基于 !"#$%& 的电磁场数值分析 黄作英 阙沛文 %上海交通大学电子信息学院!上海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’ 前言 ()*+), 语言是美国 (-./01234 公司开 发 的 计 算 机 软 件 ! 经过多年的发展与完善!现已成为国际上最流行的科学与工程 计算的软件工具" 它集数值分析#矩阵运算#信号处理和图像处 理等功能于一体!提供了一个方便的#界面友好的用户环境 !而 且 还 具 有 可 扩 展 性 特 征 " (-./01234 公 司 针 对 不 同 领 域 的 应 用!推出了信号处理#偏微分方程#图像处理#小波分析#控制系 统#神经网络#鲁棒控制#优化设计#统计分析#通信等多个具有 专门功能的工具箱! 这些工具箱是由该领域内的专家编写的 ! 无需用户自己编写所用的专业基础程序!可直接对工具箱进行 运用" 同时!工具箱内的函数源程序也是开放性的 !多为 ( 文 件 !用 户 可 以 对 其 进 行 二 次 开 发 !用 户 的 应 用 程 序 也 可 以 作 为 新的函数添加到相应的工具箱中" 实验证明该软件功能强大 ! 语 言 简 洁 易 学 !人 机 界 面 友 好 !工 具 箱 具 有 丰 富 的 技 术 支 持 并 集成了该领域专家的智慧!应用简单而效果良好 " 该文介绍了 利 用 ()*5), 678 工 具 箱 求 解 电 磁 场 问 题 的 方 法 !这 一 方 法 具有操作简单明了!运算速度快!计算误差可控制等优点" ! 电磁场数值解法 麦克斯韦方程组是电磁场理论的基础!也是电磁场数值分 析的出发点" 它的微分形式为$ !!""#$# % & !’$ !( !)*$#+ !,$ !( !’,$-" !’’$-" %!& %%& %#& 式 中""$磁 场 强 度 (’$ $ 电 通 密 度 (*$ $电 场 强 度 (,$ $ 磁 感 应 强 度" 电磁场中各种场量之间的关系由媒质的特性确定" 在各向 同性媒质中!由下列结构方程组确定$ $%9%*& ’$9#*$ ,$9$"" 为获得电磁场问题的唯一解!除上述方程组之外尚需给出 定 解 条 件 !对 静 态 场 和 稳 态 场 只 需 加 边 界 条 件 !对 时 变 场 还 需 另加初始条件" 边界条件包括$ %’& 第 一 类 边 界 条 件 是 给 定 边 界 上 的 值 .#/’%0&! 其 中 /’ %0&是边界点 0 的函数或常数( %!&第二类边界条件给定边界上法向导数的值 &’ &1 #/! %0&( %%&第 三 类 边 界 条 件 给 定 边 界 值 与 法 向 导 数 的 线 性 组 合 &’ &1 :/’%0&’9/! %0&" 根 据 麦 克 斯 韦 方 程 组 和 结 构 方 程 组 !在 静 电 场 中 !以 电 位 ’ 为求解对象!在各向同性介质中!电位 ’ 满足泊松方程$ %’& !!(9; " # %<& 基金项目$国家 J&% 高技术研究发展计划项目%编号$!""’))&"!"!’& 作者简介$黄作英%’KD%;&!男!广西桂林人!博士研究生!主要研究方向$无损检测!信号处理" 阙沛文%’K##;&!女!浙江省丽水市!教授!博导!主要 研究方向$无损检测!自动检测" !"# !""#$%& 计算机工程与应用 

! ! ! ! 在 恒 定 磁 场 中 !取 矢 量 磁 位 ! 为 求 解 对 象 !令 "#!$!! !"!#"!有# !!!’(!%& 考虑电磁波动方程# !!’("! #!’ #)! ’" !!*("! #!* #)! ’" 在正弦稳态条件下!上式可分别导出亥姆霍兹方程# !!’+ ,$!"!’- #" $&% $)% $*% !!*- ,$!"!*- #" 如上述几个例子!对于不同的电磁场实际应用问题求解可 以得到对应的电磁场偏微分方程!直接用解析法求解这些方程 组往往会遇到很多困难甚至无法求解!电磁场数值分析方法已 成为求解电磁场问题的重要方法& 数值分析方法将原来连续的 场域离散化求解! 再用离散点的结果近似逼近连续场域的解 & 常用的电磁场数值分析方法包括有限差分法’边界元法和有限 元法& 有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算方法 ! 即用差分方程代替偏微分方程!把要求解的边值问题转化为一 组 相 应 的 差 分 问 题 !将 求 解 区 域 划 分 !