2012年广东暨南大学高等代数考研真题.doc

发布时间：2022-09-15 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.16M 资料格式：doc 举报版权申诉

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2012 年广东暨南大学高等代数考研真题学科、专业名称：数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论专业研究方向：各方向考试科目名称：高等代数考试科目代码：810 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分一、判断下列命题的正误（只需回答“正确”或“错误”并将你的答案写在答题纸上，不需说明理由，每题 2 分，共 20 分）： 1、如果 )(xf 是一元整系数多项式，而且互质的整数 qp, 使 7( qp  整除 )7(f ) ,则 q p 是 )(xf 的根。 2、 13524678 ( ) 是奇排列。 3、如果 n 元实系数齐次线性方程组的解空间为全体 n 维实列向量组成的线性空间子空间，则该齐次线性方程组的系数不全为零。 nR 的真 4、正交变换保持向量的长度不变。 5、如果一个 n 阶对称矩阵 A 的伴随矩阵 *A 正定，则 A 正定。 6、如果 nR 为全体 n 维实列向量按通常向量加法和数乘运算组成的线性空间，而且 n 阶实矩阵 A 满足： A 2  2012 A ，令 Rn  SR 则。 RxW  { n | Ax  }0 ， T  Rx { n | Ax  2012 } x ， 7、如果实数域 R 上的线性空间V 与其任意真子空间U 均不同构，则线性空间V 一定是有限维空间。 8 、如果 T 为 n 维线性空间 V 的一个线性变换， U 为 V 的子空间，则 dim( 9、如果 A 为 n 阶可逆矩阵，为多项式 1 不是多项式的非零根，则 dim( U dim( V )( xf dim( ( UT ( VT xA ' A 。 ))  )  )  ))   )( xf  xA  ' A 的根。 10 、如果 , 是 n 维欧氏空间 V 的两个向量， |  {  V W 二、在每个题后给出的 3 个答案中选择一个正确的答案填空，将其前的字母填写在答题纸 ,  ，则 , 线性无关。  nW dim(   }0 2 且 ) ,

上：（每小题 3 分，共 30 分） 2  mx  1 整除 4 x 的条件是：（）。 1、多项式 x 1m 12  x  3m 2m ; c. ; b. a. 2、如果一个 n 阶行列式中每行每列恰有一个元素为 1 而其余元素均为 0，则该行列式的值为（）。 a. 2 ；b. 1或 1 ; c. n 。。 3、齐次线性方程组            x 1 4 x x    2 2    2 x  2011 2 x 1  x   0  2012 x 2012 2 2012  0 2011 x 2011 kx 1  2 xk 2    k  2011 x 2011  k 2012 x 2012  0 （）。 2011 x 1 2012 x 1   2011 2012 2 2 x x 2 2        2011 2012 2011 2011 x 2011 x 2011   2011 2012 2012 2012 x 2012 x 2012   0 0 a. 无解；b. 有无穷组解；c. 仅有零解。 4、设 1  均是 n 阶下三角矩阵，则它们的乘积 , AA 2 mA , , AA 2 1 mA （）。 a. 仍为下三角矩阵；b. 为上三角矩阵; c. 为对角矩阵。 5、如果 nm 阶矩阵为行满秩矩阵，则 'AA （ a. 对称正定；b. 对称负定; c. 对称半正定。）。 6、（ a. ,1 , xx 3 ）是实数域 R 上次数不超过 3 的一元多项式作成的线性空间的一组基。 x  ( , xxx sin,1 , xx ( xx , ex ；b. ; c. )(1 ),1 )2 ,1 x,      x x x 。 3 2 2 7、设 (VL 是实数域上线性空间V 的线性变换全体按通常运算形成的线性空间，且 ) dim( V ) 2 , x 是 V 中给定的一个非零向量，则 W  {  ( VL |) 2  }0)( x  （ a. 不是V 的子空间; b. 是V 的真子空间;c. 是V 的平凡子空间。）。 8、矩阵 2        0 0 0  (0 0 0   2 )1      的初等因子是（）。 a. 2      (,1 ,1 ,1 , , , 2 3 )1 ; b. 2     ,1 ,1 , , 1 ; c.  (, , 2 ,)1    1 。 9、设 A  1 1  1  1        1  1 1  1  1  1  1 1  1    1    1   1  ，则 nA （）。

0 2 )1(1  0 0 n 2 n 2 a. c. n 2 0 0 0 n 1  2 0 0 0               0 n 2 0 0 0 0 n 2 0 0 0 0 n 2        ; b. 2 n 2        n 2 n )1(1  2 2 0 0 0 0 1 n  2 0 0 0 0 1 n  0 2 0 0 0 1 n         2 。 0 0 2 )1(1  n 0 2 n 2 0 0 0 )1(1  2        n ;  10、设   1      n  上三角矩阵;      b.对称正交阵 ; c. 对角矩阵。是一个 n 维实列向量，I 是 n 阶单位矩阵，则 T 2 I ' 为（）a. 三、(15 分) 假设 p 是素数，证明： 1)( xf  1 !2 x  1 !3 2 x    1 ! p 1  px 在有理数域上不可约。四、（15 分）设 n  ,2 aa 21  na 1  0 ， D     4 n 0 0 0 a 2  0 na  1  为由主对角线元素 3 2 1 a 1 0 1   0 1 ,5,4,3,2 , ,2 依次为 aa  1  、第一列从第二个元素开始全为 1 、其它元素均为 0 的行列式 , D 的第一行中各元素的代数余子式依次为、第一行元素依次为 na 1 n, , , 2 AAA 1,1 3,1 2,1 , , ,  ，求 nA ,1 , n k 1  kA ,1 的值。五、（15 分）设 A 为 nm 的实数矩阵，证明：齐次线性方程组 Ax  ,0 ' AxA  0 同解。六、（15 分）设 A 为 nm 的实数矩阵，证明：齐次线性方程组 Ax  ,0 ' AxA  0 同解。七、（ 15 分）设 BA, 均是 n 阶方阵， I 是 n 阶单位矩阵，且 2 A  20122012 , BA 2  20122012 B ， 20122012 BAI  可逆，证明： )( )( BrAr  。八、（15 分）如果 A 是 n 阶反对称矩阵，即 A ' A ，证明： A 合同于一个以    1 0 01     或 0 为对角块组成的对角块矩阵。

九、（ 10 分）设 A 是 n 阶可逆实方阵， S            x 1  x n       n R | n  k 1  x 2 k    1    ， T       xAx |  x 1  x n      U  S              | uQu    ，证明：存在正交矩阵Q 及正数 n , ,1  使：  u  1     u  n       T            y       y 1  y n       n R | n  k 1  2 y k 2  k    1    。

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