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2021-2022年北京房山高一数学上学期期中试卷及答案.doc
2021-2022 年北京房山高一数学上学期期中试卷及答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求。
1．设集合 M＝{0，1，3}，N＝{0，2}，则 M∪N 中元素的个数为（
）
A．0
B．2
C．3
D．4
2．命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是（
）
A．∀x∈R，x2+2x+2≤0
B．∃x∈R，x2+2x+2≤0
C．∀x∈R，x2+2x+2＜0
D．∃x∈R，x2+2x+2＞0
4．方程组
的解集是（
）
A．
B．（﹣1，﹣2）
C．{（﹣1，﹣2）}
D．{﹣1，﹣2}
5．已知定义在 R 上的函数 f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
f（x）
6.1
2.9
﹣3.5
那么函数 f（x）一定存在零点的区间是（
）
A．（﹣∞，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，+∞）
6．不等式|x﹣1|＞2 的解集为（
）
A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
B．（﹣1，3）
C．（﹣1，+∞）
D．（3，+∞）
7．下列四组函数，表示同一函数的是（
）
A．f（x）＝
，g（x）＝x
B．f（x）＝x，g（x）＝
C．f（x）＝|x﹣2|，
D．f（x）＝
，g（x）＝
8．设函数 f（x）的定义域为[0，1]，则“f（x）在区间[0，1]上单调递增”是“f（x）在
区间[0，1]上的最大值为 f（1）”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9．已知函数
，若 f（m）＝4，则 m 等于（
）
A．2
B．﹣2
C．±2
D．2 或﹣16
10．某农家旅游公司有客房 300 间，每间房日租金为 20 元，每天都客满．公司欲提高客房
档次，并提高租金．如果每间房日租金每增加 2 元，客房出租数就会减少 10 间，若不考
虑其他因素，旅游公司将客房每间日租金提高（
）元时，每天客房的租金总收入最
高．
A．22
B．20
C．18
D．16
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11．已知区间 A＝（﹣1，+∞），B＝（﹣∞，3），则 A∩B＝
．
12．已知关于 x 的不等式 x2+px﹣q＜0 的解集是{x|1＜x＜2}，则 p＝
，q＝
．
13．拟定从甲地到乙地通话 t 分钟的电话费为 f（t）元，且 f（t）＝1.06×（0.5×[t]+1），
其中 t＞0，[t]表示不小于 t 的最小整数．即[5]＝5，[2.4]＝3，[3.5]＝4，则从甲地到
乙地通话 5.5 分钟的电话费为
．
14．已知函数 f（x）同时满足下列条件：①f（x）定义域为（﹣∞，+∞）；②f（x）是偶
函数；③f（x）在（0，+∞）上是减函数，则 f（x）的一个解析式是
．
15．如果非空数集 A 满足：①0∉ A；②若∀x∈A，有 ∈A，那么称 A 是“互倒集”．给出以
下数集：①{x∈R|x2+ax+1＝0}；②{x|x2﹣6x+1≤0}；③{y|y＝ ，x∈[1，4]}；其中“互
倒集”的是
.（请在横线上写出所有正确答案的序号）
三、解答题：本大题共 5 小题，每题 15 分，共 75 分。
16．（15 分）已知方程 x2﹣3x﹣1＝0 的两个实数根为 x1，x2，求下列各式的值：
（Ⅰ）
；
（Ⅱ）x1
2+x2
2；
（Ⅲ）|x1﹣x2|．
17．（15 分）已知函数 f（x）＝x2﹣bx+3．
（Ⅰ）若 f（0）＝f（4），求函数 y＝f（x）的零点；
（Ⅱ）若 f（x）＞0 对一切实数 x 恒成立，求实数 b 的取值范围．
18．（15 分）已知函数
的定义域为集合 A，集合 B＝{x|a﹣1＜x＜1+a}．
（Ⅰ）求集合 A 与∁ RA；