求 解 差 分 方 程 组 从 而 得 出各网格单元的场值& 这种方法的特点是方法简单 !网格划分 容易!但对不规则边界处理不便!网格划分缺乏灵活性& 边界元 法以麦克斯韦积分方程为基础!它采用分步积分如格林定理等 在一定条件下把该积分方程转化为关于边界的积分方程 !并据 此进行离散获得对应的代数方程!求出场域中变量的数值 & 它 的 特 点 是 将 数 值 法 与 解 析 法 相 结 合 ! 在 数 学 上 起 到 降 维 的 作 用 !减 少 了 计 算 量 !但 对 非 线 性 情 况 失 去 了 高 精 度 特 点 !有 局 限 性& 有 限 元 法 由 于 单 元 定 义 灵 活 !处 理 边 界 条 件 容 易 !具 有 正 定对称系数矩阵而占据主导地位& 有限元法是根据变分原理和 离 散 化 而 取 得 近 似 解 的 方 法 & 是 先 从 偏 微 分 方 程 边 值 问 题 出 发 !找 出 一 个 能 量 泛 函 的 积 分 式 !并 令 其 在 满 足 第 一 类 边 界 条 件的前提下取极值!即构成条件变分问题& 例如与(+%(&%式对 应的二维泊松场第三类边界条件下的泛函极值问题为# .(%%’ -".( #% #0 ! % /( #% #1 ! % 0(!&1%23031, ! /", ""( , 2! ! 3, % (3! %%34#456 ! #3" % 2, 与(*%式对应的亥姆霍兹方程泛函为# .(%%’ , ! "-(!%%!(6!%!230317 "%834 5 2! (7% (,"% 这个条件变分问题是和偏微分方程边值问题等价的& 有限 元法便是以条件变分问题为对象来求解电磁场问题& 在求解过 程 中 !将 场 的 求 解 区 域 剖 分 成 有 限 个 单 元 !因 此 在 单 元 中 构 造 出 插 值 函 数 !将 插 值 函 数 代 入 能 量 泛 函 的 积 分 式 !再 把 泛 函 离 散化成多元函数& 通过多元函数极值求极值方法得到一个代数 方程组& 最后由此方程组求解得到数值解& % 运用 89: 工具箱进行电磁场计算实例 对于偏微分方程描述的电磁场问题!编制程序对偏微分方 程 进 行 数 值 求 解 已 成 为 可 能 ! 但 对 于 多 数 应 用 和 研 究 人 员 来 说 !直 接 从 偏 微 分 方 程 出 发 !使 用 有 限 元 法 求 解 需 要 经 过 很 多 步骤!要得到计算结果需要相当大的工作量& 现在!4;<=;> 的偏 微分方程工具箱 (89: ?@@=>@A%提供了研究和求解空间二维偏 微分方程的一个强大而又灵活实用的环境 !89: ?@@=>@A 的功 能包括# (,%设 置 89: 定 解 问 题 !即 设 置 求 解 区 域 ’边 界 条 件 以 及 方程的形式和系数) (!%用有限元法求解 89:!包括网格划分’方程离散化以及 求出数值解) (%%结果的可视化及数据输出& 图 , 电机结构图 下面结合具体问题求解说明工具箱的用法& 考虑四级电机定子线圈产生的静磁场问题 !假设电机较长 使得端面影响可以忽略不计! 从而可以简化为二维模型处理 & 在 4;<=;> 中输入 B3C<@@= 进入工具箱& 进入静磁场应用模式!首 先对电机建模!本来对电机的 , D # 或 , D * 建模并加入适当的边 界 条 件 就 可 以 计 算 !但 为 了 更 好 的 视 觉 效 果 !这 里 对 整 个 电 机 建模!在 9E;F 模式可以用图形交互模式或命令方式建模 !下面 语句说明了建模过程!为节省篇幅!这里没有对所有线圈建模& B3CG5EG("!"!"$"*!HI,H% B3CG5EG("!"!"$"*&!HI!H% B3CG5EG("!"!"$,&!HI%H% B3CG5EG("!"!"$!%!HI#H% B3CECG<(.("$"# "$"# "$"+ "$!J!HK,,H% B3CECG<(."$"# "$"&* "$"* "$,%+J!HK,!H% B3CECG<(."$"* "$,%+ "$"# "$"&*J!HK,%H% B3CECG<(."$"+ "$! ("$"# "$"#J!HK!,H% 之后进入 L@M63;EN 模式删除多余线条 !并 加 入 边 界 条 件 ! 这里忽略电机外漏磁场的因素!故在模型的整个外圆边界设置 95E5GO=C< 边界条件!令 9’,!:’"!即 !’"& 然后进入 89: 模式 ! 显示子区域编号如图 ! 所示 & 设 置 89: 参数 ! 在这个应用中需要设置各个 子 区 域 的 磁 导 率 ! 和 电流密度 %& 在线圈区域 #!&!,"!,, 中设置为 !’,!%#!!线圈区 域 %!+!)!* 中 !’,!%’(!!定 子 和 转 子 区 域 ,!! 中 %’"!导 磁 率 设置为 +"""$ D (,/"$"+P(;0$Q!/;1

