
第2页 / 共89页
第3页 / 共89页
第4页 / 共89页
第5页 / 共89页
第6页 / 共89页
第7页 / 共89页
第8页 / 共89页
资料共89页，剩余部分请下载后查看
    张 量 分 析 及 场 论 Tensor Analysis and Field Theory 刘长根 天津大学力学系应力教研室 1
    目录 第一章  张量代数 ..................................................................................................................... 1  §1.1 点积、矢量分量及记号 ij  .......................................................................................... 1  1.2 记号 ijk 、矢积（叉乘）、  关系 ........................................................................ 5  1.3、坐标变换 ...................................................................................................................... 9  1.4、并矢、张量 ................................................................................................................ 12  1.5 张量的代数运算 ........................................................................................................... 14  1.6 张量识别定理（商判则） ........................................................................................... 16  1.7、二阶张量 .................................................................................................................... 17  1.8、张量举例 .................................................................................................................... 21  习题一 ................................................................................................................................. 36  第二章    正交曲线坐标系中的张量分析与场论 ................................................................. 39  2.1、矢量函数、及其导数与微分 .................................................................................... 39  2.2 场 ................................................................................................................................... 43  2.3、曲线坐标 .................................................................................................................... 45  2.4、标量场的方向导数、梯度 ........................................................................................ 49  2.5、矢量场的通量、散度、奥高定理 ............................................................................ 53  2.6、矢量场的环量、旋度、斯托克斯公式 .................................................................... 56  2.7、哈密顿算子 ................................................................................................................ 58  2.8、基矢量对坐标的导数及其应用 ................................................................................ 62  2.9、几种重要的场 ............................................................................................................ 69  习题二 ................................................................................................................................. 75  第三章  一般曲线坐标系中的张量分析初步 ....................................................................... 77  3.1、曲线坐标，基矢量，度量张量 ................................................................................ 77  3.2、克里斯托弗尔符号及其性质 .................................................................................... 80  3.3、协变导数，逆变导数 ................................................................................................ 82  2