（Ⅱ）若 B⊆A，求实数 a 的取值范围．
19．（15 分）某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理 300
吨垃圾，最多要处理 600 吨垃圾，月处理成本 f（x）（元）与月处理量 x（吨）之间的函
数关系可近似地表示为 f（x）＝
﹣100x+40000．
（Ⅰ）写出自变量 x 的取值范围；
（Ⅱ）为使每吨平均处理成本最低（如处理 500 吨垃圾时每吨垃圾平均处理成本为
），该厂每月垃圾处理量应为多少吨？
20．（15 分）已知函数 f（x）＝x﹣ ．
（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）证明：函数 f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）求函数 f（x）＝x﹣ ，x∈[﹣4，﹣1]的值域．
2021-2022 学年北京市房山区高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求。
1．设集合 M＝{0，1，3}，N＝{0，2}，则 M∪N 中元素的个数为（
）
A．0
选：D．
B．2
C．3
D．4
2．命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是（
）
A．∀x∈R，x2+2x+2≤0
B．∃x∈R，x2+2x+2≤0
C．∀x∈R，x2+2x+2＜0
D．∃x∈R，x2+2x+2＞0
选：B．
4．方程组
的解集是（
）
A．
B．（﹣1，﹣2）
C．{（﹣1，﹣2）}
D．{﹣1，﹣2}
选：C．
5．已知定义在 R 上的函数 f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
f（x）
6.1
2.9
﹣3.5
那么函数 f（x）一定存在零点的区间是（
）
A．（﹣∞，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，+∞）
选：C．
6．不等式|x﹣1|＞2 的解集为（
）
A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
B．（﹣1，3）
C．（﹣1，+∞）
选：A．
D．（3，+∞）
7．下列四组函数，表示同一函数的是（
）
A．f（x）＝
，g（x）＝x
B．f（x）＝x，g（x）＝
C．f（x）＝|x﹣2|，
D．f（x）＝
，g（x）＝
选：C．
8．设函数 f（x）的定义域为[0，1]，则“f（x）在区间[0，1]上单调递增”是“f（x）在
区间[0，1]上的最大值为 f（1）”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
选：A．
9．已知函数
，若 f（m）＝4，则 m 等于（
）
A．2
选：D．
B．﹣2
C．±2
D．2 或﹣16
10．某农家旅游公司有客房 300 间，每间房日租金为 20 元，每天都客满．公司欲提高客房
档次，并提高租金．如果每间房日租金每增加 2 元，客房出租数就会减少 10 间，若不考
虑其他因素，旅游公司将客房每间日租金提高（
）元时，每天客房的租金总收入最
高．
A．22
选：B．
B．20
C．18
D．16
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11．已知区间 A＝（﹣1，+∞），B＝（﹣∞，3），则 A∩B＝ （﹣1，3） ．
答案为：（﹣1，3）．
12．已知关于 x 的不等式 x2+px﹣q＜0 的解集是{x|1＜x＜2}，则 p＝ ﹣3 ，q＝ ﹣2 ．
答案为：﹣3，﹣2．
13．拟定从甲地到乙地通话 t 分钟的电话费为 f（t）元，且 f（t）＝1.06×（0.5×[t]+1），
其中 t＞0，[t]表示不小于 t 的最小整数．即[5]＝5，[2.4]＝3，[3.5]＝4，则从甲地到
乙地通话 5.5 分钟的电话费为 4.24 ．
答案为：4.24．
14．已知函数 f（x）同时满足下列条件：①f（x）定义域为（﹣∞，+∞）；②f（x）是偶
