2019年福建闽南师范大学数学分析考研真题.doc

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2019 年福建闽南师范大学数学分析考研真题一、计算题（每小题 9 分，共 54 分）（1）求极限 lim n     1 2  n 1  2  2 2 n    n     n 2 n ；（2）求极限  lim x  x  1  1 2 x ； x   （3）求定积分 2 0 xe sin xdx ；（4）从等式 b  a  xy e dy   ax e  bx e  x 出发，计算积分   ax e  0  bx e  x dx ( b   a 0) ；（5）已知 z  f    xy , x y    且 f 具有二阶连续偏导数，求 2z  x y   ；（6）计算二重积分 D 形区域。 d，其中 D 为由直线 2 , x y 2x y 及 x   y 所围成的三角 3

二、（15 分）设函数 ( ) f x 在[0,1] 上连续，在 (0,1) 上可导，且 (0) f  f (1) 0,  f    1 2     1 ，证明：在 (0,1) 内方程 ( ) 1 f x  至少有一实根。 n 1,2,   。  三、（16 分）已知数列 nb 满足： 1b 1, 2b 2, b n+1 1   1 b n  （1）证明： n+2 b   2 1 1 b  n  n 1,2,   ；  （2）证明数列 2nb 单调递减；（3）证明数列 nb 收敛，并求它的极限。四、（15 分）已知幂级数   。 nx n n 1  （1）求幂级数的收敛半径，收敛域及和函数；（2）求级数 n 2 n  的和。 n 3 1  n

五、（15 分）已知曲线积分 ( x   L ) y dx 2 x   ( x 2 y  ) y dy ，其中 L 为摆线 x     t sin , t y   1 cos t 上从 ( ,0) 到 ( ,0) 的一段弧。（1）证明该曲线积分与路径无关；（2）计算该曲线积分。六、（15 分）计算  S yzdydz  2 ( x  2 z ) ydzdx  xydxdy ，其中 S 是曲面 4   y 2 x  z 2 ( y  的外侧。 0) 七、（20 分）已知函数 ( , f x y )      2 ( x  2 y )sin 1  2 x 2 y x ，　 2  2 y  0 。 0 ，　　　　　　　　　 x 2  2 y  0 （1）证明 ( , f x y 在点 (0,0) 连续； ) （2）求 (0,0) xf 和 (0,0) yf ；（3）证明 ( , f x y 在点 (0,0) 可微。 )

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