    3.4、内禀导数 .................................................................................................................... 83  3.5、曲率张量 .................................................................................................................... 84  3.6、问题形式的转换 ........................................................................................................ 86    3
    第一章 张量代数 任何物理现象的发展都是按照自身的规律进行的，这是客观的存在，而不以人们的意志 为转移。但是，在研究、分析这些物理现象时，采用什么样的方法则是由人们的意志决定的。 无数事实证明，研究方法的选取与当时人们对客观事物的认识水平有关，而研究方法的好坏 则直接关系到求解问题的繁简程度。 由于物理量的分量与坐标的选择有关，所以由物理量的分量表示的方程，其形式就必然 与坐标系的选取有关。在建立基本方程时，每选用一种坐标系都要作一些繁琐的推导。 张量分析能以简洁的表达式，清晰的推导过程，有效地描述复杂问题的本质，并突出现 象的几何和物理特点。张量分析成功应用的根本在于由它表示的方程具有坐标变换下不变的 性质，即由张量表示的方程，其形式不随坐标的选择而变化。 第一章中将着重介绍直角坐标系中的张量代数，第二章介绍正交曲线坐标系的张量分析 及场论，作为进一步的学习的基础，在第三章还对一般曲线坐标系中的张量做了简单的介绍。 §1.1 点积、矢量分量及记号 ij 我们在以前的学习中已熟悉了用箭头表示的矢量，如位移 等。这些量满足平行四边形运算的矢量加法法则，即  u ，力 F 设u ，v 在理论力学中我们还知道，如u   uw 为矢量，则   v 的运算如图 1.1 所示。  表示某一点的位移，F 表 示作用在该点上的力，则该力对物体质点所做的功为 u w v 图 1.1、矢量加法的平行四边形法则  其中 F 、|u  | |   uFW || cos  |分别表示矢量 F 、u  的大小，θ表示矢量 F 与矢量u 之间的夹角，这就 定义了一种称为点积的运算。 点积的定义：设u ，v 为两个任意不为零的矢量，设|u |，| v |分别为其大小（也称为模）。 • v = v •u 。可以用几何的方法证明点积也具 与v θ为这两个矢量之间的夹角，则u   vu || | cos 由点积定义可知，点积具有交换律，即u  vu |  的点积为 有分配率，即如 w  =u ，则     FvFuFw  +v   1 或可写为
      u (  vu    F )v  则称u 0 如果 由点积的定义可知，   FvFu  垂直于v ，记为u   。如|u 2u uu  。 ⊥ v |=1 则称u 为单位矢量。 以上对矢量的记法是一种几何记法，称为实体记法，也可以称为不变形式。这种记法的 特点是非常直观。如在力学中，分析作用力时，就用有向线段来表示矢量。但是用几何记法 只能进行简单的矢量运算，稍微复杂一点的矢量运算就无法进行了，因此必须借助于坐标用 分析的方法来进行。 为此，我们引入坐标系，用坐标的方法来描述一个矢量。在空间选三个单位矢量组成坐 , 3e 标架，这三个单位矢量取名为（ 1e 为 1，方向互相垂直，即有如下的性质： 2e , ），其大小（模） 2e 可以用平行四边形法则表示为三个基矢 1e 3e 图 1.2、直角坐标架  1 ，  1 ，  1  e 2  e 2   e 2   e 3  e 3  e 3   e 3   e 1  0 ，  0 ，  0    ee 1 1    ee 1 2 { ie }称为基矢量或坐标架。 空间的任意矢量u 量的和，即  eu 11   eu  33 在方向 ie   u eu  22 其中 iu 表示u 在坐标{ ie 矢量的表示方法：实体记法u }下的分量。 为u 上的投影，即  eu i   u u i cos i ， i为u 与 ie 的夹角， iu 称 ；分量记法（ 1u ， 2u ， 3u ）或 iu 即我们有  u   eu 11  eu 22   eu 33    ieu i 3  i 1  在选择了三个相互正交的单位矢量组成的坐标架后，一个用实体记法表示的矢量可以用分量 的方式来表示。 可以用分量记法表示矢量的加、减法和点积，设u ，v 是矢量，即有 则矢量   uw   v 可以表示为 3   u  i 1   ieu i 3   v  ， i 1   iev i ，   uw   v  eu i i  3  i 1  3  i 1   ev i i  3  i 1  u ( i   ev ) i i 2