函数；③f（x）在（0，+∞）上是减函数，则 f（x）的一个解析式是 f（x）＝﹣x2
（答案不唯一） ．
答案为：f（x）＝﹣x2（答案不唯一）．
15．如果非空数集 A 满足：①0∉ A；②若∀x∈A，有 ∈A，那么称 A 是“互倒集”．给出以
下数集：①{x∈R|x2+ax+1＝0}；②{x|x2﹣6x+1≤0}；③{y|y＝ ，x∈[1，4]}；其中“互
倒集”的是 ②③ .（请在横线上写出所有正确答案的序号）
答案为：②③．
三、解答题：本大题共 5 小题，每题 15 分，共 75 分。
16．（15 分）已知方程 x2﹣3x﹣1＝0 的两个实数根为 x1，x2，求下列各式的值：
（Ⅰ）
；
（Ⅱ）x1
2+x2
2；
（Ⅲ）|x1﹣x2|．
解：由 x﹣3x﹣1＝0，根据韦达定理，
得 x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，
（I）
（II）
，
＝32﹣2×（﹣1）＝11，
（III）|x1﹣x2|＝
＝
＝
，
17．（15 分）已知函数 f（x）＝x2﹣bx+3．
（Ⅰ）若 f（0）＝f（4），求函数 y＝f（x）的零点；
（Ⅱ）若 f（x）＞0 对一切实数 x 恒成立，求实数 b 的取值范围．
解：（Ⅰ）∵函数 f（x）为二次函数，且 f（0）＝f（4），
∴函数 f（x）关于 x＝2 对称，则
，即 b＝4，
∴f（x）＝x2﹣4x+3，
令 f（x）＝x2﹣4x+3＝0，解得 x＝1 或 x＝3，
∴函数 y＝f（x）的零点为 1 或 3；
（Ⅱ）∵f（x）＞0 对一切实数 x 恒成立，
∴△＝b2﹣12＜0，解得
∴实数 b 的取值范围为
，
．
18．（15 分）已知函数
的定义域为集合 A，集合 B＝{x|a﹣1＜x＜1+a}．
（Ⅰ）求集合 A 与∁ RA；
（Ⅱ）若 B⊆A，求实数 a 的取值范围．
解：（I）由
得﹣3＜x≤4，
所以 A＝（﹣3，4]，∁ RA＝（﹣∞，﹣3]∪（4，+∞）；
（II）B＝{x|a﹣1＜x＜1+a}≠∅ ，A＝（﹣3，4]，
若 B⊆A，则
，
解得﹣2≤a≤3，
所以实数 a 的取值范围[﹣2，3]．
19．（15 分）某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理 300
吨垃圾，最多要处理 600 吨垃圾，月处理成本 f（x）（元）与月处理量 x（吨）之间的函
数关系可近似地表示为 f（x）＝
﹣100x+40000．
（Ⅰ）写出自变量 x 的取值范围；
（Ⅱ）为使每吨平均处理成本最低（如处理 500 吨垃圾时每吨垃圾平均处理成本为
），该厂每月垃圾处理量应为多少吨？
解：（Ⅰ）由题意可得，300≤x≤600；
（Ⅱ）∵f（x）＝ x2−100x+40000，
∴每吨平均处理成本 w＝
＝ +
−100
≥2
−100＝200−100＝100，
当且仅当 ＝
，即 x＝400 吨时，上式等号成立．
∴该厂每月处理垃圾应为 400 吨．
20．（15 分）已知函数 f（x）＝x﹣ ．
（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）证明：函数 f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）求函数 f（x）＝x﹣ ，x∈[﹣4，﹣1]的值域．
解：（I）f（x）为奇函数，利用如下：
x≠0，
f（﹣x）＝﹣x+ ＝﹣f（x），
所以 f（x）为奇函数；
证明：（II）设 0＜x1＜x2，
则 f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+ ﹣ ＝x1﹣x2+4×
＝（x1﹣x2）（4
）＜0，
所以 f（x1）＜f（x2），
所以函数 f（x）在（0，+∞）上是增函数；
解：（III）由（I）（II）及奇函数对称区间上单调性一致知，函数 f（x）＝x﹣ 在[﹣4，
﹣1]上单调递增，
所以，当 x＝﹣4 时，函数取得最小值 f（﹣4）＝﹣3，
当 x＝﹣1 时，函数取得最大值 f（﹣1）＝3，
所以函数的值域[﹣3，3]．
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