东 北 大 学 研 究 生 院 考 试 试 卷 2012 —2013 学年第 一 学期 课程名称： 数值分析 (共 2 页) 一、填空题：（每题 5 分，共 50 分） 1.设近似值 x 的相对误差限为 10-5，则 x 至少具有( 5 )位有效数字. 2.设矩阵 A  21 43       ，则 A 的 Doolittle 分解式是( A     01 13       1 0 2 2 －    )，Crout 分解式是（ A  1 3    0 2 －       21 10    ）. 总分 一 二 三 四 五 六 二、（10 分）已知求线性方程组 Ax  的迭代格式: b k )1  x ( i  k ) x ( i   a ii ( b i  n  j 1  k ) xa ij ( j ,) i  ,2,1 , n (1) 求此迭代法的迭代矩阵 M ； (2) 证明：当 A 是严格对角占优矩阵， 解：迭代法的矩阵形式为： 5.0 时，此迭代格式收敛. 3.解线性方程组    x 1 x 1   4 x 2 9 x 2   2 1 的 Jacobi 迭代矩阵的谱半径 )B（ ( 2/3 ). ( k )1  x ( k )  x  1  ( bD   Ax ( k ) )  1  DD (  ) xA  ( k )   1 bD  班 级 学 号 姓 名 … … … … ○ … … … … 密 … … … … ○ … … … … 封 … … … … ○ … … … 线 … … … … … … … … 4.迭代格式 x  1 k x 3 k  3 2 x k  ,3 x k k  ,...2,1,0 求根 1 是( 3 )阶收敛的. 5.设 )( xf  sin x ，用以 xi  i , i  2,1,0 为节点的二次插值多项式近似 5.1sin 的值， 误差为 R )5.1(2   16/1  0.0625  . 6.设 )( xf  5 3＋x 3 ，则差商 ]1,0[  ＝ f  ,5 ]4,3,2,1[  ＝ f 5 ， ]5,4,3,2,1[  ＝ f 0 . 7.区间 ]1,1[ 上权函数为 2x 的二次正交多项式设 )(2 xp ＝（ 2 x 5/3 ）. 8．对离散数据 x y i i 1  2 0 21 311  的拟合曲线 y  2 5 x 6 的均方差为( 5.2  58.1 ). 9．设求积公式 数 A 0   2 1  4/3 )( xf dx  fA 0 )1(  fA 1 )0(  fA 2 )1( 是插值型求积公式，则积分系  , A 1   0  , A 2   4/9  . 10．.求解常微分方程初值问题的差分公式 的绝对稳定区间是( (-2, 0) ).     y y  1 n y 0   ( xhf n  n yh , 2 n  xfh ( 2 , y n )) n 所以，迭代矩阵为 DDM (1   ) A  . 当 A 是严格对角占优矩阵， 5.0 时，由于 n | j ij | a  1  2 cos  a ii x 0 M ( )  M  |max 1 ni   1|  ，所以，迭代格式收敛. 三、（12 分）说明方程 对任意初值 0x 都收敛，说明收敛理由和收敛阶。 x  有唯一根，并建立一个收敛的迭代格式，使 解：记 )( xf  x c osx ，则 )(xf 连续,且 f )0(  ,01 f 1)1(  01cos  ，而且， f  1)( x  sin x  0 ，所以，方程 x  cos  x 0 有唯一根，且在区间 ]1,0[ 内。 建立迭代格式： x  1 k cos x k , k  ,...2,1,0 由于，迭代函数 ) （ x cos x 在区间 ]1,1[ 上满足条件： 1  1cos  x 1)(  ， | x  |)( sin|  x |  11sin  所以，此迭代格式对任意 x 1 ]1,1[ 都收敛。因此，对任意初值 0x 都收敛。 1 又由于， )   (  sin   0(0    )1 ，所以，此迭代格式 1 阶收敛。 

四、(10 分)利用复化 Simpson 公式 2S 计算定积分  2 I 0 cos xdx 的近似值，并估 六、（8 分）设 )(1 xp 是 )(xf 以 x 0 1  1 3 , x 1 1  1 3 为节点的一次插值多项式， 计误差。 解： I  S 2 由于 )( xf   1 6 cos [cos  0 22  cos 3 2 的 4 阶导数在 ]2,0[ 上的最大值为： 41cos cos cos 1 2 4   x ]  .0 909622804 4 M 1 ,所以 试由 )(1 xp 导出求积分  2 )( dx xf 解 设由 )(1 xp 导出求积分  2 I I 0 0 的插值型求积公式，并导出公式的截断误差. )( dx xf 的插值型求积公式为： 误差为： | I  S 2 |  5 2 M 2880   .0 000694444 4 2 4 I 2   0 )( xf dx  fA 0 1(  1 3 )  fA 1 1(  1 3 ) 五、（10 分）设求解常微分方程初值问题：  y )( ay    ) , ,( yxf   x  ],[ ba 的差分公式：      n y y  1 n y 0  xfh ( [ 2 , y n )  n ( xf n  yh , 2 n  xfh ( 2 , y n ))] n 由插值余项知，公式至少具有 1 次代数精度，于是有： A 0  A 1  2 ， A 0 1(  1 3 )  A 1 1(  1 3 )  2 , 即： A 0  A 11  . 所以，由 )(1 xp 导出求积分  2 I 0 )( dx xf 的插值型求积公式为： I 2   0 )( xf dx  f 1(  1 3 )  f 1(  1 3 ) 求此差分公式的阶。 解：由于 y  1 n y n  fh [ 2  f n  n h 2 ( f  n x   f  n y  f n )  2 ( hO )]  y n  hf n  2 h 4 ( f  n x   f  n y  f n )  3 ( hO )] ( xy  1 ) n ( xy n )   ( xyh )  n 2 xyh  ( 2 n )  3 ( hO )  y n  hf n  所以， ( xy 1) y   n n 1   2 h 2 ( f  n x   f  n y  2 h 4 ( f  n x   f  n y  f n )  3 ( hO ) f n )  3 ( hO ) ( 2hO ) 所以，此差分公式是 1 阶方法。 容易验证此公式具有 3 次代数精度，即对次数不大于 3 次的多项式精确成立， 记 )(3 xH 为 )(xf 在区间 [ , 0 xx 1 ] 的 3 次 Hermite 插值多项式，则有： [ fR ]  2  0 )( xf dx  2  0 )( xp 1 dx  2  0 )( xf dx  2  0 )( xH 3 dx  2  0 )( xH 3 dx  2  0 )( xp 1 dx 2  0 2 ( x  1 3 2 ) dx  2  0 f ) )4( ( x !4 ( x  1 3 2 () x  1 3 2 ) dx  )4( )( f  24 2  0 2 ( x  1 3 2 ) dx  109 )4( f )( 540  )4( )( f  24 2 … … … … ○ … … … … 密 … … … … ○ … … … … 封 … … … … ○ … … … 线 … … … … … … … …… … … … ○ …