这 里 用 箭 头 显 示 磁 通 密 度 ! 灰 度 轮 廓 线 显 示 静 磁 矢 势 的 等 势 线!试验结果与预期结果相同" 的 细 分 可 以 得 到 更 好 的 求 解 精 度 !如 笔 者 预 期 的 一 样 !在 设 置 边界条件的单位圆上误差值为 "% 为了控制求解精度还可以在 求解参数中设置为自适应划分方式输入相对误差求解% 图 ! 电机模型区域设置 图 % 网格划分后模型 图 ’ 静电场问题 &3$ &0$ 图 # 计算结果 考虑静电场问题如图 ’ 所示! 单位圆上边 界 电 位 为 "!单 位圆内部电荷密度与介电常数比值为 (!该静电场 问 题 对 应 的 拉 普 拉 斯 方 程 问 题 的 精 确 解 为 )#!!"$# ($! # ! ! $" % 在 *+, -../0.1 的 求 解 过 程 与 上 例 类 似 " 先 在 +234 模 式 中 绘 制 单 位 圆 !再 进 入 5.678329 模 式 设 置 +2:; 边 界 条 件 !令 %?(!&#"! 在 @=A< 模式中用 B7:>:3/ C=A< 方式划分网格并求解 !为了清楚 地 显 示 求 解 结 果 和 精 度 ! 在 显 示 设 置 中 将 显 示 设 为 %D+ E/.> 方式! 显 示 值 为 ’F&(F()*($+,*+$ G #! 即 数 值 解 与 精 确 解 的 差 值!用灰度显示电势值 !结果如图 & 所示!&3$为 B7:>:3/ C=A< 方 式划分场域为 !’H 个三角形单元! 最大误差为 ($!I("D%’&0$为 进一步细分为 ("%! 个单元!最大误差为 %$JI("D%’&;$为再次细 分为 #(H! 个单元!最大误差为 ($(I("D#% 这里可以看出对网格 !"# !""#$%& 计算机工程与应用 &;$ 图 & 求解结果与误差三维显示 # 结束语 通过该文的分析和实例可见 ! 应用 @K-LK5 *+,-MMLN 5MO 进行电磁场数值分析具有编程简单(操作方便(解题时间 短等特点% 在这一应用领域!可以充分利用 @K-LK5 进行分析 计算!提高解题效率% &收稿日期)!""# 年 H 月$ &下转 !"! 页$ 

参考文献 ’$许榕峰$徐涵秋$多步骤分类法在土地利用覆盖专题提取中的应用6U7$ 福州大学学报!自然科学版"$!""%%%’!#"&#"ZS#’! !$王萍$张继贤$林宗坚等$基于多源遥感数据融合的土地利用 \ 土地覆 盖变化信息提取试验6U7$测绘通报$!""%%#&’#S’R %$Xb+A@ 1 c$M+:**@+ N c$E:b- V V$E-A,G-+,A9 K:AO3F-d@+ Ib *+,A3 F,*:< F-?*-A@AG :A:?,@<,ABC,$) D;:?,$E,A,A9 )BB-F,:G,-A 8H<@B I@G;@@A D@GB -J >G@?B ,A K:+9@ L:G:I:B@6M7$>A&N+-F@@O,A9B -J GP@ )ME D>13 EQL M-AJ@+@AF@ -A E:A:9@?@AG -J L:G:$’((%&!"RS!’& !$T:A U$V:?I@+ E$L:G:E,A,A9&M-AF@*GB :AO =@FPA,WH@B6E7$X@,Y,A9& T,9P@+ 2OHF:G,-A N+@BB$!""’ %$吉 根 林 $孙 志 挥$数 据 挖 掘 技 术6U7$中 国 图 形 图 象 学 报 $!""’%&!Z"& R’[SR!’ #$徐 章 艳 $张 师 超 等$挖 掘 关 联 规 则 中 一 种 优 化 的 )*+,-+, 算 法6U7$计 算 机工程$!""%%!(!’("&Z%SZ# [$PGG*& \ \ JG*$,FB$HF,$@OH \ *HI \ ?:FP,A@3<@:+A,A93O:G:I:B@B \ ?HBP+--? \ &$PGG*& \ \ ;;;$FB@$FHPC$@OH$PC \ SCOO \ O:G: \ >XE]^M__$‘,* !$冯慈璋$马西奎$工程电磁场导论6E7$高等教育出版社$!""" %$金建铭$电磁场有限元法6E7$西安电子科技大学出版社$’((Z #$E)=K)X NL2 =--