    则 w 的分量为 w i  u i  v i 利用点积的分配率我们可得，  vu  (  eu i i ()  3  i 1   ev i i ) 3  i 1   eu i i )   ev 11  ( = ( 3  i 1  3  i 1   eu i i )   ev 22  (   eu i i )   ev 33 = vu 11  vu 22  vu 33 为了进一步简化写法，这里我们引入求和规则：若某个指标在一项中重复出现一次，则表示 这个指标应从 1 到 3 求和。这个约定就是著名的爱因斯坦（Einstein）约定求和。按照约定 求和，一个矢量可写为  u  eu 11  eu 22  eu 33      eu i i  eu i i  3  i 1  两个矢量的和可以表示为   uw  v   eu i i  ev i i   u (  i  ev ) i i 点积可以表示为  vu  vu 11  vu 22  vu 33  ivu i 考虑到 ix 到  jx 的线性变换可写为 x 1    x 2 x 3 xa 1 11  xa 12 2  xa 13 3  g 1 xa 1 21  xa 22 2  xa 23 3  g 2 xa 1 31  xa 32 2  xa 33 3  g 3 用约定求和的写法有  x i xa ij j  g i 在一项中指标（下标）相同的要求和，求和的指标称为哑指标，不求和的指标称为自由 指标。在点积的表达式中指标 i 为哑指标。在线性变换的表达中指标 i 为自由指标，等号右 边第一项的指标 j 为哑指标。 一个表达式中，哑指标必须是成对出现的，其名称是可以改变的，每一项的自由指标 的个数以及名称都应是一样的。一个表达式中的自由指标的名称要换必须同时换，而且不能 与其它指标的名称相同。如线性变换  x i xa ij j  g i 3 这个表达式中有三项  ix ， j ijxa ， ig ，
    ik xa 其中第二项有哑指标 j，可以换成 k (第二项变为 k )，或其它字母，但不能换成 i (第二项 iixa 变为 i )，出现了三个相同的指标，与哑指标成对出现违背。在这三项中都有自由指标 i， 要换必须同时换，如换成 k，即可写为  x k xa kj j  g k ，但不能换成 j，因为第二项中 j 为 哑指标。 一般的情况下由 ba i i  ca i i 推不出 b  。只有对任意的 ia 都成立时，才能推得出该 i c i 式成立。 设微元矢量为  rd  2 ds    edx edx i i 11   rdrd     edx 22   edx 33  ，则微元弧长 ds 的平方为 dx 1 dx 1  dx dx 2 2  dx dx 3 3  dx dx i i  dx 2 i 一个函数的微分可以写为 df  f  x  1 dx 1  f  x  2 dx 2  f  x  3 dx 3 这里我们引进一个算子   e 1  x  1  e 2   x  2  e 3   x  3 称为哈米顿算子，这个算子兼有导数和矢量的双重作用。这样一个函数的微分可以写为 df  f  x  1 dx 1  f  x  2 dx 2  f  x  3 dx 3  f  x  i  rdf  dx i  rd   dxe 1 1  e 2  dx 2   dxe 3 3  idxe i  其中 在引入坐标系时，要求基矢量有下列关系  e 2   ee 13   3   ee  1 2   ee  2 2  ee 1 1  ，及   e 3   e 3  e 1    0  这一性质可用记号 ij 来表示，令  ij  i 1  ，  i 0 ，    j j 由定义可知 ij 具有对称性，即 ij = ji 。我们有如下关系：   i ee  j  ij ， i , j 3,2,1 随着 i，j 从 1 至 3 循环，上式共有 9 个等式，如用矩阵的表示方法，若 ij 按照一定的排列 规则，其可以表示为一个 3×3 的单位矩阵，即 4
      ij   12   11 13    23    33 32 31 22 21  ee  1 1   ee  2 1   ee  3 1             ee  2 1   ee  2 2   ee  3 2  ee  3 1   ee  3 2   ee  3 3       001   010  100        由 ij 的定义，根据约定求和的规定，我们有 u i  i 1  u  11 1  u  21 2  u  31 3  u 1 u i  i 2  u  12 1  u  22 2  u  32 3  u 2 u i  i 3  u  13 1  u  23 2  u  33 3  u 3 因此，我们有 u j u  ij i 由于 ij 对称性，上式也可写为 u j u  ji i 对点积运算可以按如下形式进行  eu i i  vu     ev j j    eevu  i  i j  vu i  ij j  vu i i j 其中用到了上边的推导的结果，即 v  j ij v i 。这与前边点积可写为 vu   = ivu 的结果 i 一致。由此可以看出， ij 的作用是使该式中的指标 j 变为指标 i， ij 也称为换标符号。 利用 ij 的换标作用，一个函数的微分可以进行如下的推导 df   rd  f   dxe i i    e j     f  x  j     dx i f  x  j   ee  i j  dx i f  x  j  ij  dx i f  x  i 利用 ij 及约定求和使得推导变得很方便了。 1.2 记号 ijk 、矢积（叉乘）、  关系 在介绍矢积之前，我们先定义另一个记号 ijk ： ijk 1   1    0  当 当 ijk ijk 为一个正序排列，即（ 为一个反序排列，即（ 213,132,321 ）时，，（），，（），， 231,312,123 ）时，，（），，（），， 当任意两指标相同时 5
    分享到：
    赞 收藏

    相关推荐

    资料库

    课程资源

    共收录17145份资料，累计13个分类，关注成员有19位，主要包括：PHP,网络管理,网页制作,Java,.Net,数据库,3G/移动开发,C/C++,游戏开发,嵌入式,讲义,软件测试,专业指导

    热门标签

    PHP 网络管理 网页制作 Java .Net 数据库 3G/移动开发 C/C++ 游戏开发 嵌入式 讲义 软件测试 专业指导

    最新资料